专题06 勾股定理（专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题06 勾股定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股定理解三角形 1 题型二、勾股定理的证明 2 题型三、勾股定理证明线段关系 4 题型四、勾股定理与网格问题 5 题型五、勾股定理与折叠问题 6 题型六、两点距离的求解 9 题型七、勾股数问题 10 题型八、勾股定理构造图形解决问题 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股定理解三角形 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，是边上的中线，，垂足为点E，交于点F，则（    ） A．12 B．8 C．7 D．4 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（    ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 5．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 题型二、勾股定理的证明 1．（21-22八年级下·河南三门峡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 题型三、勾股定理证明线段关系 1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 3．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 5．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 6．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 题型四、勾股定理与网格问题 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 3．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 题型五、勾股定理与折叠问题 1．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 3．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 6．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 7．如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． (1)求证：． (2)若，，则的面积为__________． 8．如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 9．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 题型六、两点距离的求解 1．（25-26八年级上·广西柳州·期末）在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 3．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． ∴代数式的最小值为． 题型七、勾股数问题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．1，1， C．9，12，15 D．5，7，12 2．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是 ． 6．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 7．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为 ． 8．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则25是“完美勾股数”，7，24是25的”伴侣勾股数”． (1)木工师傅要制作一个直角三角形支架，要求三边长均为正整数，且斜边长为，则两条直角边的长度分别是___________cm和___________cm； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”； (3)已知且为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式，求的值． 9．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 题型八、勾股定理构造图形解决问题 1．（25-26八年级上·陕西西安·周测）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 4．（25-26八年级上·上海金山·期末）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 5．如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 6．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）在直线上找出一点P，使得的值最小，该最小值为________（保留两图痕迹并标上字母P） 7．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是1则每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，3，，； （2）在图2中，线段的端点在格点上，请画出以为一边的三角形使这个三角形的面积为6（要求至少画出3个）； （3）在图3中，的顶点M，N在格点上，P在小正方形的边上，问这个三角形的面积相当于多少个小方格的面积？ 8．（2019·广东佛山·一模）观察下图，每个小正方形的边长均为 图中阴影部分面积（正方形）的面积是 ，边长是        作图，在数轴上作出边长的对应点（要求保留作图痕迹）    1．（2019·重庆·一模）问题探究题 问题背景：如图1，在中，、、三边的长分别为，，，求的面积． （1）问题解决：小明在计算这个三角形面积的时候，采用了传统的三角形面积计算公式的方法计算，即求出三角形的一条高.如图2，他过点作于点，为了求出高的长，他设，则，根据勾股定理，可列方程：_______________________，该方程解得__________，再根据勾股定理求出高的长，从而计算的面积（注：此小问不用计算的长和的面积）； （2）思维拓展：小辉同学在思考这个问题时，觉得小明的方法在计算上比较复杂，他先建立了一个正方形网格（每个正方形网格的边长是1），再在网格中画出了格点（即的三个顶点都在正方形的网格线的交点处），如图3，这样就不用求的高，直接借助网格就能计算的面积为__________（直接写出的面积即可）； （3）方法应用：我们将小辉的方法称为“构图法”，若的三边长分别为，，（），请在图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积； （4）探索创新：若中有两边长为，，且的面积为2，请在图5和备用图的正方形网格中画出所有可能情况（全等三角形视为同一种情况），则的第三边长为______________（直接写出所有可能的情况）． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知一个直角三角形，其中，，．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D． （1）如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为__________； （2）如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； （3）如图3，若折叠后点B落在边上的点为点，设，，试写出y关于x的函数解析式． 3．如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理 目录 A题型建模・专项突破 题型一、勾股定理解三角形 1 题型二、勾股定理的证明 5 题型三、勾股定理证明线段关系 8 题型四、勾股定理与网格问题 14 题型五、勾股定理与折叠问题 18 题型六、两点距离的求解 28 题型七、勾股数问题 32 题型八、勾股定理构造图形解决问题 39 B综合攻坚・能力跃升 题型一、勾股定理解三角形 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，交于点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过作垂线构造全等三角形，结合勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵是的外角平分线，且，， ∴． 设，则． 在和中，，，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． 故点到直线的距离为； 故选：B． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，是边上的中线，，垂足为点E，交于点F，则（    ） A．12 B．8 C．7 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，延长至，使，连接，则是中位线，得到，则，，即可证明，得到，则，． 【详解】解：延长至，使，连接，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴是中位线， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（    ） A．2.4 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题利用了勾股定理和直角三角形的面积公式求解． 根据勾股定理求出斜边的长，利用面积法求出三角形斜边上的高． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别为和， ∴斜边长为. 设斜边上的高为， ∵面积相等，即， 解得， 故选A． 5．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据中垂线的性质，得到，等边对等角，得到，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理，得：， 即， 解得； ∴． 题型二、勾股定理的证明 1．（21-22八年级下·河南三门峡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图3中空白部分的面积为，则下列表示，的等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，，然后利用图形的面积列出等式进行整理即可． 【详解】解：由图可得，，， 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项即可． 【详解】解：A、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、由等面积法得，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； D、由等面积法得， 整理得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型三、勾股定理证明线段关系 1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 2．设为等腰直角斜边上或其延长线上一点，，那么（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面． 此题分两种情况讨论：①当在线段上，②当在的延长线上，利用勾股定理来探讨找到符合要求的点． 【详解】 解：为线段上时， ①当为中点时，如图 则有， 即； ②当点不为中点时，如图 过点作的垂线，设， 则 同理， 两式相加得 即； 点在的延长线上时，如图， 过点作垂直于的延长线于点， 过点作垂直于的延长线于点， 为等腰直角三角形， 为等腰直角三角形， 在中， 在中， 两式相加得 即； 综上可知：． 故选：B． 3．如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，进而判定①；根据勾股定理与等量代换可得②正确；根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③；再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 与不一定相等， 故不成立，故①错误； 由①中证明， ∴， 连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴， ∵, ∴，故③错误， ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大． 4．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 5．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 6．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 题型四、勾股定理与网格问题 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形， 则斜边， 故选A． 2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，，，均为格点（小正方形的顶点），以点为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】首先确定的长度，再利用“以为圆心，为半径画弧”可知，接着结合网格确定的长度，最后在直角三角形中运用勾股定理计算的长度． 【详解】解：如图，连接， 由网格图可知：， ∵以为圆心，为半径画弧， ∴． 在中， ． ∴． 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理和网格中线段长度的计算，解题关键是根据半径相等确定点的准确位置，再结合勾股定理计算目标线段的长度． 3．（25-26八年级上·山西运城·月考）如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，根据的面积即可求出． 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故选：D． 4．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理并能结合网格特点分析线段长度是解题的关键． 利用勾股定理，分别计算各选项对应的直角三角形的斜边长度，判断是否能在网格中得到线段的长度． 【详解】解：若，在网格中找不到整数、满足此等式，故的长不可能是，故A项符合题意； 如下图，，长度为的线段可在网格中找到，故B项不符合题意； 如下图，，长度为的线段可在网格中找到，故C项不符合题意； 如下图，，长度为的线段可在网格中找到，故D项不符合题意； 故选A． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理求出的长，设点到直线的距离为，等积法进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， 由网格可知：， 设点到直线的距离为，则：，即， 解得； 故选：B． 6．如图，每个小正方形的边长为1，四边形的顶点、、、都在格点上，则下面4条线段长度为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理进行求解，进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得，，，， 线段长度为的是， 故选D． 题型五、勾股定理与折叠问题 1．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则． 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，长方形沿直线折叠，使点落在同一平面内处，与交于点，则的长是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，等角对等边，平行线的性质，勾股定理； 先证明，再根据等角对等边，得出，然后设，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求得的值即可． 【详解】解：由折叠得，， ∵在长方形中，， ∴， ， ， 设，则， 在直角三角形中，，即， 解得， 的长为， 故选：B． 3．（25-26八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质，推出，根据三线合一，得到，求出，根据含30度角的直角三角形和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 故选C． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得，则可求出，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由、、，满足， 故是直角三角形，， 沿翻折后，落在上的点， 因此：，，， 即，设，则，； 又， 在中， ，即， 解得，即． 故选：C． 6．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 7．如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． (1)求证：． (2)若，，则的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)78 【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用即可判定； （2）设未知数，将问题转化到中利用勾股定理建立方程求出结果即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， ． 由折叠的性质，得，，， ，，， ． 在和中， ． （2）解：由折叠的性质，得． 设，则． 在中，， ，解得． ， ， ． 【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题的关键． 8．如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理可得的值，再根据翻折的性质，可得，设，，利用勾股定理列出方程求解x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． ∴的长为． 9．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 题型六、两点距离的求解 1．（25-26八年级上·广西柳州·期末）在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及平面直角坐标系中点的坐标特征． 解题的关键在于分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，再结合点在轴上这一条件，确定点的位置． 【详解】解：当时 已知，根据两点间距离公式，可得． 因为点在轴上，设，则． 由，即，解得，此时点的坐标为或，有个点． 当时 设，，根据两点间距离公式，． 因为，且，所以． 两边同时平方可得，即． 开方得． 当时，，此时与原点重合，不符合三角形的定义，舍去． 当时，，此时点的坐标为，有个点． 当时 设，，，． 由，即． 两边同时平方可得． 展开得． 移项化简得，解得，此时点的坐标为，有个点． 综上，符合条件的点有，，，，共个． 故选D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 3．已知点，点，点在轴上，并且满足，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标系中两点距离，掌握坐标系中两点的距离公式是解题的关键． 点在轴上，设其坐标为，根据，利用距离公式建立方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴=， 两边平方得， 化简得， 解得， 故点的坐标为， 故选B． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的考试知识集中在平面直角坐标系和三角形全等首先根据点的坐标及中点性质，得出；再结合和直角条件用定理证 ，推得；最后因在轴上，分正负半轴讨论，得到的坐标． 【详解】解：∵点是的中点，点， ∴， ∵点， ∴ ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 点在轴负半轴上时，坐标为； 点在轴正半轴上时，坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故选：C． 5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）阅读并回答下列问题 【几何模型】（1）如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．试说明理由． 【模型应用】（2）如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【拓展应用】（3）直接写出代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）当点关于的对称点与点共线时，的值最小，最小值为；（3） 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，解题的关键是正确利用轴对称的性质求解． （1）由轴对称的性质结合两点之间线段最短即可求解； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接，则，那么，故当点三点共线时，的值最小，最小值为，再由勾股定理求解即可； （3）将代数式的值转化为点到点和点的距离之和，设，，，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为，再由两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可得， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，点为为直线的交点； （2）作点关于的对称点，过点作延长线的垂线，垂足为点，连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为 ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴最小值为； （3）解：∵， ∴代数式的值表示点到点和点的距离之和， 设，，，如图，过点作轴的对称点，连接与轴交点即为点，此时最小值即为， ∴， ∴代数式的最小值为． 题型七、勾股数问题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．1，1， C．9，12，15 D．5，7，12 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，勾股数的定义，需同时满足正整数和勾股定理两个条件． 根据三角形三边关系判断是否构成三角形，根据勾股数是满足的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义． 【详解】解：勾股数需为正整数且满足勾股定理， 对于A：，，不是正整数，故不是勾股数； 对于B：不是正整数，故不是勾股数； 对于C：9，12，15均为正整数，且，满足勾股定理，故是勾股数； 对于D：5，7，12均为正整数，但，不能构成三角形，故不是勾股数； 故选：C． 2．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，分别以Rt的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理； 由勾股定理结合正方形的面积可知，结合已知可推出，再结合三角形的面积与正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故选：A． 3．（25-26八年级上·福建福州·期末）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027， 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．1，， B．0.3，0.4，0.5 C．2，3，4 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股数的定义，熟练掌握“满足，且a，b，c是正整数，则a，b，c叫做勾股数”是解题的关键． 根据勾股数是满足 的三个正整数，需逐一验证各选项是否符合定义． 【详解】解：A． ∵ 和 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． B． ∵ 0.3， 0.4， 0.5 不是正整数，∴ 不符合勾股数定义． C． ∵ ， ，， ∴ 不满足 ． D． ∵ ， ， ∴ ， 且均为正整数，符合定义． 故选：D． 5．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的意义及应用，熟练掌握勾股定理的应用是做题的关键． 根据勾股定理和正方形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， 由勾股定理可知， 正方形与的面积和等于正方形的面积，正方形与的面积和等于正方形的面积，并且正方形与的面积和等于最大的正方形的面积， 因此，四个小正方形A、B、C、D的面积之和为最大的正方形的面积． 最大的正方形的边长是， 最大的正方形的面积为， 即图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 7．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，60，61…根据上述规律，写出第⑥组勾股数为 ． 【答案】13，84，85 【分析】本题考查了数的规律问题，勾股数． 观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意可知，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 设第二个数字为b，则第三个数字为， 由勾股定理，得， 即， 整理得， 解得， 故． 因此第⑥组勾股数为． 故答案为：． 8．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则25是“完美勾股数”，7，24是25的”伴侣勾股数”． (1)木工师傅要制作一个直角三角形支架，要求三边长均为正整数，且斜边长为，则两条直角边的长度分别是___________cm和___________cm； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”； (3)已知且为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．多项式有一个因式，求的值． 【答案】(1)5， 12 (2) 证明见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了勾股数问题，完全平方公式的应用，多项式乘以多项式，因式分解等，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）根据勾股数可知，即可得出答案； （2）将原等式根据完全平方公式整理得，再根据新定义解答即可； （3）根据新定义可得，再根据多项式乘以多项式可得，然后根据法则计算整理，最后根据系数相等得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴斜边为，两条直角边的长度分别是和； 故答案为：5,12； （2）证明：∵， ∴， 即， ∴， 解得． ∵，即， ∴c是“完美勾股数”； （3）解：∵a，b为c的“伴侣勾股数”， ∴， ∴， ∴， 则． ∵， ∴． ∵多项式有一个因式， 设， ∴， 则， 解得． 9．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10；②见解析；探究2（2）①，；②，，证明见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 【详解】解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 故答案为：；． 题型八、勾股定理构造图形解决问题 1．（25-26八年级上·陕西西安·周测）为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，则问题即转化成求的最小值． (1)我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得，的最小值等于________； (2)请你根据上述方法，试构图求出代数式的最小值． (3)若，为正实数，且．求的最小值． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，二次根式的混合运算，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． （1）连接，根据两点之间线段最短，得到的最小值为的长，作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）仿照题干方法，将代数式的最小值转化为两条线段和最小的问题，利用勾股定理进行求解即可； （3）根据，得到，进而将转化为，类比题干方法进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，作，由题意，得， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为10； （2）解：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．则，． 连接，作，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故的最小值为． 2．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题． 比如的几何意义是以，为直角边的直角三角形斜边长，故当求的最小值时，可数形结合构造两个分别以，3和，1为直角边的直角三角形（如图），，，，，，由勾股定理知，，细心观察发现与的长度恰好凑成3，故将两个图形拼在一起，再由将军饮马几何模型与三角形三边关系可推得，当、、三点共线（点位于、之间）时，的最小值为线段的长． (1)根据上述规律和结论，请构图求代数式的最小值（其中）； (2)借助上述解题思路，迁移运用并从下列两个题中任选一题进行解答（其中）： ①解方程：； ②求代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2)①；② 【分析】本题考查了勾股定理的应用、三角形三边关系、将军饮马模型以及数形结合思想，解题的关键是根据代数式的几何意义构造直角三角形，将代数问题转化为几何最值或求解问题。 （1）构造以、和、为直角边的两个直角三角形，拼接成共边线段长为的图形，过其中一个直角三角形的顶点作平行线构造新的直角三角形，利用勾股定理计算出共线时的线段长度，即为代数式的最小值； （2）①构造以为公共直角边，斜边分别为、的两个直角三角形，结合已知等式判断出大三角形为直角三角形，利用面积法或两边平方的代数方法求解的值； ②构造两个直角三角形表示出代数式中的两个根式，利用三角形三边关系“两边之差小于第三边”，确定三点共线时差值取得最大值，再构造直角三角形用勾股定理计算该最大值。 【详解】（1）如图（1），作与， 且使，，，，， 则，， 连接交于点，则， 过作交延长线于，则，，， 在中，， 故的最小值为10． （2）解：①如图（2），作与，且使，，， 则，，， 在中，，即为直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图（3），作与，使，，， 则， 过点作于，连接，则，，，， 在中，由三边关系得：， 如图（4），当、、三点共线时，有最大值为． 【点睛】 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 【答案】能通过该隧道 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，取的中点，作于点，连接．设，则．结合勾股定理求出，即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，取的中点，作于点，连接． 设，则． 由题意可知：， 在中，由勾股定理，得． ． ． 这辆卡车能通过该隧道． 4．（25-26八年级上·上海金山·期末）【问题情境】 数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【定理探究】 （1）若直角三角形中，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理． 【实践应用】 （2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等是解题的关键． （1）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论； （2）根据题意设计方案即可． 【详解】（1）证明：由图可知，， ， ， ． （2）解：通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，如图2所示： 5．如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数大小比较，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，进而得，再根据点在轴的负半轴上即可得出点所表示的数； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为； （3）先计算，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， 点在轴的负半轴上， 点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为，如图所示： 理由如下： 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 故点表示的数为； （3）解：，， 又， ， ． 6．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A、B、C都在格点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的； （2）在直线上找出一点P，使得的值最小，该最小值为________（保留两图痕迹并标上字母P） 【答案】（1）见解析；（2）点P见解析，最小值为 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）点P为A1C1与直线l的交点，再利用勾股定理求出最小值即可． 【详解】解：（1）如图，即为所作； （2）如图，点P为A1C1与直线l的交点，此时最小， 最小值为：=． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是1则每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为，3，，； （2）在图2中，线段的端点在格点上，请画出以为一边的三角形使这个三角形的面积为6（要求至少画出3个）； （3）在图3中，的顶点M，N在格点上，P在小正方形的边上，问这个三角形的面积相当于多少个小方格的面积？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）10 【分析】（1）可先画长度为3的线段，根据勾股定理可得为长为2，宽为1的矩形的对角线，是边长为2的正方形的对角线，画图即可； （2）画高为3的三角形即可； （3）首先求出△MNP的面积，进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示， （2）如图所示： （3）△MNP的面积为：=10， 故这个小三角形的面积相当于10个小正方形的面积． 【点睛】本题考查无理数概念、勾股定理的应用、三角形的面积，正确掌握三角形面积求法是解题关键． 8．（2019·广东佛山·一模）观察下图，每个小正方形的边长均为 图中阴影部分面积（正方形）的面积是 ，边长是        作图，在数轴上作出边长的对应点（要求保留作图痕迹）    【答案】（1）10；；（2）见详解 【分析】（1）根据格点的特征利用勾股定理求边长，再计算面积即可； （2）以O为圆心，以边长为半径作圆，与数轴正方向的交点即为所求． 【详解】解：（1）阴影部分（正方形）的边长是：； 因此，阴影部分正方形的面积为； 故答案为：10，； （2）作图如下：点P即为所求，    【点睛】本题考查的知识点是勾股定理以及基本作图，利用格点的特征求出阴影部分正方形的面积是解此题的关键． 1．（2019·重庆·一模）问题探究题 问题背景：如图1，在中，、、三边的长分别为，，，求的面积． （1）问题解决：小明在计算这个三角形面积的时候，采用了传统的三角形面积计算公式的方法计算，即求出三角形的一条高.如图2，他过点作于点，为了求出高的长，他设，则，根据勾股定理，可列方程：_______________________，该方程解得__________，再根据勾股定理求出高的长，从而计算的面积（注：此小问不用计算的长和的面积）； （2）思维拓展：小辉同学在思考这个问题时，觉得小明的方法在计算上比较复杂，他先建立了一个正方形网格（每个正方形网格的边长是1），再在网格中画出了格点（即的三个顶点都在正方形的网格线的交点处），如图3，这样就不用求的高，直接借助网格就能计算的面积为__________（直接写出的面积即可）； （3）方法应用：我们将小辉的方法称为“构图法”，若的三边长分别为，，（），请在图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积； （4）探索创新：若中有两边长为，，且的面积为2，请在图5和备用图的正方形网格中画出所有可能情况（全等三角形视为同一种情况），则的第三边长为______________（直接写出所有可能的情况）． 【答案】（1），；（2）5.5；（3）作图见解析，S△ABC=5；（4）作图见解析，4或． 【分析】（1）在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，由此可得，即可得出方程求解； （2）利用矩形面积减去三个直角三角形的面积即可得△ABC的面积； （3）利用，，，即可画出三角形，并按照（2）的方法求面积； （4）先画出符合条件的图形，再根据勾股定理求出第三边长． 【详解】（1）∵在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2， ∴， 又∵，，， ∴ 解得 故答案为：，； （2）S△ABC= 故答案为：5.5； （3）如图所示，，，， S△ABC= （4）如图所示，符合题意的三角形有2个，△ABC与△ABC'， 其中，AB=，AC=BC'= ∴第三边长BC=4或AC'= 故答案为：4或． 【点睛】本题考查勾股定理与网格作图，解题的关键是利用网格特点，运用勾股定理求边长． 2．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知一个直角三角形，其中，，．将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D． （1）如图1，若折叠后使点B与点O重合，则点D的坐标为__________； （2）如图2，若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； （3）如图3，若折叠后点B落在边上的点为点，设，，试写出y关于x的函数解析式． 【答案】（1）（0.5，1）；（2）C（0，）；（3）y＝﹣x2+1（0≤x≤2） 【分析】（1）由题意可得CD为△OAB的中位线，进一步即可求出D点坐标； （2）设C点坐标为（0，m），则由折叠的性质可用含m的代数式表示AC，然后在Rt△AOC中，利用勾股定理建立方程即可求出m的值； （3）由折叠的性质可用含y的代数式表示出B′C，然后在Rt△B′OC中，根据勾股定理可得关于x、y的方程，整理即得结果． 【详解】解：（1）由折叠的性质可知，BC＝OC，CD⊥OB， 则CD为△OAB的中位线， ∴，， ∴D（0.5，1）， 故答案为：（0.5，1）； （2）如图2，设C点坐标为（0，m）（m＞0），则BC＝OB﹣OC＝2﹣m， ∵折叠后点B与点A重合， ∴AC＝BC＝2﹣m， 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2＝OC2+OA2，即（2﹣m）2＝m2+12， 解得m＝，所以C（0，）； （3）如图3，∵OB′＝x，OC＝y，折叠后点B落在边OA上的点为B′， ∴B′C＝BC＝OB﹣OC＝2﹣y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2＝OC2+OB′2，即（2﹣y）2＝y2+x2，即y＝﹣x2+1， 由点B′在边OA上，有0≤x≤2， 所以函数解析式为y＝﹣x2+1（0≤x≤2）． 【点睛】本题以直角坐标系为载体，主要考查了折叠的性质、三角形的中位线和勾股定理等知识，熟练掌握上述知识，灵活应用方程思想是解题的关键． 3．如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $