第八单元 数学广角——找次品 奥数专项提升讲义（知识讲解+考点讲解+真题训练）2025-2026学年人教版数学五年级下册

第八单元 数学广角——找次品 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 找次品的本质深化 课本核心：用天平称量找次品，最优策略是将物品分成3份，通过称量快速缩小次品范围。 奥数拓展： ① 三分法核心规则：待测物品尽量平均分成3份；无法均分的，最多份与最少份仅相差1，这是保证称量次数最少的唯一方法。 ② 称量次数规律（次品轻重已知）：称量n次，最多可从3ⁿ个物品中保证找到次品。 ③ 次品轻重未知：比“轻重已知”的情况多称量1次，需先确定次品轻重，再锁定位置。 2. 找次品的奥数应用（重点） 课本核心：根据物品数量，用三分法计算称量次数。 奥数拓展： 最少称量次数：按三分法逐次均分，按最坏情况计算的最少次数。 最大待测数量：已知称量n次，轻重已知→最大数量=3ⁿ；轻重未知→最大数量=(3ⁿ-1)/2。 范围反推：已知物品数量，快速反推保证找到次品的最少称量次数。 二、奥数易错点提醒 分份错误：不按三分法分份，或分份差值大于1，导致称量次数增多。 忽略轻重条件：未区分“次品轻重已知/未知”，次数计算直接出错。 混淆“保证找到”与“可能找到”：只算运气好的情况，未按最坏情况推导。 幂次计算错误：记错3的n次方数值，导致物品数量范围判断失误。 剩余物品处理：最后剩2个或3个物品时，称量步骤遗漏或重复。 三、奥数解题口诀 找次品，三分法，均分三份差1恰； 已知轻重算次数，三的幂次记得牢； 未知轻重多加次，保证找到不瞎找； 次数定数求范围，幂次计算错不了。 考点讲解 考点1：求保证找到次品的最少称量次数（最常考） 核心思路：把物品按三分法（尽量均分） 分份，逐次称量，统计最坏情况下的最少次数。 典型例题：有28个零件，其中1个较轻是次品，保证找到次品最少称几次？ 解题步骤：28→9、9、10 → 10→3、3、4 → 4→1、1、2 → 2→1、1，共4次。 考点2：已知称量次数，求最多可测物品数量（核心考点） 核心思路：轻重已知→最大数量=3ⁿ；轻重未知→最大数量=(3ⁿ-1)/2。 典型例题：保证找到次品，称3次且次品较轻，最多能测多少个物品？ 解题步骤：3³=27，最多27个。 考点3：次品轻重未知的找次品（奥数提升） 核心思路：先通过1次称量确定次品轻重，再用三分法找次品，总次数=已知轻重次数+1。 典型例题：有10个零件，1个是次品（轻重未知），保证找到次品最少称几次？ 解题步骤：先分3、3、4定轻重，再三分查找，共4次。 考点4：找次品规律探究（奥数难点） 核心思路：探究称量次数、物品数量、次品轻重三者的关联，判断检测可行性。 典型例题：称2次最多能从多少个轻重未知的物品中找到次品？ 解题步骤：(3²-1)÷2=4，最多4个。 真题训练 1．用天平找次品（其中只有一个次品重一些），如果保证至少3次就可以找到次品，那么待测物品可能有（  ）个． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】试题分析：因为次品轻，利用找次品的规律，即可解答． 解： 当待测物品是7时，至少需要称2次； 当待测物品是8时，至少需要称2次； 当待测物品是9时，至少需要称2次； 当待测物品是10时，至少需要称3次． 故选D． 2．妈妈买了500克毛线（10卷），其中有一卷不足50克，如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找出那卷次品． A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【详解】试题分析：根据天平平衡原理找次品，尽量分三组的规律，即可解答． 解：把10卷毛线分成三组（3，3，4），把含有3个的两组分别放在天平两端．若天平平衡，则轻的在剩下的一组里，把剩下的一组分为两组（2，2），分别放在天平两端，轻的一端当中含有50克的毛线，再分成两组（1，1）放在天平两端，找出轻的一个即为不足50克的毛线；若天平不平衡，把轻的一组分成（1，1，1），任选其中两个称量．若天平平衡，则剩余一个就是那卷次品；若天平不平衡，则轻的一端所放的就是那卷次品．由此可知至少称3次就一定能找出次品． 故选D． 3．有15盒大枣的阿胶，其中14盒里面阿胶的块数一样多，只有1盒比其他盒少3块阿胶．如果能用天平称，至少称（ ）次可以保证找出较少的那一盒阿胶． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】将15盒分成（5,5,5），我们把较少的那个当做次品，按照找次品的规律，即可解答． 将15盒阿胶分成（5,5,5）三组，任取其中两组分别放到天平两端． 若平衡，则次品在剩下的一组中．将剩下的一组分成（2,2,1），将（2,2）放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那个就是次品，若不平衡，次品在轻的一边，将轻的一边的2个分别在天平两端各放1个，轻的一边的就是次品． 若天平不平衡，则次品在轻的一边．将轻的一边的分成（2,2,1），将（2,2）放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那个就是次品，若不平衡，次品在轻的一边，将轻的一边的2个分别在天平两端各放1个，轻的一边的就是次品． 所以至少要称3次可以保证找出这盒阿胶． 故选B． 4．李奶奶昨天购买了10瓶钙片，其中有9瓶每瓶都是50片，有一瓶只有45片，借助天平，至少称（  ）次可以保证找到只有45片的那一瓶． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：第一次：把10瓶钙片平均分成两份，每份5瓶，分别放在天平秤两端； 第二次：把天平秤较高端5瓶钙片，任取4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡则未取的那瓶即为少3片的钙片，若天平秤不平衡； 第三次：把天平秤较高端2瓶钙片，分别放在天平秤两端，较高端那瓶即为45片． 即至少称3次可以保证找到只有45片的那一瓶． 故选C． 第一次：把10瓶钙片平均分成两份，每份5瓶，分别放在天平秤两端；第二次：把天平秤较高端5瓶钙片，任取4瓶，平均分成两份，每份2瓶，分别放在天 平秤两端，若天平秤平衡则未取的那瓶即为少3片的钙片，若天平秤不平衡；第三次：把天平秤较高端2瓶钙片，分别放在天平秤两端，较高端那瓶即为45片，据 此即可解答． 5．园园有5颗糖果，其中的4颗质量相同，另有1颗不小心摔掉了一点。根据下图，可以判断（    ）。 A．③一定是摔掉的那颗 B．④一定是摔掉的那颗 C．①②⑤一定不是摔掉的那颗 D．③④⑤一定不是摔掉的那颗 【答案】C 【分析】摔掉一点的糖果质量会更轻。从图中天平可知，①②的总质量 ＞③④的总质量，说明较轻的糖果在③④中，⑤未参与称量且天平倾斜与⑤无关，据此解答。 【详解】A.无法确定③是摔掉的那颗，该选项错误； B .无法确定④是摔掉的那颗，该选项错误； C .①②是较重的那端，⑤未参与称量且天平倾斜与⑤无关，因此①②⑤一定不是摔掉的那颗，该选项正确； D .③④是较轻的一端，包含较轻的摔掉的糖果，因此 “③④⑤一定不是” 的表述错误，该选项错误。 故答案为：C 6．8个形状完全相同的零件中有1个次品（次品轻一些）。假如用天平称，下面的称法能保证找到次品的次数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据找次品的方法，逐项分析选项，再进行选择即可。 【详解】A.将8个零件分成4和4。 第一次称：天平两端各放4个，次品在轻的一端（4 个）；第二次称：将这4个分成2和2，次品在轻的一端（2 个）；第三次称：将这2个分成1和1，找到次品。 至少需要3次。 B.将8个零件分成3、3、2。 第一次称：天平两端各放3个。若平衡，次品在剩下的2个中，第二次称这2个即可找到；若不平衡，次品在轻的3个中，第二次称这3个中的2个（若平衡，剩下的1个是次品；若不平衡，轻的是次品）。至少需要2次。 C.与A选项相同，也至少需要3次。 D.分法为1、1、6。第一次称：天平两端各放1个，若不平衡可找到次品（但这是 “运气好” 的情况，不是 “保证找到” 的最少次数）；若平衡，次品在剩下的6个中，后续至少还需2次，整体至少需要3次。 故答案为：B 7．有5颗同样的玻璃球（分别编号①②③④⑤），其中有1颗是次品，质量稍轻。根据图示可以推断出次品一定在（    ）中。 A．①② B．③④ C．⑤ D．①③ 【答案】B 【分析】从图中可知，天平左边放的是①②号玻璃球，天平右边放的是③④号玻璃球；天平不平衡，右边上翘，左边下沉，说明天平右边比左边轻，即③④比①②轻，据此得出次品在③④中。 【详解】因为有1颗是次品，质量稍轻，而天平右边轻，根据图示可以推断出次品一定在③④中。 故答案为：B 8．中国人民银行于2024年6月8日发行国家宝藏金银纪念币。有20个纪念银币，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称（    ）次才能保证找到这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。据此解答。 【详解】第一次称重 把20个纪念银币分成7个、7个、6个三组。把两个7个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在6个的一组中，把这6个分成2个、2个、2个三组，再称两次可找出次品；如不平衡，则把上跷的一组7个分成3个、3个、1个三组。 第二次称重 把两个3个一组的放在天平上称，如平衡，则剩下的那个是次品，如不平衡，则把上跷的一组3个再分成1个、1个、1个，任意两个放在天平上称，可找出次品。 第三次称重（可能需要） 如果第一次称重中把6个分成三组称重时不平衡，再称一次即可找出次品。 因此用一架天平去称，至少称3次才能保证找到这个次品。 故答案为：B 9．有15瓶水，有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。如果用天平称，至少称( )次就一定能找出这瓶盐水。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【详解】有15瓶水，其中有1瓶略重。 第一次称重：先分成（5，5，5），天平两边各放5瓶，①若天平平衡，则次品就在剩下的5瓶中；②若天平不平衡，次品就在较重的那5瓶中； 第二次称重：把5瓶分成（2，2，1），天平两边各放2瓶，①若天平平衡，则次品就是剩下的那1瓶；②若天平不平衡，次品就在较重的那2瓶中； 第三次称重：把2瓶分成（1，1），天平两边各放1瓶，次品就是较重的那1瓶。 有15瓶水，有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。如果用天平称，至少称3次就一定能找出这瓶盐水。 10．有30个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一台天平去称，至少称( )次，一定能找到次品球。 【答案】 4 【分析】每次用天平称重，可以将球分成三组，通过比较两组，缩小次品的范围。根据天平平衡原理，n个物品中找一个次品（较轻或较重），用天平称重时，先分成三组，天平两边各一组进行对比，若没有次品，则天平平衡，次品在没有比较的一组中；若有次品，则天平不平衡，次品必在其中一组里，且在较轻（或较重）的一组里，再将包含次品的组分成三组，利用上述方法，通过不断的分组比较，缩小范围，最终找出次品。用一台天平去称，确保一定能找到次品球，要计算最坏的情况下所称的次数才是至少称的次数。 【详解】第一次称重：将30个乒乓球分成三组，每组10个。称量其中两组。如果平衡，则次品在第三组中；如果不平衡，则次品在较轻的一组中。此时，次品范围缩小到10个球。 第二次称重：将10个球分成三组：3个、3个、4个。称量两组3个球。如果平衡，则次品在4个球中；如果不平衡，则次品在较轻的3个球中。 如果次品在3个球中，进行第三次称重：称量其中两个球。如果平衡，则第三个球是次品；如果不平衡，则较轻的球是次品。此时共称3次。 如果次品在4个球中，进行第三次称重：将4个球分成两组，每组2个称量。由于次品较轻，一定有一组较轻，次品在较轻的2个球中。进行第四次称重：称量这两个球，较轻的就是次品。此时共称4次。 因此，在最坏情况下，需要称4次才能保证找到次品球。 11．李师傅做了27个零件，其中有一个是次品，次品比正品重一些，用天平称，至少称( )次就一定能找出这个次品。 【答案】3 【分析】因为要利用天平平衡原理找次品，所以先将零件合理分组，这是解题突破口。 如果把零件分成数量尽量接近的三组，那么每次称量可缩小次品所在范围，逐步排查。 因为每次称量后，根据天平倾斜情况确定次品在其中一组，所以重复分组称量步骤，直到找到次品，此过程用到三分法思想。 【详解】第一次称：把27个零件分成9个、9个、9个，将两份放天平两端，重的那一组就是含次品的；如果天平平衡，没称的那9个含次品。 第二次称：把找到含次品的9个，再分成3个、3个、3个，同理可以找出含次品的那一组3个。 第三次称：把含次品的3个分成1个、1个、1个，放天平称，重的就是次品；如果平衡，没称的就是次品。 因此至少称3次就一定能找出次品。 12．某工厂生产了一批纪念币，在13枚外观一样的纪念币中，有一枚略轻一些，是次品。用天平称，至少称( )次就一定能找出这个次品。 【答案】3 【分析】至少的意思是考虑运气最差的时候，不能靠运气找出次品。利用天平“三分法”的最优策略，每次将物品尽量平均分成三份，通过称量结果缩小次品所在范围。13枚纪念币，第一次可分为4、4、5枚，称量后可将次品范围缩小到5枚或4枚；第二次再分，可缩小到2枚或1枚；第三次即可确定次品。 【详解】第一次：将13枚分成4、4、5三组，称量4枚和4枚。 若平衡，次品在5枚那组；若不平衡，次品在较轻的4枚那组。 第二次：若次品在5枚组：分成2、2、1，称量2和2，平衡则次品是剩下的1枚；不平衡则在较轻的2枚中。 若次品在4枚组：分成1、1、2，称量1和 1，平衡则次品在剩下的2枚中；不平衡则较轻的是次品。 第三次：将剩下的2枚分别放在天平两边，较轻的即为次品。 所以，至少称3次就一定能找出这个次品。 【点睛】关键点是采用 “三分法” 分组，每次称量后将次品范围缩小到三分之一，是找次品的最优策略。 13．有12瓶牛奶，其中有一瓶略重一些。用天平称，至少称( )次就一定能找到这瓶略重的牛奶；有20瓶牛奶，其中有一瓶略重一些。用天平称、至少称( )次就一定能找到这瓶略重的牛奶。 【答案】 3 3 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 12瓶牛奶，第一次分成4瓶、4瓶、4瓶，哪盘重，次品在哪，否则在没放的4瓶中。第二次分成2瓶、2瓶，哪盘重，次品在哪。第三次，分成1瓶、1瓶，哪盘重，次品在哪。即可确定至少需要称几次。 20瓶牛奶，第一次分成7瓶、7瓶、6瓶，先称量两个3瓶的牛奶，哪盘重，次品在哪，否则在没放的6瓶中。若是次品在7瓶中，第二次分成3瓶、3瓶、1瓶，先称量两个7瓶的牛奶，哪盘重，次品在哪，否则在没放的1瓶中。若是次品在3瓶中，第三次分成1瓶、1瓶、1瓶，哪盘重，次品在哪，否则是没放的1瓶。若次品在6瓶中，第二次分成2瓶、2瓶、2瓶，哪盘重，次品在哪，否则是没放的2瓶。第三次，分成1瓶、1瓶、1瓶，哪盘重，次品在哪，否则是没放的1瓶。即可确定至少需要称几次。 【详解】12瓶牛奶，分成4瓶、4瓶、4瓶。左盘、右盘分别放4瓶。哪盘低，哪盘就有次品，否则没放的4瓶中有次品。接下来在有次品的4瓶中，左盘、右盘分别放2瓶，哪盘低，哪盘有次品。在有次品的2瓶中，左盘、右盘分别放1瓶，哪瓶重，哪瓶是次品，至少称3次就一定能找到这瓶略重的牛奶。 20瓶牛奶，分成7瓶、7瓶、6瓶。左盘、右盘分别放7瓶。哪盘低，哪盘就有次品，否则没放的6瓶中有次品。若有次品的7瓶中，左盘、右盘分别放3瓶，哪盘低，哪盘有次品，否则没放的1瓶是次品。若在3瓶中有次品，则在有次品的3瓶中，左盘、右盘分别放1瓶，哪瓶重，哪瓶是次品，否则没放的1瓶是次品。若6瓶中有次品，左盘、右盘分别放2瓶。哪盘低，哪盘就有次品，否则没放的2瓶中有次品。在有次品的2瓶中，左盘、右盘分别放1瓶，哪瓶重，哪瓶是次品，综上，至少称3次就一定能找到这瓶略重的牛奶。 14．有10个羽毛球（外观完全相同），其中9个质量相同，另有1个次品略轻一些，至少称( )次就一定能找出这个次品羽毛球。 【答案】3 【分析】找次品时把物品数量分成尽可能平均的三组，先称其中的两组，分天平平衡和不平衡两种情况，依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】把10个羽毛球分成（3，3，4）三组，第一次先称（3，3）这两组。 ①如果天平平衡，则次品在剩余的一组中；再把剩余的4个羽毛球分成（1，1，2）三组，第二次称（1，1）两组，如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端；如果天平平衡，则次品在剩余的2个羽毛球中，最后把2个羽毛球分成（1，1）两组，第三次称（1，1）两组，天平翘起的一端为次品。 ②如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端中；再把翘起的这一端的3个羽毛球分成（1，1，1）三组，第二次随意选择（1，1）两组称，如果天平平衡，则次品在没有称的一组；如果天平不平衡，则次品在天平翘起的一端。 因此有10个羽毛球（外观完全相同），其中9个质量相同，另有1个次品略轻一些，至少称3次就一定能找出这个次品羽毛球。 15．有9个乒乓球，其中一个是次品，比其它的轻一些。如果用天平称，至少称( )次保证可以找出次品。称第一次时，可以将9个乒乓球分为( )组。 【答案】 2/两 3/三 【分析】把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】分析可知： 综上所述，如果用天平称，至少称2次保证可以找出次品，称第一次时，可以将9个乒乓球分为3组。 16．有15个外表一模一样的螺丝，其中一个稍重一些，其他的14个质量相同，用天平称，至少称( )次保证找出稍重的那一个。 【答案】3 【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【详解】15在10～27个之间，所以用天平称，至少称3次保证找出稍重的那一个。 17．有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 【答案】见详解 【分析】观察可知，如平衡，就接着称剩下的5和6，右边下沉，说明左边更轻，左边是几号，几号就是次品；如左边下沉，则右边更轻，次品在3和4之间，就再称3和4，右边下沉，左边更轻，左边是几号，几号就是次品。 【详解】根据分析完成填空，如下图： 18．一架天平只有5g和30g两个砝码，要把300g白砂糖平均分成3份，至少要称几次？请写出称量方案。 【答案】至少称3次；称量方案见详解 【分析】第一次：用5g砝码和30g砝码称35g糖；第二次：用30g砝码加35g糖称65g糖；第三次：用第一次和第二次的糖共（g）称100g糖，最后剩下的糖也是100g。 【详解】第一次：用砝码称35g糖； 第二次：（g），用30g砝码加35g糖称65g糖； 第三次：（g）第一次和第二次的糖共100g，即可再称出100g糖，最后剩下的糖也是100g。 答：至少要称3次。 【点睛】本题考查了找次品方法的灵活应用，天平的特点是只要平衡，两边一样重。 19．猫妈妈的肉食店进了13罐质量相同的牛肉干，馋嘴的小猫偷吃了某一罐中的5块。 将13罐牛肉干分成（    ）份，用（  ，  ，  ）表示。 （1）至少称几次可以保证找出来？ （2）如果天平两端各放1罐，称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐吗？ 【答案】3；4；4；5； （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐 【分析】（1）通过合理分组称重，把13罐牛肉干分成4、4、5，步骤如下： 第一次称：称4和4。 若不平衡，次品在轻的4罐中，若平衡，次品在5罐中； 若在5罐中，再分成2、2、1；第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 若次品在4罐中，分成2和2，第二次称，称2和2，若平衡，次品是未称的1罐，若不平衡，次品在轻的2罐中，第三次称，称1和1，就可找出次品。 因此，至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 【详解】将13罐牛肉干分成3份，用（4，4，5）表示。 （1）至少称3次可以保证找出来。 （2）天平两端各放1罐，如果天平不平衡，那么天平较轻的那端是小猫偷吃的那一罐，所以称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐。 20．有9盒月饼，其中8盒的质量相同，另外1盒轻一些，为次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （1）把下表补充完整，并回答下列问题。 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 4 2，2，2，3 3 4，4，1 3 3，3，3 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成（    ）份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差（    ），这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有几盒？ 【答案】（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）3；1 （3）这些月饼可能有10~27盒。 【分析】（1）根据分成的份数，用天平称一称，完成表格； （2）找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）用天平找次品时，如果只含1个次品，且已知次品比正品轻，所测物品的数量与保证能找出次品至少需要测量的次数之间有以下关系：2~3个物品，1次；4~9个物品，2次；10~27个物品，3次；28~81个物品，4次…… 【详解】（1） 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 3 4 2，2，2，3 3 3 4，4，1 3 3 3，3，3 2 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差1，这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有10~27盒。 21．有六个零件，其中一个是次品，用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量比正品的质量轻还是重？为什么？请写出你的推导过程。 【答案】5号是次品，次品比正品质量轻；见详解 【分析】图1，把1、2号和3、4号零件分别放在天平的左右两边，天平平衡，说明这4个零件的质量相等，它们都是正品，那么次品在5号和6号零件中； 图3，把4号、6号零件放在天平的左右两边，天平平衡，说明6号是正品，那么5号零件是次品； 图2，把5号、6号零件放在天平的左右两边，天平不平衡，5号轻，6号重，说明次品的质量比正品的质量轻。 【详解】因1、2号和3、4号的质量相等，说明1、2号和3、4号都是正品； 6号和4号的质量相等，说明6号是正品，那么次品是5号； 5号比6号轻，所以次品比正品质量轻。 【点睛】理解掌握用天平找次品的方法是解题的关键。 22．有8瓶矿泉水，编号是①至⑧，其中有6瓶是合格产品，另外2瓶都轻5g，是次品，如图用天平称了3次，那么这两瓶次品分别是哪两瓶？ 【答案】④、⑤ 【详解】根据第一次称的结果可知，③④中必有次品； 由第二次称的结果可知：⑤⑥中必有次品； 由第三次称量可以推出：次品为④⑤这两瓶。 答：这两瓶次品分别为④、⑤。 23．立夏是夏季的第一个节气，很多人认为立夏就是夏天了，其实不然。在气象学上入夏的标准为：首次连续5天日平均气温大于或等于22℃，那么这5天的首日即为入夏日。下面是2019年5月18日—5月27日北京日平均气温情况统计图。 （1）北京近30年平均入夏日为5月19日，今年5月18日之前没有连续5天日平均气温大于或等于22℃。根据上面统计图中的数据可以看出，从5月（    ）日至（    ）日这5天北京日平均气温首次连续大于或等于22，由此确定北京今年入夏的时间是5月（    ）日。 （2）这5天的平均气温是多少摄氏度？（列式解答） 【答案】（1）21；25；21 （2）26℃ 【详解】（2）（22.6＋24.9＋27.6＋27.3＋27.6）÷5 ＝130÷5 ＝26（℃） 24．小花买了7袋方便面，其中6袋质量相同，另一袋质量不足．小花设计了用天平找质量不足的这袋方便面的方案，请你帮他填写完整． 为保证找出次品，至少需要称（   ）次． 如果次数不变，那么你还有其他方案吗？用表示称的过程． 【答案】  2    【详解】略 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角——找次品 奥数专项提升讲义 知识讲解 一、核心基础拓展（奥数入门必备） 1. 找次品的本质深化 课本核心：用天平称量找次品，最优策略是将物品分成3份，通过称量快速缩小次品范围。 奥数拓展： ① 三分法核心规则：待测物品尽量平均分成3份；无法均分的，最多份与最少份仅相差1，这是保证称量次数最少的唯一方法。 ② 称量次数规律（次品轻重已知）：称量n次，最多可从3ⁿ个物品中保证找到次品。 ③ 次品轻重未知：比“轻重已知”的情况多称量1次，需先确定次品轻重，再锁定位置。 2. 找次品的奥数应用（重点） 课本核心：根据物品数量，用三分法计算称量次数。 奥数拓展： 最少称量次数：按三分法逐次均分，按最坏情况计算的最少次数。 最大待测数量：已知称量n次，轻重已知→最大数量=3ⁿ；轻重未知→最大数量=(3ⁿ-1)/2。 范围反推：已知物品数量，快速反推保证找到次品的最少称量次数。 二、奥数易错点提醒 分份错误：不按三分法分份，或分份差值大于1，导致称量次数增多。 忽略轻重条件：未区分“次品轻重已知/未知”，次数计算直接出错。 混淆“保证找到”与“可能找到”：只算运气好的情况，未按最坏情况推导。 幂次计算错误：记错3的n次方数值，导致物品数量范围判断失误。 剩余物品处理：最后剩2个或3个物品时，称量步骤遗漏或重复。 三、奥数解题口诀 找次品，三分法，均分三份差1恰； 已知轻重算次数，三的幂次记得牢； 未知轻重多加次，保证找到不瞎找； 次数定数求范围，幂次计算错不了。 考点讲解 考点1：求保证找到次品的最少称量次数（最常考） 核心思路：把物品按三分法（尽量均分） 分份，逐次称量，统计最坏情况下的最少次数。 典型例题：有28个零件，其中1个较轻是次品，保证找到次品最少称几次？ 解题步骤：28→9、9、10 → 10→3、3、4 → 4→1、1、2 → 2→1、1，共4次。 考点2：已知称量次数，求最多可测物品数量（核心考点） 核心思路：轻重已知→最大数量=3ⁿ；轻重未知→最大数量=(3ⁿ-1)/2。 典型例题：保证找到次品，称3次且次品较轻，最多能测多少个物品？ 解题步骤：3³=27，最多27个。 考点3：次品轻重未知的找次品（奥数提升） 核心思路：先通过1次称量确定次品轻重，再用三分法找次品，总次数=已知轻重次数+1。 典型例题：有10个零件，1个是次品（轻重未知），保证找到次品最少称几次？ 解题步骤：先分3、3、4定轻重，再三分查找，共4次。 考点4：找次品规律探究（奥数难点） 核心思路：探究称量次数、物品数量、次品轻重三者的关联，判断检测可行性。 典型例题：称2次最多能从多少个轻重未知的物品中找到次品？ 解题步骤：(3²-1)÷2=4，最多4个。 真题训练 1．用天平找次品（其中只有一个次品重一些），如果保证至少3次就可以找到次品，那么待测物品可能有（  ）个． A．7 B．8 C．9 D．10 2．妈妈买了500克毛线（10卷），其中有一卷不足50克，如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找出那卷次品． A．2 B．4 C．5 D．3 3．有15盒大枣的阿胶，其中14盒里面阿胶的块数一样多，只有1盒比其他盒少3块阿胶．如果能用天平称，至少称（ ）次可以保证找出较少的那一盒阿胶． A．2 B．3 C．4 D．5 4．李奶奶昨天购买了10瓶钙片，其中有9瓶每瓶都是50片，有一瓶只有45片，借助天平，至少称（  ）次可以保证找到只有45片的那一瓶． A．1 B．2 C．3 D．4 5．园园有5颗糖果，其中的4颗质量相同，另有1颗不小心摔掉了一点。根据下图，可以判断（    ）。 A．③一定是摔掉的那颗 B．④一定是摔掉的那颗 C．①②⑤一定不是摔掉的那颗 D．③④⑤一定不是摔掉的那颗 6．8个形状完全相同的零件中有1个次品（次品轻一些）。假如用天平称，下面的称法能保证找到次品的次数最少的是（    ）。 A． B． C． D． 7．有5颗同样的玻璃球（分别编号①②③④⑤），其中有1颗是次品，质量稍轻。根据图示可以推断出次品一定在（    ）中。 A．①② B．③④ C．⑤ D．①③ 8．中国人民银行于2024年6月8日发行国家宝藏金银纪念币。有20个纪念银币，其中有一个是次品，比正品略轻。用一架天平去称，至少称（    ）次才能保证找到这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 9．有15瓶水，有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。如果用天平称，至少称( )次就一定能找出这瓶盐水。 10．有30个乒乓球，其中有一个是次品，比正品略轻。用一台天平去称，至少称( )次，一定能找到次品球。 11．李师傅做了27个零件，其中有一个是次品，次品比正品重一些，用天平称，至少称( )次就一定能找出这个次品。 12．某工厂生产了一批纪念币，在13枚外观一样的纪念币中，有一枚略轻一些，是次品。用天平称，至少称( )次就一定能找出这个次品。 13．有12瓶牛奶，其中有一瓶略重一些。用天平称，至少称( )次就一定能找到这瓶略重的牛奶；有20瓶牛奶，其中有一瓶略重一些。用天平称、至少称( )次就一定能找到这瓶略重的牛奶。 14．有10个羽毛球（外观完全相同），其中9个质量相同，另有1个次品略轻一些，至少称( )次就一定能找出这个次品羽毛球。 15．有9个乒乓球，其中一个是次品，比其它的轻一些。如果用天平称，至少称( )次保证可以找出次品。称第一次时，可以将9个乒乓球分为( )组。 16．有15个外表一模一样的螺丝，其中一个稍重一些，其他的14个质量相同，用天平称，至少称( )次保证找出稍重的那一个。 17．有6个零件，其中有1个是次品（偏轻一些）。小红设计了如图找次品的过程：把6个物品分别标记为1、2、3、4、5、6，然后用天平称3次，可以保证找到次品。请你根据小红设计的过程，在天平两端空白的方框里和旁边的括号里填上适当的数字。 18．一架天平只有5g和30g两个砝码，要把300g白砂糖平均分成3份，至少要称几次？请写出称量方案。 19．猫妈妈的肉食店进了13罐质量相同的牛肉干，馋嘴的小猫偷吃了某一罐中的5块。 将13罐牛肉干分成（    ）份，用（  ，  ，  ）表示。 （1）至少称几次可以保证找出来？ （2）如果天平两端各放1罐，称一次有可能找出小猫偷吃的那一罐吗？ 20．有9盒月饼，其中8盒的质量相同，另外1盒轻一些，为次品。假如用天平称，至少称几次能保证找出次品？ （1）把下表补充完整，并回答下列问题。 分成的份数 每份的盒数 至少要称的次数 5 2，2，2，2，1 4 2，2，2，3 3 4，4，1 3 3，3，3 （2）我发现：找次品的最佳策略是把待测物品分成（    ）份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使多的那份的个数与少的那份的个数相差（    ），这样可以保证找出次品需要称量的次数最少。 （3）若干盒月饼，其中有1盒较轻的是次品。用天平称，如果至少称3次能保证找出这盒较轻的月饼，那么这些月饼可能有几盒？ 21．有六个零件，其中一个是次品，用天平称了三次（如下图），则几号零件是次品？次品的质量比正品的质量轻还是重？为什么？请写出你的推导过程。 22．有8瓶矿泉水，编号是①至⑧，其中有6瓶是合格产品，另外2瓶都轻5g，是次品，如图用天平称了3次，那么这两瓶次品分别是哪两瓶？ 23．立夏是夏季的第一个节气，很多人认为立夏就是夏天了，其实不然。在气象学上入夏的标准为：首次连续5天日平均气温大于或等于22℃，那么这5天的首日即为入夏日。下面是2019年5月18日—5月27日北京日平均气温情况统计图。 （1）北京近30年平均入夏日为5月19日，今年5月18日之前没有连续5天日平均气温大于或等于22℃。根据上面统计图中的数据可以看出，从5月（    ）日至（    ）日这5天北京日平均气温首次连续大于或等于22，由此确定北京今年入夏的时间是5月（    ）日。 （2）这5天的平均气温是多少摄氏度？（列式解答） 24．小花买了7袋方便面，其中6袋质量相同，另一袋质量不足．小花设计了用天平找质量不足的这袋方便面的方案，请你帮他填写完整． 为保证找出次品，至少需要称（   ）次． 如果次数不变，那么你还有其他方案吗？用表示称的过程． 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $