第二单元 因数和倍数讲义（知识梳理+考点讲练+举一反三综合训练）-2025-2026学年人教版数学五年级下册

第二单元 因数和倍数 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基本概念 1 二、因数的意义及找法 2 三、倍数的意义及找法 2 四、特殊数的因数与倍数特征 3 五、易混点辨析 3 考点讲练 3 考点一：因数和倍数的认识 3 考点二：找一个数的因数及因数的特征 5 考点三：根据因数的特征解决问题 7 考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 9 考点五：根据倍数的特征的解决问题 10 考点六：因数和倍数的综合应用 13 考点七：2、5、3的倍数的特征 15 考点八：质数和合数的认识 18 考点九：质数和合数的综合运用 20 考点十：运算性质（奇数和偶数） 22 综合训练 24 知识梳理 一、基本概念 1.因数和倍数的定义 在整数除法中（除数不为0），如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 研究范围：通常指非0自然数（即1,2,3,...），不包括0。 相互依存关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。例如：因为2×3=6，所以6是2和3的倍数，2和3是6的因数（不能说“6是倍数”“2是因数”）。 二、因数的意义及找法 1.因数的意义 一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数。例如：12÷3=4 Входит，3和4是12的因数。 2.找一个数的因数的方法 列举法（除法）：从1开始，用这个数依次除以1,2,3,...，直到除数和商重复或除数大于商为止，能整除的除数和商都是这个数的因数。 ▶ 示例：找18的因数 18÷1=18（1和18是因数）；18÷2=9（2和9是因数）；18÷3=6（3和6是因数）；18÷4=4.5（不能整除，停止）。 所以18的因数有：1,2,3,6,9,18。 集合法：将找到的因数按从小到大的顺序填入集合圈中，避免重复或遗漏。 3.因数的特征 一个数的因数个数是有限的。 最小的因数是1，最大的因数是它本身。 三、倍数的意义及找法 1.倍数的意义 一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。例如：12÷3=4，12是3和4的倍数。 2.找一个数的倍数的方法 列举法（乘法）：用这个数依次乘1,2,3,...，所得的积都是这个数的倍数。 ▶ 示例：找5的倍数 5×1=5，5×2=10，5×3=15，5×4=20，... 所以5的倍数有：5,10,15,20,...（用“...”表示无限）。 除法验证：若一个数除以这个数，商是整数且没有余数，则这个数是原数的倍数。 3.倍数的特征 一个数的倍数个数是无限的。 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 四、特殊数的因数与倍数特征 1.1的因数与倍数 1的因数只有1（最小和最大因数都是1）。 1的倍数是所有非0自然数（1×1=1，1×2=2，1×3=3，...）。 2.0的特殊性 0不能作为除数，所以0没有因数；0除以任何非0数都得0，所以0是任何非0数的倍数，但在本单元研究范围中通常不考虑0的倍数。 3.一个数既是自身的因数也是自身的倍数 任何非0自然数都是它本身的因数和倍数。例如：6是6的因数（6÷6=1），也是6的倍数（6×1=6）。 五、易混点辨析 区分“因数”与“乘法算式中的因数”：本单元的“因数”是基于整除关系的概念，如在“2×3=6”中，2和3是6的因数（强调整除）；而乘法算式中的“因数”仅指相乘的数（如0.2×3=0.6中的0.2和3是因数，但不满足本单元“因数”定义）。 区分“倍数”与“倍”：“倍数”是针对整数而言（如6是3的倍数）；“倍”可用于小数（如0.6是0.3的2倍），本单元仅研究“倍数”。 考点讲练 考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 【答案】 6 8 6 8 【分析】因数：一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数，如1，2，4都是8的因数； 倍数：一个数能够被另一数整除，这个数就是另一数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。 【详解】所以48÷6＝8，6和8是48的因数，48是6和8的倍数。 【变式训练】想要把90瓶饮料正好装完，选择哪种包装盒不合适？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使饮料正好装完，每箱装的瓶数必须是90的因数，找出各选项中哪个是90的因数，再找哪个选项不是90的因数，该选项即为不合适。 【详解】A．一箱装8瓶，90÷8＝11（箱）……2（瓶），8不是90的因数，选择A种包装盒不合适； B．一箱装5瓶，90÷5＝18（箱），5是90的因数，选择B种包装盒合适； C．一箱装3瓶，90÷3＝30（箱），3是90的因数，选择C种包装盒合适； D．一箱装6瓶，90÷6＝15（箱），6是90的因数，选择D种包装盒合适。 只有A种包装盒不合适。 故答案为：A 【变式训练】老师要将24本作业本平均分给若干名学生，刚好分完，每人得到的本数相同且多于1本。以下哪种分法不可能实现（    ）。 A．分给2人 B．分给5人 C．分给8人 D．分给12人 【答案】B 【分析】若整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数且没有余数，称b是a的因数。本题中，学生人数必须是24的因数，才能保证24本作业本平均分配后刚好分完，据此分析各选项，进而确定符合题意的答案。 【详解】A．分给2人，因为24÷2＝12（本），商是整数且无余数，所以2是24的因数，这种分法可以实现。 B．分给5人，因为24÷5＝4（本）……4（本），每人得到4本，但没有分完，5不是24的因数，所以这种分法不可能实现。 C．分给8人，因为24÷8＝3（本），商是整数且无余数，所以8是24的因数，这种分法可以实现。 D．分给12人，因为24÷12＝2（本），商是整数且无余数，所以12是24的因数，这种分法可以实现。 故答案为：B 【变式训练】a的最大因数是15，则a的因数有( )；b既是25的因数，又是25的倍数，b是( )。 【答案】 1、3、5、15 25 【分析】一个数的最大因数是它本身，据此确定a的值，列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，据此确定b的值。 【详解】a的最大因数是15，则a是15。 15＝1×15＝3×5 a的最大因数是15，则a的因数有1、3、5、15；b既是25的因数，又是25的倍数，根据分析，b是25。 考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】有60盒果汁饮料，选择（    ）的包装箱不能正好包装完。 A．18盒一箱 B．15盒一箱 C．12盒一箱 【答案】A 【分析】要将60盒果汁饮料正好在包装箱中装完，即每个包装箱装的盒数能整除60，据此可得出答案。 【详解】A．60÷18＝3……6，不能整除60，则不能正好包装完； B．60÷15＝4，能整除60，则正好包装完； C．60÷12＝5，能整除60，则正好包装完。 故答案为：A 【变式训练】教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”） 【答案】 6 因数 【分析】①分法种数等于42在2到21之间的因数个数；列出42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，筛选出符合条件每组至少2人，最多21人，符合条件的有2、3、6、7、14、21共6个。 ②计算出每组人数：总人数÷组数＝42÷6＝7，判断7与42的关系：42能被7整除，故7是42的因数。 【详解】42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42共8个，符合每组至少2人，最多21人有6种。 42÷6＝7，42能被7整除，故7是42的因数。 每组至少2人，最多21人，共有6种分法，若分成6组，每组人数是42的因数。 【变式训练】唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【答案】42 【分析】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【详解】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 【变式训练】完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：，则6是一个完全数。下面选项中，（    ）是完全数。 A．8 B．14 C．28 【答案】C 【分析】先找出每个选项中数字的所有因数，然后去掉该数字本身，将其余因数相加，看结果是否等于该数字，若等于则是完全数，否则不是。 【详解】A．8的因数有1，2，4，8，除自身8外的因数和为：1＋2＋4＝7，所以8不是一个完全数。 B．14的因数有1，2，7，14，除自身14外的因数和为：1＋2＋7＝10，所以14不是一个完全数。 C．28的因数有1，2，4，7，14，28，除自身28外的因数和为：1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是一个完全数。 故答案为：C 考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 【变式训练】24人分组做游戏，每组人数相等，且不少于2人，共有（    ）种分法。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据找一个数的因数的方法，首先找出24的因数，然后再判断即可。 【详解】24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24 因为每组人数相等，且不少于2人， 所以每组可以是2人、3人、4人、6人、8人、12人，共有6种分法。 24人分组做游戏，每组人数相等，且不少于2人，共有6种分法。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握找一个数的因数的方法是解答本题的关键。 【变式训练】继共享单车后，某公司推出了共享篮球，他们准备在每个体育场门口放60个篮球方便大家使用。下面三种包装方式中，（    ）种包装方式能正好装完。 A． B． C． 【答案】C 【分析】要求60个篮球哪种包装方式能正好装完，也就是求哪个数是60的因数，据此解答。 【详解】由分析得， 因为在8、9、12中只有12是60的因数，所以C种包装方式能正好装完。 故答案为：C 【点睛】此题考查的是因数的实际应用，掌握因数的意义是解答本题的关键。 【变式训练】有一个小储藏室，地面是边长为米的正方形，要给地面铺正方形瓷砖，要求正好铺满，没有空隙也不浪费，那么下面几种规格的正方形瓷砖中不能选择的是（    ）。 A．边长10厘米 B．边长15厘米 C．边长20厘米 D．边长30厘米 【答案】C 【分析】将单位统一成厘米，瓷砖边长是地面边长的因数没有空隙，不是地面边长的因数则有空隙。 【详解】1.5米＝150厘米 A． 150÷10＝15，10是150的因数； B．150÷15＝10，15是150的因数； C．20不是150的因数； D．150÷30＝5，30是150的因数。 故答案为：C 【点睛】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】一个数的因数（    ）它的倍数。 A．一定小于 B．一定大于 C．一定等于 D．小于或等于 【答案】D 【分析】根据“一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身”，可知：一个数的因数和它的倍数比，可能等于它的倍数，也可能小于它的倍数；据此解答。 【详解】由分析知：一个数的最大因数等于它的最小倍数，所以可能等于它的倍数，也可能小于它的倍数。 故答案为：D 【变式训练】200的因数的个数比20的倍数的个数多。( ) 【答案】× 【分析】一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数是无限的。200的因数个数有限，20的倍数个数无限，因此有限的数量不可能比无限的数量多。 【详解】200的因数个数是有限的，具体有12个（如1、2、4、5、8、10、20、25、40、50、100、200）。20的倍数有20、40、60、80……，个数无限。有限的数量不可能比无限的数量多，所以原说法错误。 故答案为：× 【变式训练】一个数的最大因数和最小倍数都是15，这个数是（    ）。 A．3 B．15 C．25 D．30 【答案】B 【分析】根据因数和倍数的概念：一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身，据此解答。 【详解】根据分析可知： 一个数的最大因数和最小倍数都是15，这个数是15。 故答案为：B 【变式训练】12的因数有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )；13的最小倍数是( )。 【答案】 6 1 12 13 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此列举出12的所有因数，数出因数的个数，并得出它的最小因数和最大因数。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此得出13的最小倍数。 【详解】12的因数：1，2，3，4，6，12；共有6个； 12的因数有（6）个，其中最小的因数是（1），最大的因数是（12）；13的最小倍数是（13）。 考点五：根据倍数的特征的解决问题 【典例精讲】有六个水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。香蕉有( )千克。 【答案】17 【分析】先求出所有水果的总质量，因为苹果重量是梨的5倍，所以苹果和梨的总质量是6的倍数（梨的质量看作1份，苹果是5份，总共6份），用总质量除以6，根据余数判断香蕉的质量，最后再根据苹果的重量是梨的5倍进一判断即可。 【详解】1＋3＋12＋21＋17＋35＝89（千克） 89÷6＝14……5 分别看各箱质量除以6的余数，1÷6余1，3÷6余3，21÷6余3，12÷6余0，17÷6余5，35÷6余5。 17除以6的余数、35除以6的余数与总质量除以6的余数相同。 （89-17）÷6 ＝72÷6 ＝12（千克） 有一筐水果是12千克可以是梨，其余是苹果，符合苹果的重量是梨的5倍。 （89-35）÷6 ＝54÷6 ＝9（千克） 没有一筐或几筐水果的和是9千克，不符合苹果的重量是梨的5倍。 所以，香蕉有17千克。 38．王老师买了一些单价是2元的绘画笔，她给收银员100元，收银员找给她37元。( ) 【答案】× 【分析】王老师支付100元，找回37元，用支付的钱数减去找回的钱数计算出实际花费的钱数；已知每支绘画笔2元，用实际花费的钱数除以单价计算出购买数量，要求购买数量必须是整数；据此判断。 【详解】100－37＝63（元） 63÷2＝31.5（支） 31.5不是整数，说明收银员找钱错误。 故答案为：× 【变式训练】小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【详解】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 【变式训练】小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 【答案】3个月 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可得文具盒的钱数。再用24除以8即可得解。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48 在15到25之间的是24 （个） 答：3个月后他存的钱够买这个文具盒。 考点六：因数和倍数的综合应用 【典例精讲】赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【答案】3.51元 【分析】 因为买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元．已知处数字相同，说明9.2是28的倍数，又因28同一个数相乘，末尾的数一定是0，2，4，6，8，故方框内的数可能是0，2，4，6，8，中的任意一个，分别填入0，2，4，6，8试一试，据此可列式解答。 【详解】 9.2元92分。 9020、9222、9424、9626均不能被28整除，9828能被28整除，所以处应该填8。（元） 答：每支钢笔3.51元。 【点睛】本题考查了学生对因数和倍数的认识、小数除法，以及人民币的掌握情况，关键要弄清28同一个数相乘末尾数的特征。 【变式训练】小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【分析】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 【详解】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 【变式训练】今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】9元或63元 【分析】先找出9的倍数，再根据一个数最大的因数是它本身，从9的倍数中判断63的因数。 【详解】由分析得， 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是9元或63元。 【点睛】此题考查的是找一个数的因数和倍数的方法，掌握一个数最大的因数是它本身是解题关键。 【变式训练】有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】****﹣5054631 【分析】一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数；一个数的因数的个数是有限，最小的因数是1，一个数的最大因数是它本身；最小的自然数是0，1只有一个因数，据此解答。 【详解】A：5的最小倍数是5； B：最小的自然数是0； C：5的最大因数是5； D：它既是4的倍数，又是4的因数，这个数是4； E：它的所有因数是1，2，3，6，这个数是6； F：它的所有因数是1，3，这个数是3； G：它只有一个因数，这个数是1； 由此得：这个电话号码是****﹣5054631。 【点睛】此题考查的目的是理解因数与倍数的意义，明确一个数的最小倍数和最大因数都是它本身是解答本题的关键。 考点七：2、5、3的倍数的特征 【典例精讲】在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 【答案】 至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 【分析】先计算32名同学平均分成五组时的余数，根据余数确定至少再来或离开的同学数量，进而求出每组的人数。 【详解】（名）（名） 因为平均分组时剩余2名同学，所以让这2名同学离开，此时总人数为：（名） 每组人数为：（名） 因为5 组每组6名剩余2名同学，要使每组人数增加1人（即每组7人），需要的总人数为：（名） 至少再来的同学数为：（名） 每组人数为：（名） 答：至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 【变式训练】小宇、海海和乐乐三人今年的年龄和是奇数。5年后，他们三人的年龄和是奇数还是偶数？为什么？ 【答案】偶数。因为5年后三人增加的年龄和是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以5年后三人的年龄和是偶数。 【分析】由奇偶数的性质可知：奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；据此解答。 【详解】5年后他们三人增加的年龄和（岁）是奇数，三人今年的年龄和是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以5年后三人的年龄和是偶数。 答：5年后，他们三人的年龄和是偶数，因为5年后三人增加的年龄和是奇数，奇数＋奇数＝偶数，所以5年后三人的年龄和是偶数。 【变式训练】为积极营造儿童友好的社区氛围，促进亲子间的互动交流，让孩子们亲近自然、体验劳动的乐趣。7月25日，祥和社区组织10多组家庭参与采摘活动，蔬菜园的门票价格是统一的，且是整数，爸爸买了3张门票，付了100元，找回5元。找回的钱数对吗？为什么？ 【答案】不对；见详解 【分析】由“3张门票、单价为整数”，可确定门票总价必为3的倍数；用付款的100元减去找回的5元求出门票总价为95元；验证95是否为3的倍数：判断一个数是否为3的倍数，可将其各位数字相加，和能被3整除则原数能被3整除。9＋5＝14，14不能被3整除，说明95不是3的倍数。与“总价为3的倍数”的前提矛盾，因此找回5元的结果不合理。 【详解】（元） 9＋5＝14 14不能被3整除，说明95不是3的倍数。 答：找回的钱数不对。因为爸爸购买了3张门票，且每张门票的价格都是整数，那么门票的总价格一定是3的倍数， 95不是3的倍数，所以找回5元是不对的。 【变式训练】虎头帽，是以老虎为形象的，中国民间儿童服饰中比较典型的一种童帽样式，王奶奶做了42顶虎头帽，如果每2顶装一袋，能正好装完吗？如果每5顶装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】每2顶装一袋能正好装完；每5顶装一袋不能正好装完；理由见详解 【分析】根据2、5的倍数特征进行判断，如果虎头帽的总数是2、5的倍数，就能正好装完；如果不是2、5的倍数，就不能正好装完 。 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】42的个位是2，则42是2的倍数，不是5的倍数。 答：如果每2顶装一袋，能正好装完，因为42是2的倍数；如果每5顶装一袋，不能正好装完，因为42不是5的倍数。 考点八：质数和合数的认识 【典例精讲】18的因数有( )个，其中既是质数又是偶数的是( )，既是合数又是奇数的是( )，既不是质数也不是合数的是( )。 【答案】 6 2 9 1 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，先求出18的因数，再根据奇数、偶数、质数和合数的意义：是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数如果只有1和它本身两个因数，那么这个自然数叫做质数；一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数，其中1既不是质数也不是合数，据此填空即可。 【详解】1×18＝18，1和18都是18的因数； 2×9＝18，2和9都是18的因数； 3×6＝18，3和6都是18的因数。 18的因数有：1、2、3、6、9、18 既是偶数又是质数的数：2 既是奇数又是合数的数：9 既不是质数也不是合数的数：1 18的因数有6个，其中既是质数又是偶数的是2，既是合数又是奇数的是9，既不是质数也不是合数的是1。 【变式训练】地球到某个恒星的距离是一个九位数，亿位上是最小的质数，百万位上是最小的合数，千位上的数既不是质数也不是合数，其余各个数位上都是最小的自然数，这个数写作( )，改写成以“万”为单位的近似数是( )万。 【答案】 204001000 20400 【分析】（1）最小的质数：质数是大于1且只能被1和自身整除的数，最小的质数是2； 最小的合数：合数是大于1且除了1和自身还有其他因数的数，最小的合数是4； 既不是质数也不是合数的数：这个数是1； 最小的自然数：最小的自然数是0。 （2）改写成以“万”为单位的近似数时，需要看千位上的数字，千位上的数字是1，1＜5，所以舍去千位及之后的数，并在最后加一个万字，据此解答。 【详解】根据分析可知： （1）亿位上是2，百万位上是4，千位上是1，其余各个数位上都是0，这个数写作204001000。 （2）改写成以“万”为单位的近似数时，这个数204001000千位是1，1＜5，所以舍去千位及之后的数是20400万。 因此，地球到某个恒星的距离是一个九位数，亿位上是最小的质数，百万位上是最小的合数，千位上的数既不是质数也不是合数，其余各个数位上都是最小的自然数，这个数写作204001000，改写成以“万”为单位的近似数是20400万。 【变式训练】哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 【答案】 8 3 5 10 3 7 【分析】根据题意，首先明确哥德巴赫猜想（偶数情形）的定义：任何不小于4的偶数，都可以表示为两个质数相加的形式。 确定偶数：选择两个不小于4的不同偶数，比如8和10。 寻找质数组合： 偶数8，先列出小于8的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于8的组合，例如3＋5＝8。 偶数10，列出小于10的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于10的组合，例如3＋7＝10。据此解答。 【详解】选择偶数8：质数3与5相加：3＋5＝8 选择偶数10：质数3与7相加：3＋7＝10 综上所述可得，8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一） 【变式训练】在1、2、24、59、61、155中，质数有( )个，奇数有( )个。 【答案】 3 4 【分析】只有1和它本身两个因数的整数叫质数，除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数，1既不是质数，也不是合数。能被2整除的整数叫偶数，不能被2整除的整数叫奇数。 【详解】除1外，只有1和它本身两个因数的整数有2、59、61；即质数有3个； 不能被2整除的整数有：1、59、61、155，即奇数有4个。 考点九：质数和合数的综合运用 【典例精讲】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（    ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 【答案】D 【分析】因数只有1和它本身两个的数是质数；因数除了1和它本身还有其他因数是合数。 一位数的合数：4、6、8、9，则最大的是9；最小的质数是2；3的倍数有3、6、9……，最小的就是3，据此解答即可。 【详解】月份：一位数中最大的合数：9 日子：十位上的最小的质数：2 个位上是3的最小倍数：3 开幕式的日期：9月23日 故答案为：D 【变式训练】乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【答案】 2 5 【分析】因为a、b均为质数，且3a＋7b＝41，所以3a和7b一定是一奇数一偶数，又因为和＝41，则b小于7，小于7的只数只有2、3、5，因为奇数乘偶数等于偶数，所以a或b一定有一个2。即可把2代入等式推算出另一个数，符合“a、b均为质数”即可得解。 【详解】当a＝2时 解： 2、5均为质数，推算成立； 当b＝2时 解： 9不是质数，故推算不成立。 根据以上思考，乐乐推算出a是2，b是5。 【变式训练】如果○表示一个质数，△表示是一个合数，那么下列的结果一定是合数的是（    ）。 A．○＋△ B．○－△ C．○×△ D．无法确定 【答案】C 【分析】质数是只含有因数1和本身两个因数的数，合数是除了1和本身之外还有其他因数的数，最小的质数是2，除了2其它质数都是奇数，分析各选项举例验证即可。 【详解】A．假设质数是3，合数是4，此时相加的和是7，7是质数； B．假设质数是7，合数是4，此时相减的差是3，3是质数； C．一个质数乘一个合数，乘积的因数至少包含1和乘积本身两个因数以及相乘的质数和合数，则一个质数与一个合数的积一定是合数； D．无法确定； 故答案为：C 【变式训练】一个四位数，千位上的数是最小的质数，百位上的数是最小的合数，十位上的数既不是质数也不是合数，个位上的数既是奇数又是合数，这个数是( )。 【答案】2419 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【详解】最小的质数是2，千位上的数是2；最小的合数是4，百位上的数是4；1既不是质数也不是合数，十位上的数是1；一位数中既是奇数又是合数的是9，个位上的数是9，这个数是2419。 考点十：运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】29名学生要分成两组，如果第一组人数为奇数，则第二组人数也一定是奇数。( ) 【答案】 × 【分析】偶数：像0，2，4，6，8…都是2的倍数的数叫做偶数。奇数：像1，3，5，7…不是2的倍数的数叫做奇数。 根据奇数和偶数的性质，奇数减去奇数等于偶数。据此判断。 【详解】总人数29是奇数。如果第一组人数为奇数，则第二组人数为29－奇数。根据奇偶性运算规则：奇数－奇数＝偶数，因此第二组人数一定是偶数，而不是奇数。原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】若79□－46的差是偶数，则□里一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，是2的倍数的数叫做偶数；一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数，一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数；奇数和偶数的运算性质：奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，据此判断即可。 【详解】由分析可得：因为偶数减偶数的差是偶数，所以79□是偶数，偶数的个位上是偶数，所以□里一定是偶数。 故答案为：A 【变式训练】b＋a＝2024，若b是奇数，那么a一定是( )；A×B＝2024，若B是偶数，那么A可能是( )。（填奇数或偶数） 【答案】 奇数 奇数或偶数 【分析】由奇数和偶数的运算性质可知，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数；奇数×奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，两个整数相乘，如果积是偶数，那么至少有一个因数是偶数，据此解答。 【详解】分析可知，b（奇数）＋a＝2024（偶数），若b是奇数，那么a一定是奇数；A×B（偶数）＝2024（偶数），若B是偶数，那么A可能是奇数，也可能是偶数。 【变式训练】表中粗线框中三个数的和是9，在表中移动这个粗线框，可以使每次框出的三个数的和各不相同。 (1)一共可以框出( )个不同的和。 (2)( )（填“能”或“不能”）框出和是64的三个数。 【答案】(1)13 (2)不能 【分析】（1）将表中的15个数依次以“三连格”方式框出，即从1＋3＋5到25＋27＋29，15个数中，从1开始一直到25都能框出“三连格”，但最后两个数27和29无法与后面的数框出“三连格”，所以一共得到13个不同的和。 （2）表中的数都是奇数，根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，可知三个奇数相加的和一定是奇数，据此判断是否能框出和为64的三个数。 【详解】（1）15－2＝13（个） 一共可以框出（13）个不同的和。 （2）每次框出来的三个数都是奇数，3个奇数相加和是奇数，而64是偶数，所以（不能）框出和是64的三个数。 综合训练 1．÷b＝2……1，下列说法正确的是（    ）。（、b均大于0的自然数） A．一定是偶数 B．b一定是奇数 C．一定是奇数 D．b是的因数 【答案】C 【分析】通过除法算式推导的表达式，再判断奇偶性：带余除法中，，结合奇偶运算规则（）可分析的性质。 【详解】根据带余除法公式，由可得： 分析的奇偶性： 是2的倍数，一定是偶数；1是奇数。根据“”，可知一定是奇数。 A．是奇数，不是偶数，错误； B．可以是任意大于0的自然数（如时，，是偶数），故不一定是奇数，错误； C．由上述推导，一定是奇数，正确； D．因数要求整除（无余数），但余1，故不是的因数，错误。 故答案为：C 2．4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是3的倍数，又是5的倍数。请你想一想，翻开的两个页码依次可能是（    ）。 A．32，33 B．34，35 C．62，63 D．74，75 【答案】D 【分析】同时是3和5倍数的倍数特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数，由此找出符合题意的两个页码。 【详解】A．分析可知，32、33都不是5的倍数，所以翻开的两个页码不可能是32，33； B．分析可知，3＋4＝7，3＋5＝8，7和8都不是3的倍数，则34、35都不是3的倍数，所以翻开的两个页码不可能是34，35； C．分析可知，62、63都不是5的倍数，所以翻开的两个页码不可能是62，63； D．分析可知，75是5的倍数，7＋5＝12，12是3的倍数，则75既是3的倍数，又是5的倍数，所以翻开的两个页码依次可能是74，75。 综上所述，翻开的两个页码依次可能是74，75。 故答案为：D 3．明明买3个相同的布偶，花了9□.70元，个位上的数字记不清了□代表的数字可能是（    ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，总价＝单价×数量，3个相同的布偶的总价是9□.70元，说明总价除以3可以除尽，即整数9□70是3的倍数。据此分析9＋□＋7＋0的和是否为3的倍数，进而确定□代表的数字，据此解答。 【详解】A．93.70，9＋3＋7＋0＝19，19不是3的倍数，整数9370不是3的倍数，即93.70除以3除不尽，则□代表的数字不可能是3。 B．94.70，9＋4＋7＋0＝20，20不是3的倍数，整数9470不是3的倍数，即94.70除以3除不尽，则□代表的数字不可能是4。 C．95.70，9＋5＋7＋0＝21，21是3的倍数，整数9570是3的倍数，即95.70÷3＝31.90，则□代表的数字可能是5。 D．96.70，9＋6＋7＋0＝22，22不是3的倍数，整数9670不是3的倍数，即96.70除以3除不尽，则□代表的数字不可能是6。 故答案为：C 4．没有猜想就没有数学的发展。“孪生质数猜想”是著名数学猜想：如果两个质数的差是2，那么这两个质数称为孪生质数。下面四组数中，（    ）是孪生质数。 A．1和3 B．5和11 C．17和19 D．23和25 【答案】C 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。1既不是质数也不是合数；据此逐项分析。 【详解】A．1不是质数，不符合题意； B．5和11都是质数，但两个数的差不是2，不符合题意； C．17和19都是质数，两个数的差还是2，符合题意； D．25不是质数，不符合题意。 17和19是孪生质数。 故答案为：C 5．智能家居给人们的生活带来便捷。妈妈给家里的智能大门设置六位密码，前四位是3345。后面两位数字忘记了，只记得这六位数既是3的倍数，又含有因数5。为了打开大门，妈妈最多需要试（    ）次。 A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数；3的倍数特征：一个数的各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 已知这个六位数前四位是3345，设后两位为a和b（a是十位数字，b是个位数字），这个数各位数之和为3＋3＋4＋5＋a＋b＝15＋a＋b。因为这个数含有因数5，所以b＝0或b＝5。 当b＝0时，15＋a＋0＝15＋a，要是3的倍数，则a可以是0、3、6、9； 当b＝5时，15＋a＋5＝20＋a，要是3的倍数，则a可以是1、4、7。据此解答。 【详解】设后两位为a和b（a是十位数字，b是个位数字）。 3＋3＋4＋5＋a＋b＝15＋a＋b 当b＝0时，15＋a＋0＝15＋a，要是3的倍数，则a可以是0、3、6、9，共4种； 当b＝5时，15＋a＋5＝20＋a，要是3的倍数，则a可以是1、4、7，共3种。 4＋3＝7（种） 因此，为了打开大门，妈妈最多需要试7次。 故答案为：D 6．是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。是（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意可知，前两位数是2的倍数，说明是偶数，则可能是2、4、6；前三位数是3的倍数，说明是3的倍数；前四位数是4的倍数，则组成的两位数是4的倍数；前五位数是5的倍数，说明是5；整个六位数是6的倍数，说明这个六位数同时是2和3的倍数，即可能是2、4、6，且各个位上数字之和是3的倍数，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，21是3的倍数，即这六个数字组成的六位数一定是3的倍数，只需考虑符合条件的偶数，据此分析确保满足题目中的所有条件。 【详解】分析可知，一定是5，可能是2、4、6，可能是2、4、6，可能是2、4、6，因为只有三个偶数，所以这三个偶数一定不相邻，前四位数是4的倍数，则可能是12、16、32、36，当为12时，只能是3，这个六位数是341256（3＋4＋1＝8，8不是3的倍数）或361254（3＋6＋1＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当为16时，只能是3，这个六位数是321654（3＋2＋1＝6，6是3的倍数）或341652（3＋4＋1＝8，8不是3的倍数），341652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数321654符合题意；当为32时，只能是1，这个六位数是143256（1＋4＋3＝8，8不是3的倍数）或163254（1＋6＋3＝10，10不是3的倍数），这两个六位数的前三位数都不是3的倍数，不符合题意；当为36时，只能是1，这个六位数是123654（1＋2＋3＝6，6是3的倍数）或143652（1＋4＋3＝8，8不是3的倍数），143652的前三位数不是3的倍数，不符合题意，六位数123654符合题意，综上所述，这个六位数是321654或123654，所以是4。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查2、3、4、5、6的倍数特征，先确定的值，再从4的倍数特征解决问题，逐步分析找出符合所有条件的六位数是解答题目的关键。 7．要使30□既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填( )。 【答案】0 【分析】3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数，那么这个数是3的倍数； 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。 【详解】数字30□的各位数字之和为3＋0＋□＝3＋□。 当□＝0时，和为3，是3的倍数； 当□＝5时，和为8，不是3的倍数。 所以要使30□既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填0。 8．一个九位数，最高位上是最小的合数，千万位上的数是最大的一位数，万位上的数既是偶数，又是素数，十位上的数是最小的奇数，其余各位上都是0，这个数写作( )，省略“万”后面的尾数约是( )万。 【答案】 490020010 49002 【分析】素数（也叫质数）只有1和它本身两个因数的数，合数是除了1和它本身两个因数外，还有其他因数。2是最小的素数，4是最小的合数。省略“万”后面的尾数约是多少，看千位上的数字是几，利用四舍五入的方法，取近似数。据此解答。 【详解】最高位上是最小的合数：4。千万位上的数是最大的一位数：9。万位上的数既是偶数，又是素数：2。十位上的数是最小的奇数：1，其余各位上都是0，这个数写作490020010，省略“万”后面的尾数，千位上是0，0小于5，利用“四舍”取近似数约是49002万。 所以这个数写作490020010，省略“万”后面的尾数约是49002万。 9．小兔子今年种植的白萝卜大丰收，它上午收割了54个白萝卜后，准备将收割的萝卜装在一些篮子里，如果装成2篮，每篮( )个；如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，共有( )种不同的装法。 【答案】 27 7 【分析】求如果装成2篮，每篮几个，即把54个平均分成2份，用除法计算即可； 如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，求共有多少种不同的装法，需要找出54的所有因数，根据因数求出符合条件的装法。 【详解】54÷2＝27（个） 如果装成2篮，每篮27个。 54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9 每篮装1个，可装54篮；每篮装2个，可装27篮；每篮装3个，可装18篮；每篮装6个，可装9篮；每篮装9个，可装6篮；每篮装18个，可装3篮；每篮装27个，可装2篮；每篮装54个，可装1篮（不符合题意）。所以共有7种不同的装法。 10．三位数4□2是3的倍数时，□里最大填( )，三位数27□是5的倍数时，□里最大填( )。 【答案】 9 5 【分析】3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，则这个数就是3的倍数。所以三位数4□2是3的倍数时，即4＋2＋□也就是6＋□一定是3的倍数，□最大填9。 5的倍数特征：末尾是0或5的数是5的倍数，所以三位数27□是5的倍数时，□里最大填5。据此填空即可。 【详解】4＋9＋2 ＝13＋2 ＝15 15是3的倍数，所以492是3的倍数。 三位数4□2是3的倍数时，□里最大填9，三位数27□是5的倍数时，□里最大填5。 11．一个数同时是3和5的倍数，这个数是两位数时，最小是( )，这个数是三位数时，最大是( )。 【答案】 15 990 【分析】各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数；所以两位数中同时是3和5的倍数的数有15、30、45…，最小的是15；最大三位数是999，999是3的倍数，但不是5的倍数，995是5的倍数，但不是3的倍数，而990同时是3和5的倍数，并且没有比990大，同时是3和5的倍数的三位数，所以同时是3和5的倍数的最大三位数是990。 【详解】根据分析可知，一个数同时是3和5的倍数，这个数是两位数时，最小是15，这个数是三位数时，最大是990。 12．在1－10的自然数中，既是质数又是偶数的数是( )，既是奇数又是合数的数是( )，( )既不是质数也不是合数。 【答案】 2 9 1 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此填空。 【详解】在1－10的自然数中，既是质数又是偶数的数是2，既是奇数又是合数的数是9，1既不是质数也不是合数。 13．妙妙和甜甜玩抽纸牌游戏，游戏规则如下：从下面这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相乘，若乘积为3的倍数，则妙妙获胜，否则甜甜获胜，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，设计一个对双方都公平的游戏规则。 【答案】不公平；理由和公平游戏规则见详解 【分析】从4张纸牌（数字为1、3、5、6）中任意取2张，共有6种组合，1和3：乘积为1×3＝3，3是3的倍数。1和5：乘积为1×5＝5，5不是3的倍数。1和6：乘积为1×6＝6，6是3的倍数。3和5：乘积为3×5＝15，15是3的倍数。3和6：乘积为3×6＝18，18是3的倍数。5和6：乘积为5×6＝30，30是3的倍数。在这6种组合中，乘积为3的倍数的有5种，不是3的倍数的有1种。因此这个游戏不公平。 新规则：从这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相加，若和为奇数，则妙妙获胜；若和为偶数，则甜甜获胜。计算所有组合的和：1＋3＝4（偶数）。1＋5＝6（偶数）。1＋6＝7（奇数）。3＋5＝8（偶数）。3＋6＝9（奇数）。5＋6＝11（奇数）。和为奇数的有3种，和为偶数的有3种，所以妙妙和甜甜获胜的可能性相等，游戏公平。 【详解】1×3＝3，是3的倍数； 1×5＝5，不是3的倍数； 1×6＝6，是3的倍数； 3×5＝15，是3的倍数； 3×6＝18，是3的倍数； 5×6＝30，是3的倍数； 乘积为3的倍数的有5种，不是3的倍数的有1种。 从这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相加，若和为奇数，则妙妙获胜；若和为偶数，则甜甜获胜。 1＋3＝4（偶数） 1＋5＝6（偶数） 1＋6＝7（奇数） 3＋5＝8（偶数） 3＋6＝9（奇数） 5＋6＝11（奇数） 和为奇数的有3种，和为偶数的有3种，所以妙妙和甜甜获胜的可能性相等，游戏公平。 答：这个游戏不公平，因为妙妙获胜的可能性与甜甜获胜的可能性不相等。公平的游戏规则可以是从这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相加，若和为奇数，则妙妙获胜，若和为偶数，则甜甜获胜。（新规则不唯一） 14．五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 【答案】五（1）班：39人；五（2）班：36人；五（3）班：33人 【分析】3的倍数的特征：所有数位上的数字之和能被3整除的数；倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么c是a、b的倍数。如：4×9＝36，36是4和9的倍数；据此先找出30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数；再把这些数比较大小，其中最小的数就是五（3）班的人数；偶数：能被2整除的数，奇数：不能被2整除的数，据此找出其中的奇数和偶数并确定五（1）班和五（2）班的人数。 【详解】30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数：33，36，39； 其中33和39是奇数，36是偶数， 且39＞36＞33。 答：五（1）班有39人，五（2）班有36人，五（3）班有33人。 15．王阿姨在网络上卖陶瓷杯子，她刚好有一份需要57个杯子的订单，有以下三种规格的盒子：①每盒装3个；②每盒装4个；③每盒装5个。如果只能选择用同一种规格的盒子，那么她选择哪种规格的盒子合适？请说明理由。 【答案】①；理由见详解 【分析】要选择合适的盒子规格，需判断57是否能被3、4、5整除。若能被整除，则说明该规格的盒子能刚好装完杯子，否则会有剩余。 【详解】①57÷3＝19（盒） ②57÷4＝14（盒）……1（个） ③57÷5＝11（盒）……2（个） 答：选择规格①的盒子合适，因为只有每盒装3个的盒子能刚好装完57个杯子。 16．2024年为了庆祝中华人民共和国成立75周年，人民广场用蝴蝶兰和一串红摆成了庆国庆的图案，已知蝴蝶兰的盆数是一串红的3.4倍。蝴蝶兰比一串红多240盆，蝴蝶兰和一串红各有多少盆？ 【答案】蝴蝶兰340盆；一串红100盆 【分析】把一串红的盆数看作1份，蝴蝶兰的盆数是3.4份，那么蝴蝶兰比一串红多的份数为3.4－1＝2.4份，而实际蝴蝶兰比一串红多240盆，这240盆就对应着多出来的2.4份。所以用多出来的盆数240除以多出来的份数，就得到1份的数量，也就是一串红的盆数，蝴蝶兰比一串红多240盆，从而再求出蝴蝶兰的盆数。 【详解】一串红：240÷(3.4－1) ＝240÷2.4 ＝100（盆） 蝴蝶兰：100＋240＝340（盆） 答：蝴蝶兰有340盆，一串红有100盆。 17．丁丁和笑笑带100元钱去蛋糕店购物，他们选了两种好吃的蛋糕和面包（如下图）。结账时售货员找给他们75元。阿姨找的钱对吗？为什么？ 【答案】不对；理由见详解 【分析】用100减去75求出花的钱数，即100－75＝25元，面包的单价是2元/个，蛋糕的单价是10元/个。2和10都是偶数，根据偶数＋偶数＝偶数，偶数乘任何数都是偶数进行判断。 【详解】100－75＝25（元） 根据“偶数×数量＝偶数”，购买面包的总价是偶数，购买蛋糕的总价也是偶数：再根据“偶数＋偶数＝偶数”，两种商品的总价必然是偶数。但25是奇数，与“总价应为偶数”矛盾，因此阿姨找的钱不对。 答：阿姨找的钱不对，因为找的钱应为偶数，但25是奇数。 18．红红到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，她买了3本日记本，售货员阿姨说应付34元，你认为售货员阿姨说的对吗？你能帮红红解释这是为什么吗？ 【答案】不对，因为34不能被3整除，所以34不是3的倍数 【分析】根据单价×数量＝总价，可知3本日记本的总价是3的倍数，据此判断34是否是3的倍数即可。 【详解】34÷3＝11……1 答：不对，因为34不能被3整除，所以34不是3的倍数。 19．五年级（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人，不包括3人） 【答案】第一种方案：每行4人，每列12人；第二种方案：每行6人，每列8人 【分析】总人数等于每行人数乘每列人数，即“每行人数×每列人数＝48”。同时，题目要求每行每列不少于3人且不包括3人，也就是每行和每列的人数都必须大于3人（即大于等于4人）。因此，需要找出48的所有因数，再从因数中筛选出大于3的因数，然后将这些因数两两组合，使得它们的乘积为48，每一组组合就对应一种长方形队列的排列方案。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。根据要求，排除1、2、3，剩下的有效因数为：4、6、8、12、16、24、48。 从有效因数中挑选两两相乘等于48的组合： 第一种方案：每行4人，每列12人（因为4×12＝48，且4和12都大于3）。 第二种方案：每行6人，每列8人（因为6×8＝48，且6和8都大于3）。 答：第一种方案：每行4人，每列12人；第二种方案：每行6人，每列8人。 20．2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 【答案】64人 【分析】列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此找到60~70之间8的倍数即可。 【详解】8×1＝8 8×2＝16 8×3＝24 8×4＝32 8×5＝40 8×6＝48 8×7＝56 8×8＝64 60~70之间8的倍数是64。 答：六（1）班观看比赛的学生有64人。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 因数和倍数 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、基本概念 1 二、因数的意义及找法 2 三、倍数的意义及找法 2 四、特殊数的因数与倍数特征 3 五、易混点辨析 3 考点讲练 3 考点一：因数和倍数的认识 3 考点二：找一个数的因数及因数的特征 5 考点三：根据因数的特征解决问题 7 考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 9 考点五：根据倍数的特征的解决问题 10 考点六：因数和倍数的综合应用 13 考点七：2、5、3的倍数的特征 15 考点八：质数和合数的认识 18 考点九：质数和合数的综合运用 20 考点十：运算性质（奇数和偶数） 22 综合训练 24 知识梳理 一、基本概念 1.因数和倍数的定义 在整数除法中（除数不为0），如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 研究范围：通常指非0自然数（即1,2,3,...），不包括0。 相互依存关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。例如：因为2×3=6，所以6是2和3的倍数，2和3是6的因数（不能说“6是倍数”“2是因数”）。 二、因数的意义及找法 1.因数的意义 一整数被另一整数整除，后者即是前者的因数。例如：12÷3=4 Входит，3和4是12的因数。 2.找一个数的因数的方法 列举法（除法）：从1开始，用这个数依次除以1,2,3,...，直到除数和商重复或除数大于商为止，能整除的除数和商都是这个数的因数。 ▶ 示例：找18的因数 18÷1=18（1和18是因数）；18÷2=9（2和9是因数）；18÷3=6（3和6是因数）；18÷4=4.5（不能整除，停止）。 所以18的因数有：1,2,3,6,9,18。 集合法：将找到的因数按从小到大的顺序填入集合圈中，避免重复或遗漏。 3.因数的特征 一个数的因数个数是有限的。 最小的因数是1，最大的因数是它本身。 三、倍数的意义及找法 1.倍数的意义 一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。例如：12÷3=4，12是3和4的倍数。 2.找一个数的倍数的方法 列举法（乘法）：用这个数依次乘1,2,3,...，所得的积都是这个数的倍数。 ▶ 示例：找5的倍数 5×1=5，5×2=10，5×3=15，5×4=20，... 所以5的倍数有：5,10,15,20,...（用“...”表示无限）。 除法验证：若一个数除以这个数，商是整数且没有余数，则这个数是原数的倍数。 3.倍数的特征 一个数的倍数个数是无限的。 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 四、特殊数的因数与倍数特征 1.1的因数与倍数 1的因数只有1（最小和最大因数都是1）。 1的倍数是所有非0自然数（1×1=1，1×2=2，1×3=3，...）。 2.0的特殊性 0不能作为除数，所以0没有因数；0除以任何非0数都得0，所以0是任何非0数的倍数，但在本单元研究范围中通常不考虑0的倍数。 3.一个数既是自身的因数也是自身的倍数 任何非0自然数都是它本身的因数和倍数。例如：6是6的因数（6÷6=1），也是6的倍数（6×1=6）。 五、易混点辨析 区分“因数”与“乘法算式中的因数”：本单元的“因数”是基于整除关系的概念，如在“2×3=6”中，2和3是6的因数（强调整除）；而乘法算式中的“因数”仅指相乘的数（如0.2×3=0.6中的0.2和3是因数，但不满足本单元“因数”定义）。 区分“倍数”与“倍”：“倍数”是针对整数而言（如6是3的倍数）；“倍”可用于小数（如0.6是0.3的2倍），本单元仅研究“倍数”。 考点讲练 考点一：因数和倍数的认识 【典例精讲】48÷6＝8，( )和( )是48的因数，48是( )和( )的倍数。 【变式训练】想要把90瓶饮料正好装完，选择哪种包装盒不合适？（    ） A． B． C． D． 【变式训练】老师要将24本作业本平均分给若干名学生，刚好分完，每人得到的本数相同且多于1本。以下哪种分法不可能实现（    ）。 A．分给2人 B．分给5人 C．分给8人 D．分给12人 【变式训练】a的最大因数是15，则a的因数有( )；b既是25的因数，又是25的倍数，b是( )。 考点二：找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】有60盒果汁饮料，选择（    ）的包装箱不能正好包装完。 A．18盒一箱 B．15盒一箱 C．12盒一箱 【变式训练】教师节那天，五（1）班42名同学去参观博物馆，把他们分成人数相等的若干个小组，（每组至少2人，最多21人）共有( )种分法，若分成6组，每组人数是42的( )。（填“因数”或“倍数”） 【变式训练】唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【变式训练】完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：，则6是一个完全数。下面选项中，（    ）是完全数。 A．8 B．14 C．28 考点三：根据因数的特征解决问题 【典例精讲】学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【变式训练】24人分组做游戏，每组人数相等，且不少于2人，共有（    ）种分法。 A．4 B．6 C．8 D．10 【变式训练】继共享单车后，某公司推出了共享篮球，他们准备在每个体育场门口放60个篮球方便大家使用。下面三种包装方式中，（    ）种包装方式能正好装完。 A． B． C． 【变式训练】有一个小储藏室，地面是边长为米的正方形，要给地面铺正方形瓷砖，要求正好铺满，没有空隙也不浪费，那么下面几种规格的正方形瓷砖中不能选择的是（    ）。 A．边长10厘米 B．边长15厘米 C．边长20厘米 D．边长30厘米 考点四：找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】一个数的因数（    ）它的倍数。 A．一定小于 B．一定大于 C．一定等于 D．小于或等于 【变式训练】200的因数的个数比20的倍数的个数多。( ) 【变式训练】一个数的最大因数和最小倍数都是15，这个数是（    ）。 A．3 B．15 C．25 D．30 【变式训练】12的因数有( )个，其中最小的因数是( )，最大的因数是( )；13的最小倍数是( )。 考点五：根据倍数的特征的解决问题 【典例精讲】有六个水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。香蕉有( )千克。 38．王老师买了一些单价是2元的绘画笔，她给收银员100元，收银员找给她37元。( ) 【变式训练】小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【变式训练】小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 考点六：因数和倍数的综合应用 【典例精讲】赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【变式训练】小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【变式训练】今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【变式训练】有一个电话号码是****﹣ABCDEFG。已知：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5的最大因数；D既是4的倍数，又是4的因数；E的所有因数是1、2、3、6；F的所有因数是1、3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 考点七：2、5、3的倍数的特征 【典例精讲】在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 【变式训练】小宇、海海和乐乐三人今年的年龄和是奇数。5年后，他们三人的年龄和是奇数还是偶数？为什么？ 【变式训练】为积极营造儿童友好的社区氛围，促进亲子间的互动交流，让孩子们亲近自然、体验劳动的乐趣。7月25日，祥和社区组织10多组家庭参与采摘活动，蔬菜园的门票价格是统一的，且是整数，爸爸买了3张门票，付了100元，找回5元。找回的钱数对吗？为什么？ 【变式训练】虎头帽，是以老虎为形象的，中国民间儿童服饰中比较典型的一种童帽样式，王奶奶做了42顶虎头帽，如果每2顶装一袋，能正好装完吗？如果每5顶装一袋，能正好装完吗？为什么？ 考点八：质数和合数的认识 【典例精讲】18的因数有( )个，其中既是质数又是偶数的是( )，既是合数又是奇数的是( )，既不是质数也不是合数的是( )。 【变式训练】地球到某个恒星的距离是一个九位数，亿位上是最小的质数，百万位上是最小的合数，千位上的数既不是质数也不是合数，其余各个数位上都是最小的自然数，这个数写作( )，改写成以“万”为单位的近似数是( )万。 【变式训练】哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 【变式训练】在1、2、24、59、61、155中，质数有( )个，奇数有( )个。 考点九：质数和合数的综合运用 【典例精讲】杭州亚运会开幕式的日期很特别：表示月份的数是一位数中最大的合数；表示日子的数是一个两位数，十位上是最小的质数，个位上是 3 的最小倍数。开幕式的日期是（    ）。 A．8月23日 B．8月26日 C．9月13日 D．9月23日 【变式训练】乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【变式训练】如果○表示一个质数，△表示是一个合数，那么下列的结果一定是合数的是（    ）。 A．○＋△ B．○－△ C．○×△ D．无法确定 【变式训练】一个四位数，千位上的数是最小的质数，百位上的数是最小的合数，十位上的数既不是质数也不是合数，个位上的数既是奇数又是合数，这个数是( )。 考点十：运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】29名学生要分成两组，如果第一组人数为奇数，则第二组人数也一定是奇数。( ) 【变式训练】若79□－46的差是偶数，则□里一定是（    ）。 A．偶数 B．奇数 C．质数 D．合数 【变式训练】b＋a＝2024，若b是奇数，那么a一定是( )；A×B＝2024，若B是偶数，那么A可能是( )。（填奇数或偶数） 【变式训练】表中粗线框中三个数的和是9，在表中移动这个粗线框，可以使每次框出的三个数的和各不相同。 (1)一共可以框出( )个不同的和。 (2)( )（填“能”或“不能”）框出和是64的三个数。 综合训练 1．÷b＝2……1，下列说法正确的是（    ）。（、b均大于0的自然数） A．一定是偶数 B．b一定是奇数 C．一定是奇数 D．b是的因数 2．4月23日是“世界读书日”，学校开展了读书活动。笑笑看了一本80页的画册，翻开后看到两个页码，其中一个页码既是3的倍数，又是5的倍数。请你想一想，翻开的两个页码依次可能是（    ）。 A．32，33 B．34，35 C．62，63 D．74，75 3．明明买3个相同的布偶，花了9□.70元，个位上的数字记不清了□代表的数字可能是（    ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 4．没有猜想就没有数学的发展。“孪生质数猜想”是著名数学猜想：如果两个质数的差是2，那么这两个质数称为孪生质数。下面四组数中，（    ）是孪生质数。 A．1和3 B．5和11 C．17和19 D．23和25 5．智能家居给人们的生活带来便捷。妈妈给家里的智能大门设置六位密码，前四位是3345。后面两位数字忘记了，只记得这六位数既是3的倍数，又含有因数5。为了打开大门，妈妈最多需要试（    ）次。 A．1 B．4 C．5 D．7 6．是一个六位数，由数字1、2、3、4、5、6组成，且数位上没有重复数字。前两位数是2的倍数，前三位数是3的倍数，前四位数是4的倍数，前五位数是5的倍数，整个六位数是6的倍数。是（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．6 7．要使30□既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填( )。 8．一个九位数，最高位上是最小的合数，千万位上的数是最大的一位数，万位上的数既是偶数，又是素数，十位上的数是最小的奇数，其余各位上都是0，这个数写作( )，省略“万”后面的尾数约是( )万。 9．小兔子今年种植的白萝卜大丰收，它上午收割了54个白萝卜后，准备将收割的萝卜装在一些篮子里，如果装成2篮，每篮( )个；如果要求每个篮子（至少2个篮）装得同样多，共有( )种不同的装法。 10．三位数4□2是3的倍数时，□里最大填( )，三位数27□是5的倍数时，□里最大填( )。 11．一个数同时是3和5的倍数，这个数是两位数时，最小是( )，这个数是三位数时，最大是( )。 12．在1－10的自然数中，既是质数又是偶数的数是( )，既是奇数又是合数的数是( )，( )既不是质数也不是合数。 13．妙妙和甜甜玩抽纸牌游戏，游戏规则如下：从下面这4张纸牌中任意取出2张，将这两张纸牌上的数字相乘，若乘积为3的倍数，则妙妙获胜，否则甜甜获胜，这个游戏公平吗？为什么？如果不公平，设计一个对双方都公平的游戏规则。 14．五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 15．王阿姨在网络上卖陶瓷杯子，她刚好有一份需要57个杯子的订单，有以下三种规格的盒子：①每盒装3个；②每盒装4个；③每盒装5个。如果只能选择用同一种规格的盒子，那么她选择哪种规格的盒子合适？请说明理由。 16．2024年为了庆祝中华人民共和国成立75周年，人民广场用蝴蝶兰和一串红摆成了庆国庆的图案，已知蝴蝶兰的盆数是一串红的3.4倍。蝴蝶兰比一串红多240盆，蝴蝶兰和一串红各有多少盆？ 17．丁丁和笑笑带100元钱去蛋糕店购物，他们选了两种好吃的蛋糕和面包（如下图）。结账时售货员找给他们75元。阿姨找的钱对吗？为什么？ 18．红红到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，她买了3本日记本，售货员阿姨说应付34元，你认为售货员阿姨说的对吗？你能帮红红解释这是为什么吗？ 19．五年级（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人，不包括3人） 20．2024年7月30日，我国选手王楚钦和孙颖莎一路“过关斩将”获得中国奥运会乒乓球混双首金。实验小学六（1）班热爱兵乓球的学生们在家观看了比赛，观看比赛的人数是8的倍数，且在60~70人之间。六（1）班观看比赛的学生有多少人？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $