第八单元 数学广角——找次品讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学五年级下册

第八单元 数学广角——找次品 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、单元概述 1 二、核心概念 1 三、基本方法 2 四、策略优化——“三分法” 2 五、易错点与注意事项 3 考点讲练 3 考点一：找次品 3 综合训练 6 知识梳理 一、单元概述 本单元是人教版数学五年级下册“数学广角”的内容，主要通过“找次品”这一经典问题，引导学生经历“观察—猜测—实验—推理”的过程，理解用天平找次品的基本原理，掌握优化策略，培养逻辑推理能力和解决实际问题的能力。单元核心目标包括：能借助天平特征分析找次品的过程，能用图示或文字描述找次品的步骤，能根据物品数量确定至少称几次保证找到次品。 二、核心概念 1.次品：指与标准物品质量不同的物品（通常较轻或较重，题目会明确说明）。 2.天平作用：通过比较两端物品质量判断次品位置（平衡则次品在未称部分，不平衡则次品在较轻/较重的一端）。 3.“至少称几次保证找到次品”：指在最不利情况下，确保能找到次品的最少称重次数（需考虑所有可能情况，不能仅看运气好的情况）。 三、基本方法 （一）简单数量物品找次品（已知次品轻重） 1.2个物品：称1次。将2个物品分别放在天平两端，轻/重的一端是次品。 2.3个物品：称1次。任取2个放在天平两端，若平衡，未称的是次品；若不平衡，轻/重的一端是次品。 原理：天平有3种状态（左轻右重、左重右轻、平衡），3个物品可通过1次称重覆盖所有情况。 （二）较多数量物品找次品（已知次品轻重） 以“保证找到次品”为前提，需通过合理分组减少称重次数，常用方法为“图示法”和“列表法”。 示例1：4个物品（次品较轻） 分2组（2,2）：第1次称两组，轻的一组含次品；第2次将轻的2个分（1,1）称，轻的是次品。共需2次。 示例2：9个物品（次品较轻） 分3组（3,3,3）：第1次称其中两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在轻的一组。第2次将含次品的3个按“3个物品”方法称，共需2次。 四、策略优化——“三分法” 1.核心思想：将物品尽可能平均分成3份（不能平均分则相差1，如10个分3,3,4；11个分4,4,3）。 2.优势：天平有3种状态，三分法能让每次称重后次品范围缩小到原来的1/3（或接近），从而减少称重次数。 3.规律总结（已知次品轻重时，至少称重次数n与物品数量m的关系）： 1次：m=1~3（3¹=3） 2次：m=4~9（3²=9） 3次：m=10~27（3³=27） 4次：m=28~81（3⁴=81） 公式：3ⁿ⁻¹ < m ≤ 3ⁿ 时，至少需称n次。 五、易错点与注意事项 1.忽略“保证找到”：误将“运气好时的最少次数”当作答案（如9个物品，不能说“1次可能找到”，需答“至少2次保证找到”）。 2.分组不科学：未用“三分法”导致次数增多（如8个物品分4,4，需3次；分3,3,2，仅需2次）。 3.混淆次品轻重：解题前需明确次品是“较轻”还是“较重”，不同特征对应步骤不同。 4.步骤描述不清晰：需用“平衡则……”“不平衡则……”等逻辑词，清晰记录每次称重后的次品范围。 考点讲练 考点一：找次品 【典例精讲】有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 【答案】4次 【分析】将61盒分成20盒、20盒、21盒，称量同是20盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。若轻的一盒在20盒这份，将20盒分成7盒、7盒、6盒，称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面；同理若轻的一盒在21盒这份，将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面。以此类推直到找出次品为止，就能知道至少称量几次能找出轻的一盒。 【详解】第一次称量：将61盒分成20盒、20盒、21盒，找到轻的一盒在哪份里面； 第二次称量：将20盒分成7盒、7盒、6盒，找到轻的一盒在哪份里面；或者将21盒分成7盒、7盒、7盒，任意称量同是7盒的两份，找出轻的一盒在哪份里面； 第三次称量：找到6盒或者7盒里轻的一盒； 第四次称量：找到2盒或者3盒里轻的一盒。 答：至少称量4次能找出轻的一盒。 【点睛】本题考查运用优化策略找次品问题，找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证所称量的次数最少。 【变式训练】在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？ 【答案】5次 【分析】根据找次品的方法，将玻璃球不断分堆称重，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出超重的玻璃球。 【详解】第一次：将100个玻璃球分成3堆，前两堆各33个，后一堆34个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球； 第二次：将含有超重球的34个球分成3堆，前两堆各11个，后一堆12个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球； 第三次：将含有超重球的12个球分成3堆，每堆4个，任选两堆放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球； 第四次：将含有超重球的4个球平均分成两堆，每堆2个，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球； 第五次：将含有超重球的2个球放在天平两端，哪端较重哪端就是超重的球。 答：最少称5次，就一定能把这个超重的球找出来。 【点睛】本题考查了找次品，会利用天平找次品是解题的关键。 【变式训练】仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？ 【答案】3次 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将16箱分成（5、5、6），先称（5、5），只考虑最不利的情况，平衡，次品在6箱中；再将6箱分成（2、2、2），称（2、2），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2箱；再称1次即可确定次品，共3次。 答：最少要称3次。 【点睛】关键是掌握找次品的最优策略。 【变式训练】我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？ 【答案】3次 【分析】15（5，5，5）其中任意两组放在天平上称。可找出有次品的一组。再把5分成（2，2，1），然后再把两个一组的放在天平上称，如平衡，则1个1组的是次品，需要两次，如不平衡，可再把2分成（1，1），再放在天平上称，可找出次品，则需三次。 【详解】第一次，把15盒茶叶平均分成3份，取其中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第二次，把含有较重的一份（5盒）分成3份（2盒、2盒、1盒），取2盒中的2份分别放在天平的两侧，若天平平衡，则较重的一盒在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取含有较重的那份（2盒），分别放在天平的两侧，即可找到较重的一盒。 答：至少称3次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来。 【点睛】本题考查找次品问题，称n次，最多可以分辨3的n次方格物品数目。 综合训练 1．有3盒巧克力，其中1盒少了2块（次品更轻），把3盒分别放在天平上称，下列说法正确的是（    ）。 A．必须称2次才能找到次品 B．称1次一定能找到次品 C．称1次有可能找到次品 D．无法通过天平找到次品 【答案】B 【分析】解答这道题的核心是通过天平的平衡状态判断哪一盒是次品。3盒巧克力中，1盒较轻（次品），将其中2盒放在天平两端，根据天平是否平衡，可推断次品位置。据此解答。 【详解】根据分析： 将3盒巧克力标记为①、②、③，取①和②放在天平两端： 若天平不平衡：较轻的那盒就是次品，此时称1次就找到次品； 若天平平衡：说明①和②都是正品，次品就是③，此时也只称了1次。 所以，称1次一定能找到次品。 故答案为：B 2．有3支钢笔，其中1支笔杆略轻（次品），用天平称，至少称（    ）次能保证找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据找次品问题的基本策略，对于3个物品，其中1个是次品且较轻（题干明确“笔杆略轻”），通过合理的分组称量，一次称量即可保证找出次品。具体策略是：第一次任取两个物品称量，若平衡则第三个是次品，若不平衡则较轻的是次品。 【详解】第一次称量：任取两支钢笔分别放在天平的两端。 若天平平衡，则次品为未称量的第三支钢笔。 若天平不平衡，则次品为较轻一端的那支钢笔。 因此，至少称1次就能保证找出次品。 故答案为：A 3．8个形状完全相同的零件中有1个次品（次品轻一些）。假如用天平称，下面的称法能保证找到次品的次数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据找次品的方法，逐项分析选项，再进行选择即可。 【详解】A.将8个零件分成4和4。 第一次称：天平两端各放4个，次品在轻的一端（4 个）；第二次称：将这4个分成2和2，次品在轻的一端（2 个）；第三次称：将这2个分成1和1，找到次品。 至少需要3次。 B.将8个零件分成3、3、2。 第一次称：天平两端各放3个。若平衡，次品在剩下的2个中，第二次称这2个即可找到；若不平衡，次品在轻的3个中，第二次称这3个中的2个（若平衡，剩下的1个是次品；若不平衡，轻的是次品）。至少需要2次。 C.与A选项相同，也至少需要3次。 D.分法为1、1、6。第一次称：天平两端各放1个，若不平衡可找到次品（但这是 “运气好” 的情况，不是 “保证找到” 的最少次数）；若平衡，次品在剩下的6个中，后续至少还需2次，整体至少需要3次。 故答案为：B 4．有19瓶维生素C，其中18瓶质量相同，另有1瓶少了3粒。用天平称，至少需要称（    ）次才能保证找出这瓶维生素C。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】找次品的核心是尽可能平均分组，利用天平的平衡逻辑缩小范围： 第一次称：将19瓶分成6、6、7三组，称6和6。若平衡，次品在7瓶中；若不平衡，次品在轻的6瓶中。 第二次称：若次品在6瓶中：分成2、2、2三组，称其中两组，若不平衡，次品在轻的2瓶中，若平衡，次品在未称的2瓶中；若次品在7瓶中：分成2、2、3三组，称2和2，若不平衡，次品在轻的2瓶中，若平衡，次品在未称的3瓶中。 第三次称：若次品在2瓶中：称这2瓶，轻的是次品；若次品在3瓶中：称其中2瓶，平衡则剩下的是次品，不平衡则轻的是次品。 所以至少需要称3次才能保证找出这瓶维生素C。 【详解】有19瓶维生素C，其中18瓶质量相同，另有1瓶少了3粒。用天平称，至少需要称3次才能保证找出这瓶维生素C。 故答案为：C 5．有13个小球，其中12个质量相同，另有1个质量较轻，如果用天平秤，至少称（    ）次，能保证找出这个质量较轻的小球。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1；据此解答即可。 【详解】将13个小球，分成5、4、4三组，先称4、4这两组，分①②两种情况，如下： ①若天平平衡，则次品肯定出在5个小的那组；将5个小分成2、2、1这样的3组，先称2和2两组，若一样重，则次品就是单独的那个，若不一样重，次品就在较轻的2个小球中，再将这2个小球分别放天平两侧，较轻的那个就是次品，此时，总共称了3次。 ②若4、4这两组不一样重，将轻的那4个再分组；将4个小球分成1、1、2三组，先称1、1这两组，若不一样重，次品直接就是较轻的那个。若一样重，次品就在2个小球那组，再将2个小球分别放天平两侧，较轻的那个就是次品，此时，总共称了3次。 故答案为：B 6．亮亮和红红用天平称物品的方法，分别从10个和27个同一型号的零件中找出一个质量稍轻的次品，保证找到这个次品的次数，下面说法正确的是（    ）。 A．亮亮用的次数一定比红红用的次数多 B．亮亮用的次数一定比红红用的次数少 C．亮亮用的次数和红红用的次数一定相同 D．亮亮用的次数不一定比红红用的次数少 【答案】D 【分析】找次品时，把物品尽量平均分成3份来称，这样能最快能找到次品，把10个零件分成3份，分别是3个、3个、4个，第一次称：把两份3个的放在天平两端，如果天平平衡，说明次品在4个那份里，如果天平不平衡，次品就在轻的那3个里；假设次品在轻的那3个里，第二次称：从3个中拿2个放在天平两端，若天平平衡，没称的那个是次品，若天平不平衡，轻的那个就是次品；假设次品在4个里，第二次称：把4个分成2份，每份2个，放在天平两端，次品在轻的那2个里，第三次称：把轻的那2个分别放在天平两端，轻的就是次品，所以，从10个零件里找次品，保证找到的至少要称3次。 把27个零件平均分成3份，每份是9个，第一次称：任取两份放在天平两端，若天平平衡，次品在没称的9个里，若天平不平衡，次品在轻的那9个里，第二次称：把有次品的9个平分成3份，每份3个，任取两份称，若天平平衡，次品在没称的那3个里，若天平不平衡，次品在轻的那3个里，第三次称：从有次品的3个中拿2个称，若天平平衡，没称的那个是次品，若天平不平衡，轻的那个是次品。所以，从27个零件里找次品，保证找到至少要称3次。 【详解】A．虽然27个零件数量比10个多，但都至少称3次能保证找到次品，而且称的方法不同，用的次数也不同，所以亮亮用的次数不一定比红红多，选项说法错误。 B．同理，亮亮用的次数不一定比红红少，选项说法错误。 C．因为称的方法可以不同，所以两人用的次数不一定相同，选项说法错误。 D．由于称的方法有多种，亮亮用的次数不一定比红红少，选项说法正确。 故答案为：D 【点睛】本道题通过找次品的基本方法确定最少次数，理解次数的不确定性。 7．有13个零件，其中1个不合格（不合格的重一些），用天平称，至少称( )次就一定能找到不合格零件。 【答案】 3 【分析】利用天平找次品的问题，把13个零件分3组（4，4，5），先称4个的两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在重的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小次品所在范围，直至确定次品。 【详解】第一次：把13个零件分3组（4，4，5），称4个的两组，若平衡，次品在第三组（将范围缩小至5个）；若不平衡，次品在重的组（将范围缩至4个）； 第二次：把含次品的5个分3组（2，2，1），称2个的两组，若平衡，没称的那个即为次品；若不平衡，次品在重的组（将范围缩至2个）； 或者把含次品的4个分3组（1，1，2），称1个的两组，若平衡，次品在第三组（将范围缩至2个）；若不平衡，次品即为重的那一个； 第三次：把含次品的2个分2组（1，1），重的那个即为次品。 综上，用天平称，至少称3次就一定能找到不合格零件。 8．有27个大小、颜色均相同的球，其中有1个次品（比正品轻一些），不用砝码，用天平至少称( )次，就一定能找出次品来。 【答案】3 【分析】找次品的方法是：（1）把待测物品平均分成3份，（2）分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品。 【详解】把27分成9、9、9，第一次把任意2个9分别放在天平两端，如果平衡，就把剩下的9分成3、3、3；第二次把任意2个3放在天平两端，如果天平平衡，就把剩下的3分成1、1、1；第三次把任意2个1放在天平两端，可找出次品。 所以用天平至少称3次，就一定能找出次品来。 9．有18瓶果汁，其中有1瓶略轻一些。用天平称，至少称( )次就一定能找到这瓶果汁。 【答案】3/三 【分析】把略轻的那瓶果汁称为次品。 把18瓶果汁平均分成3份（6，6，6）； 第一次称：取其中的2份放在天平两侧，若平衡，则含有次品在未称取的那一份中；若不平衡，则轻的一侧含有次品； 第二次称：把含有次品的6瓶果汁，平均分成2份（3，3），放入天平两侧，则轻的一侧含有次品。 第三次称：把含有次品的果汁，平均分成3份（1，1，1），取其中的2瓶放入天平两侧，如平衡，未称的那瓶就是次品，不平衡，轻的一侧为次品；所以至少称3次就一定能找到那瓶果汁。 【详解】根据分析可知，有18瓶果汁，其中有1瓶略轻一些。用天平称，至少称3次就一定能找到这瓶果汁。 10．学校食堂买来20袋冰糖，每袋1千克，其中有一袋不足1千克。假如用天平称，至少称( )次能保证把这袋冰糖找出来。 【答案】3 【分析】本题是找次品问题，找次品时，把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的，要把多的一份与少的一份相差最少，把20袋分成7袋、7袋、6袋进行扥组测量，根据这样的方法进行称重即可。 【详解】把20袋分成7袋、7袋、6袋。把2个7袋的分别放在天平两端，若天平平衡，则较轻的那袋在剩下的6袋中，把6袋分成2袋、2袋、2袋，把2个2袋分别放在天平两端，若天平平衡，则较轻的那袋在剩下的2袋中；若天平不平衡，则较轻的那袋在天平较高的一端，再称一次即可找到；若天平不平衡，则较轻的那袋在天平较高的一端，把较轻的那端的7袋分成3袋、3袋、1袋，取2份3袋的放在天平两端，若天平平衡，则较轻的那袋是剩下的1袋若天平不平衡，则较轻的那袋在天平较高的一端，把这3袋分成3份，取2袋放在天平两端若天平平衡，则较轻的是剩下的1袋，若天平话不平衡，则较轻的在天平较高的一端，即至少称3次能保证把这袋冰糖找出来。 【点睛】键在于利用天平每次称量的三种结果（左重、右重、平衡）将物品分组，逐步缩小范围。一般策略是将物品尽量均分为三组，每次称量后确定次品所在的组，重复此过程直至找到次品。 11．爷爷酷爱收藏纪念币，他收藏了11枚外观完全相同的香港回归纪念币，其中有一个是假的，质量轻一点。请你用一架天平称，至少称( )次才能保证找出假币。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】将11枚纪念币分成（4、4、3），先称（4、4），只考虑最不利的情况，即次品在多的里面，不平衡，次品在4枚中；将4枚分成（1、1、2），称（1、1），平衡，次品在2枚中；将2枚分成（1、1），再称1次即可确定次品，共3次。 至少称3次才能保证找出假币。 12．三七花具有止血、活血、降血压等功效，王叔叔要从10袋外观完全相同的三七花中找出一袋次品（质量稍轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 【答案】3 【分析】将10袋三七花分成三组，分别是：3袋、3袋、4袋。把两组3袋的分别放在天平两端。若天平平衡，说明次品在剩下的4袋中；若天平不平衡，次品在较轻的那3袋中。 第二次分组称重，情况一：次品在4袋中，将这4袋分成三组：1袋、1袋、2袋。把两组1袋的放在天平两端，若平衡，次品在剩下的2袋中；若不平衡，较轻的那袋就是次品（此时仅需2次）。 情况二：次品在3袋中，从这3袋中任取2袋放在天平两端，若平衡，剩下的1袋是次品；若不平衡，较轻的那袋是次品（此时仅需2次）。 当第一次称重后次品在4袋中，且第二次称重平衡时，需对剩下的2袋进行第三次称重，较轻的那袋即为次品。 【详解】将10袋分成三组：3袋、3袋、4袋。 两组3袋称，若平衡，次品在剩下的4袋中；若不平衡，次品在较轻的那3袋中。 第2次称重：次品在4袋中，将这4袋分成三组：1袋、1袋、2袋。 两组1袋称，若平衡，次品在剩下的2袋中；若不平衡，较轻的那袋就是次品。 第3次称重：对剩下的2袋进行第三次称重，较轻的那袋即为次品。 如次品在3袋中，从这3袋中任取2袋放在天平两端，若平衡，剩下的1袋是次品；若不平衡，较轻的那袋是次品。 用天平至少称3次能保证找出次品。 13．猴妈妈的水果店进了11筐相同质量的桃子，馋嘴的小猴偷吃了某一筐中的3个桃子。怎样找出这筐桃子呢？ （1）给11筐桃子依次编号①，②，…，，填一填。 （2）至少称几次可以保证找出来？ （3）如果天平两边各放5筐，称一次有可能找出来吗？ 【答案】（1）见详解 （2）3次 （3）有可能 【分析】（1）第一次，把11筐桃子分成3份（4、4、3），取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，则取较轻的一份继续； 第二次，若天平不平衡，取较轻的一份（4筐）平均分成2份，每份2筐，分别放在天平两侧，若天平不平衡，则可找到较轻的上升一端的2筐中；取另外第三次，把上升一端的2筐分别放在天平的两端，则上升的一端就是被吃了的那筐；若天平平衡，则较轻的一筐在剩下的3筐中；取剩下的3筐，取其中2筐，若天平平衡，则剩下的1筐被吃掉的那框；若天平不平衡，则轻的为被吃的那筐； 第三次，拿出2筐分别放在天平的两端，若平衡，剩下的一筐是被吃了的，若不平衡，则上升的一端是被吃了的那筐，据此即可解答； （2）根据以上叙述，可得，最少可以用3次即可找出被吃了的那筐桃子； （3）根据事件发生的可能性原理可知，如果天平两边各放5筐，如果天平平衡，则较轻的为剩余的1筐，所以有可能称一次就找到这筐桃子. 【详解】（1） （2）至少称3次可以保证找出来。 （3）如果此时天平平衡，那么剩下的一筐就是被吃了3个的那筐，即称一次有可能找出来。 14．6包瓜子中有5包质量相同，另有1包是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。（圈出括号里的正确答案）。 【答案】 【分析】根据题意可知：第一次的天平称重，可能有两种情况：第一次称重平衡时，即次品出现在未称重的物品之间，再次天平称重能找出次品，第二次一定不平衡，轻的一端的物品是次品；第一次称重不平衡时，会发现轻的一端有次品，再次天平称重轻的一端的物品也能找出次品，第二次一定不平衡，轻的一端的物品是次品；据此解答即可。 【详解】根据分析圈出如下： 15．有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 【答案】这两袋不合格的产品分别是④⑥。 【分析】因为不合格产品轻10克，已知①＋②比③＋④重，说明③和④中有不合格产品，⑤＋⑥与③＋④一样重，说明⑤和⑥中有不合格产品，又因为⑤＋③比⑥＋④重，所以④和⑥是不合格产品。 【详解】由分析可得： 这两袋不合格的产品分别是④号和⑥号。 16．王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【答案】3次；流程图见详解 【分析】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【详解】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 17．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 【答案】88克 【分析】由于天平右边的9对中，既有比左边轻的，也有比左边重的，还有与左边一样重的，说明左边的两个球一定不是2个5克，也不是2个4克，则一定是1个4克和1个5克，这样可推出右边较重的3对中都是5克的球，较轻的5对中都是4克的球，一样重的一对中有1个4克和1个5克，进而可求出这些球的总质量。 【详解】3×（5＋5）＋5×（4＋4）＋2×（4＋5） ＝3×10＋5×8＋2×9 ＝30＋40＋18 ＝88（克） 答：这20个球的总重量是88克。 18．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？ 【答案】2次 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】可以把9副中药平均分成3份，每份（3，3，3），任取2份，分别放在天平两端； （1）若天平平衡，则质量较轻的在未取的3副中，再按照下面天平不平衡的方法操作； （2）若天平不平衡，把天平较高端的3副中，平均分为（1，1，1），任取2副分别放在天平两端； 若天平平衡，则质量较轻的是未取的那副； 若天平不平衡，天平较高端的那副即为质量较轻的那副。 答：如果能用天平称，至少称2次能保证找出这副不足200克的中药。 【点睛】本题主要考查找次品，关键注意每次取中药的数量。 19．中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。 （1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。 （2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？ 【答案】（1）2次；见详解；（2）可能；见详解 【分析】（1）把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 （2）称一次是可能找出这副药，因为如果天平两端平衡的话，这8幅中药就没有次品，就说明次品就是没称的那副中药。据此解答。 【详解】（1）答：用天平称2次，能保证找到这副中药。 过程如下： （2）答：有可能找出来这副药，因为如果两边各放4副药，称一次，如果平衡的话，则没有称的一副药是要找的次品。 【点睛】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 20．有①号、②号、③号3袋白糖，其中2袋每袋500g，另1袋是（次品）不是500g，但不知道比500g重还是轻，至少秤（    ）次保证能找出次品，请你接着图示把用天平找出来的过程表示出来。    【答案】2；见详解 【分析】3袋白糖中有2袋的重量是一样的，只有1袋的重量是不知轻重，给3袋白糖编号，用天平称时，考虑平衡或不平衡时的各种情况，逐一讨论，得出至少称的次数。 【详解】如图：    至少秤2次保证能找出次品。 【点睛】本题考查找次品，关键是次品不知轻重，分情况进行讨论。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角——找次品 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、单元概述 1 二、核心概念 1 三、基本方法 2 四、策略优化——“三分法” 2 五、易错点与注意事项 3 考点讲练 3 考点一：找次品 3 综合训练 4 知识梳理 一、单元概述 本单元是人教版数学五年级下册“数学广角”的内容，主要通过“找次品”这一经典问题，引导学生经历“观察—猜测—实验—推理”的过程，理解用天平找次品的基本原理，掌握优化策略，培养逻辑推理能力和解决实际问题的能力。单元核心目标包括：能借助天平特征分析找次品的过程，能用图示或文字描述找次品的步骤，能根据物品数量确定至少称几次保证找到次品。 二、核心概念 1.次品：指与标准物品质量不同的物品（通常较轻或较重，题目会明确说明）。 2.天平作用：通过比较两端物品质量判断次品位置（平衡则次品在未称部分，不平衡则次品在较轻/较重的一端）。 3.“至少称几次保证找到次品”：指在最不利情况下，确保能找到次品的最少称重次数（需考虑所有可能情况，不能仅看运气好的情况）。 三、基本方法 （一）简单数量物品找次品（已知次品轻重） 1.2个物品：称1次。将2个物品分别放在天平两端，轻/重的一端是次品。 2.3个物品：称1次。任取2个放在天平两端，若平衡，未称的是次品；若不平衡，轻/重的一端是次品。 原理：天平有3种状态（左轻右重、左重右轻、平衡），3个物品可通过1次称重覆盖所有情况。 （二）较多数量物品找次品（已知次品轻重） 以“保证找到次品”为前提，需通过合理分组减少称重次数，常用方法为“图示法”和“列表法”。 示例1：4个物品（次品较轻） 分2组（2,2）：第1次称两组，轻的一组含次品；第2次将轻的2个分（1,1）称，轻的是次品。共需2次。 示例2：9个物品（次品较轻） 分3组（3,3,3）：第1次称其中两组，若平衡，次品在第三组；若不平衡，次品在轻的一组。第2次将含次品的3个按“3个物品”方法称，共需2次。 四、策略优化——“三分法” 1.核心思想：将物品尽可能平均分成3份（不能平均分则相差1，如10个分3,3,4；11个分4,4,3）。 2.优势：天平有3种状态，三分法能让每次称重后次品范围缩小到原来的1/3（或接近），从而减少称重次数。 3.规律总结（已知次品轻重时，至少称重次数n与物品数量m的关系）： 1次：m=1~3（3¹=3） 2次：m=4~9（3²=9） 3次：m=10~27（3³=27） 4次：m=28~81（3⁴=81） 公式：3ⁿ⁻¹ < m ≤ 3ⁿ 时，至少需称n次。 五、易错点与注意事项 1.忽略“保证找到”：误将“运气好时的最少次数”当作答案（如9个物品，不能说“1次可能找到”，需答“至少2次保证找到”）。 2.分组不科学：未用“三分法”导致次数增多（如8个物品分4,4，需3次；分3,3,2，仅需2次）。 3.混淆次品轻重：解题前需明确次品是“较轻”还是“较重”，不同特征对应步骤不同。 4.步骤描述不清晰：需用“平衡则……”“不平衡则……”等逻辑词，清晰记录每次称重后的次品范围。 考点讲练 考点一：找次品 【典例精讲】有61盒维生素C，其中1盒稍微轻一些，如果用天平称，至少称多少次就能保证找出这盒稍微轻一些的维生素C？（请用合适的方式简要表示出你的思考过程） 【变式训练】在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？ 【变式训练】仓库里有16箱同一规格的零件。李师傅只记得从其中某一箱中用去3个，但现在无法凭眼睛看出哪一箱是用过的，若要数，由于零件较小，很难数清。李师傅只好找来一架无砝码的天平称，最少要称几次？ 【变式训练】我国是世界上最早发现茶树和利用茶树的国家，中国是茶的故乡，中国是世界茶叶的祖国。某茶厂进行质量抽检。在抽检的15盒茶叶中，其中的14盒质量相同，另有1盒质量较重一些，如果用天平称，至少称几次能保证将这盒质量较重的茶叶找出来？ 综合训练 1．有3盒巧克力，其中1盒少了2块（次品更轻），把3盒分别放在天平上称，下列说法正确的是（    ）。 A．必须称2次才能找到次品 B．称1次一定能找到次品 C．称1次有可能找到次品 D．无法通过天平找到次品 2．有3支钢笔，其中1支笔杆略轻（次品），用天平称，至少称（    ）次能保证找出次品。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．8个形状完全相同的零件中有1个次品（次品轻一些）。假如用天平称，下面的称法能保证找到次品的次数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 4．有19瓶维生素C，其中18瓶质量相同，另有1瓶少了3粒。用天平称，至少需要称（    ）次才能保证找出这瓶维生素C。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．有13个小球，其中12个质量相同，另有1个质量较轻，如果用天平秤，至少称（    ）次，能保证找出这个质量较轻的小球。 A．2 B．3 C．4 D．5 6．亮亮和红红用天平称物品的方法，分别从10个和27个同一型号的零件中找出一个质量稍轻的次品，保证找到这个次品的次数，下面说法正确的是（    ）。 A．亮亮用的次数一定比红红用的次数多 B．亮亮用的次数一定比红红用的次数少 C．亮亮用的次数和红红用的次数一定相同 D．亮亮用的次数不一定比红红用的次数少 7．有13个零件，其中1个不合格（不合格的重一些），用天平称，至少称( )次就一定能找到不合格零件。 8．有27个大小、颜色均相同的球，其中有1个次品（比正品轻一些），不用砝码，用天平至少称( )次，就一定能找出次品来。 9．有18瓶果汁，其中有1瓶略轻一些。用天平称，至少称( )次就一定能找到这瓶果汁。 10．学校食堂买来20袋冰糖，每袋1千克，其中有一袋不足1千克。假如用天平称，至少称( )次能保证把这袋冰糖找出来。 11．爷爷酷爱收藏纪念币，他收藏了11枚外观完全相同的香港回归纪念币，其中有一个是假的，质量轻一点。请你用一架天平称，至少称( )次才能保证找出假币。 12．三七花具有止血、活血、降血压等功效，王叔叔要从10袋外观完全相同的三七花中找出一袋次品（质量稍轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 13．猴妈妈的水果店进了11筐相同质量的桃子，馋嘴的小猴偷吃了某一筐中的3个桃子。怎样找出这筐桃子呢？ （1）给11筐桃子依次编号①，②，…，，填一填。 （2）至少称几次可以保证找出来？ （3）如果天平两边各放5筐，称一次有可能找出来吗？ （2）至少称3次可以保证找出来。 （3）如果此时天平平衡，那么剩下的一筐就是被吃了3个的那筐，即称一次有可能找出来。 14．6包瓜子中有5包质量相同，另有1包是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。（圈出括号里的正确答案）。 15．有6袋咖啡，编号是①~⑥，其中4袋一样重，是合格产品，另外2袋都比标准质量轻10g，是不合格产品。用天平称了三次，结果如下：①＋②比③＋④重，⑤＋⑥和③＋④一样重，⑤＋③比⑥＋④重。这两袋不合格的产品分别是几号？ 16．王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 17．外表相同的20个小球中，有4克和5克两种重量的球各若干个，从20个球中取出2个放在天平左边，另外18个球分成9对，分别放在天平右边与这2个球比较重量，发现有3对比那两个球重，有5对比那两个球轻，有一对与那两个球相等；则这20个球的总重量是多少克？ 18．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果能用天平称，至少称几次能保证找出这副不足200克的中药？ 19．中医，是我国的瑰宝，中药学是我国古代优秀文化遗产的重要组成部分。奶奶因病需到中药馆买中药9副，每副药共计重200g，但由于药师的疏忽，其中一副中药少放了一味药。 （1）用天平称几次，能保证找到这副中药？请写出过程。 （2）如果两边各放4副药，称一次，有可能找出来这副药吗？为什么？ 20．有①号、②号、③号3袋白糖，其中2袋每袋500g，另1袋是（次品）不是500g，但不知道比500g重还是轻，至少秤（    ）次保证能找出次品，请你接着图示把用天平找出来的过程表示出来。    第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $