第09讲 余弦定理、正弦定理应用举例（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）讲义（寒假衔接课堂）-2026年高一数学寒假衔接讲义（人教A版必修第二册）

第09讲 余弦定理、正弦定理应用举例 （3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正、余弦定理判定三角形形状 典型例题二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 典型例题三 几何图形中的计算 典型例题四 求三角形面积的最值或范围 典型例题五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 典型例题六 距离测量问题 典型例题七 高度测量问题 典型例题八 角度测量问题 典型例题九 正、余弦定理的其他应用 知识点一：测量距离问题 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 【即时训练】 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（   ） A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）为测量河北岸两点，之间的距离（不可到达），现在河南岸选定两点，，并测得，，，则 ． 知识点二：测量高度问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一道题目是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若，，，，则海岛的高AB为（   ） A．16 B．24 C．32 D．40 2．（24-25高一下·广东深圳·月考）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度 米. 知识点三：测量角度问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 【即时训练】 1．（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）某气垫船在水面上径直向北匀速前进，其东、南、西、北侧分别放置了一个推进器，每个推进器启动时都会为气垫船提供相同大小的动力，使气垫船朝该推进器所在方向的反方向移动，但不会使气垫船转动．初始时推进器均处于关闭状态．现计划通过两次操作，使气垫船最终沿南偏东方向按原速率前进，且第一次操作的持续时间显著长于第二次操作，若水面阻力忽略不计，则这两次操作依次是 ．（按操作先后顺序填入下列序号，每个序号在整个操作过程中最多只能使用1次） ①启动位于东侧的推进器，随后关闭．②启动位于南侧的推进器，随后关闭． ③启动位于西侧的推进器，随后关闭．④启动位于北侧的推进器，随后关闭． 【典型例题一 正、余弦定理判定三角形形状】 1．（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 2．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，判断的形状. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 2．（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为 4．（25-26高三上·重庆·月考）在中，分别是内角的对边，且. (1)求； (2)若，证明：为直角三角形. 【典型例题二 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（24-25高一下·河南新乡·期中）若在已知和的条件下，有两个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 1．（24-25高二上·四川遂宁·月考）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点(不同于三点)，则周长的最小值是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·月考）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，，则的周长的取值范围为 ． 4．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【典型例题三 几何图形中的计算】 1．（24-25高三下·浙江湖州·月考）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 2．（2024高一下·上海·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知点D在BC边上，AD⊥AC，，，，则CD是多少？ 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（24-25高一下·北京海淀·月考）线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上（点C靠近B点），且满足，则称点C为线段AB的黄金分割点．在中，，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点．利用上述结论，可以求出（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）“康威圆定理“是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容：如图所示，的三条边长分别为a，b，c（即），延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，那么这六点共圆，此圆称为康威圆.若，则该康威圆的面积为 . 4．（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积； (3)求的面积的最大值． 【典型例题四 求三角形面积的最值或范围】 1．（24-25高三上·贵州遵义·期中）已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西太原·月考）在中，角A、B、C所对的边为、、，且． (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． 1．（2025高三·全国·专题练习）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△内角，，所对的边分别为，，，面积．若，，则△面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西咸阳·月考）若在中，，则面积S的取值范围是 ． 4．（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【典型例题五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 1．（24-25高一下·福建宁德·月考）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽·月考）已知的三个内角所对的边分别为，且，，设，的周长为. (1)当时，求的值； (2)求函数的解析式及最大值. 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·模拟预测）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是 . 4．（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形中，． (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值． 【典型例题六 距离测量问题】 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西西安·月考）已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是千米，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A，C之间的距离是，现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． (1)求村庄B、C之间的距离； (2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东惠州·期末）位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在野外作业时，需要测量两地（视作质点）之间的距离，勘测人员选定地（视作质点），测得两地之间的距离是千米，同时测得，则两地之间的距离是 千米. 4．（24-25高一下·福建漳州·期中）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； (2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 【典型例题七 高度测量问题】 1．（2025·全国·模拟预测）某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）2019年7月4日下午在辽宁开原突发的龙卷风，风力超过15级．路边一棵参天大树在树干某点处被龙卷风折断，剩余部分与折断部分的夹角为，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（参考数据：，，） (1)若，求折断前树的高度（结果保留一位小数）； (2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由． 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）    A．34m B．35m C．36m D．37m 2．（24-25高一下·安徽宿州·期末）某同学为测量学校附近山上信号塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A、B的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为（   ） A．67米 B．72米 C．74米 D．76米 3．（24-25高一下·湖北黄石·期末）如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为 . 4．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 【典型例题八 角度测量问题】 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则 ． 4．（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【典型例题九 正、余弦定理的其他应用】 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 2．（24-25高一·全国·课后作业）曲柄连杆机构的示意图如图所示．当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置．当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是．已知，，根据下列条件，求的值（精确到）： (1)； (2)． 1．（24-25高三上·广东佛山·开学考试）在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 2．（2025高三·福建·专题练习）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：） A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 1．（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知锐角三角形边长分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 6．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则符合条件的有两个 7．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则以为边长的钝角三角形的边长，则的值可以是（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 8．（24-25高一下·广西河池·月考）八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、南、西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕．塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点，测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、、、、，则根据下列各组中的测量数据，能计算出纪念塔高度AB的是（    ）        A．m、、、 B．m、、、 C．m、、、 D．m、、、 9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 10．（24-25高一下·江西·期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 11．（24-25高三上·福建三明·开学考试）在中，，，则的形状为 ． 12．（2024·广东茂名·二模）在中，，点在线段上，且，则 . 13．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）若的两条中线长均为2，则面积的最大值为 ． 14．（2024·四川成都·二模）平面四边形中，，则的最大值为 ． 15．（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是 海里. 16．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)判断的形状； (2)若，边上的中线长为，求的周长. 17．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 18．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D．在C点测得塔底B在北偏东60°方向，然后向正东方向前进100米到达D，测得此时塔底B在北偏东30°方向． (1)求点C到塔底B的距离CB； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为45°，求铁塔高AB，并求点D到塔顶A的距离AD． 19．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 20．（24-25高三上·上海杨浦·月考）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 余弦定理、正弦定理应用举例 （3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正、余弦定理判定三角形形状 典型例题二 求三角形中的边长或周长的最值或范围 典型例题三 几何图形中的计算 典型例题四 求三角形面积的最值或范围 典型例题五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 典型例题六 距离测量问题 典型例题七 高度测量问题 典型例题八 角度测量问题 典型例题九 正、余弦定理的其他应用 知识点一：测量距离问题 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 【即时训练】 1．（24-25高一下·湖北武汉·期末）海上某货轮在处看灯塔，在货轮的南偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的南偏西，距离为海里处，货轮由处向正南航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为（   ） A．海里 B．40海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】依题意可求出，再由正弦定理可得，再利用余弦定理可求解. 【详解】如图所示，依题意． 在中，， 由正弦定理得，． 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 故选：C 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）为测量河北岸两点，之间的距离（不可到达），现在河南岸选定两点，，并测得，，，则 ． 【答案】 【分析】由已知得，求得，在中由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解． 【详解】由，，得，， 所以， 在中，， 由正弦定理得，，则， 在中，由余弦定理得，， 解得， 故答案为：． 知识点二：测量高度问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东青岛·期末）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一道题目是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，ED和GF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆.若，，，，则海岛的高AB为（   ） A．16 B．24 C．32 D．40 【答案】A 【分析】假设，在中，得到；在中，得到，联立计算即可. 【详解】设， 在中，①； 在中，②； 由①②可得：. 故选：A 2．（24-25高一下·广东深圳·月考）某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图所示.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为、、，，米，则该建筑的高度 米. 【答案】 【分析】设，由题可得，，，由得B是AC的中点，在和中，由余弦定理建立方程求解即可． 【详解】设，在直角三角形OAP中，由，得， 在直角三角形OBP中，由，得， 在直角三角形OCP中，由，得， 由，可得B是AC的中点，所以， 因为，则， 在，中，由余弦定理可得：， 解得，所以该建筑的高度OP为米． 故答案为： 知识点三：测量角度问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 【即时训练】 1．（24-25高二上·广西·期中）一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（   ） A．18海里 B．16海里 C．14海里 D．12海里 【答案】C 【分析】根据题意作出图示，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示. 依题意得海里，海里，. 在中，由余弦定理得， 所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里. 故选：C. 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）某气垫船在水面上径直向北匀速前进，其东、南、西、北侧分别放置了一个推进器，每个推进器启动时都会为气垫船提供相同大小的动力，使气垫船朝该推进器所在方向的反方向移动，但不会使气垫船转动．初始时推进器均处于关闭状态．现计划通过两次操作，使气垫船最终沿南偏东方向按原速率前进，且第一次操作的持续时间显著长于第二次操作，若水面阻力忽略不计，则这两次操作依次是 ．（按操作先后顺序填入下列序号，每个序号在整个操作过程中最多只能使用1次） ①启动位于东侧的推进器，随后关闭．②启动位于南侧的推进器，随后关闭． ③启动位于西侧的推进器，随后关闭．④启动位于北侧的推进器，随后关闭． 【答案】④③ 【分析】根据条件，结合气垫船最初的行驶路径和2次操作后的行驶路径，以及2次的时间，即可判断. 【详解】因为最开始气垫船在水面上径直向北匀速前进，两次操作后气垫船最终沿南偏东方向按原速率前进，且第一次操作的持续时间显著长于第二次操作， 所以第一次操作应使气垫船向南匀速前进，则需打开位于北侧的推进器，第二次应打开西侧的推进器，使气垫船有向东前进的动力，这样，气垫船最终沿南偏东方向按原速率前进. 故答案为：④③ 【典型例题一 正、余弦定理判定三角形形状】 1．（24-25高一下·河北承德·期末）在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理化角为边，再结合余弦定理变形可得. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，，即， 所以一定是等腰三角形， 故选：B. 2．（2026高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，判断的形状. 【答案】等腰三角形. 【分析】方法一：利用余弦定理进行角化边，化简即可求解； 方法二：先用正弦定理进行边化角，再利用两角和、差的正弦公式进行化简，结合三角函数知识即可求解. 【详解】方法一：因为， 由余弦定理得，整理得， 所以，则是等腰三角形. 方法二：因为，由正弦定理得， ，即 ∴ . ∵,,∴,∴, ∴，则是等腰三角形. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 2．（24-25高一下·天津和平·期中）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 4．（25-26高三上·重庆·月考）在中，分别是内角的对边，且. (1)求； (2)若，证明：为直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合两角和差的正切公式，利用角的拼凑即可求出； （2）利用正弦定理角化边，得到边的关系，再由（1）利用余弦定理得到进一步的关系，最后利用勾股定理证明直角三角形即可. 【详解】（1）. （2）证明：因为，由正弦定理得， 所以. 由（1）知，所以， 由余弦定理， 得， 所以， 所以为直角，故为直角三角形. 【典型例题二 求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（24-25高一下·河南新乡·期中）若在已知和的条件下，有两个解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形解的个数的结论，因为三角形有两个解，所以，可求出结果. 【详解】解析因为有两个解，所以， 所以，即. 故选：C. 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知分别为锐角三个内角的对边，且. (1)求； (2)若；求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可得； （2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到，再结合锐角范围和三角函数值域可得. 【详解】（1）. 由正弦定理得 在中， 代入上式化简得： 因为，所以，即 为锐角，. （2）由正弦定理得 所以 ， 是锐角三角形，， ， 即， 所以周长的取值范围为. 1．（24-25高二上·四川遂宁·月考）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点(不同于三点)，则周长的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称性将边,边转移,再根据三角形三边在一直线上时周长最小的思路即可解. 【详解】作点关于线段，的对称点，且它们在以为圆心，2为半径的圆上， 连接，如图：则，    又， 而 ， ， 故选：B 2．（24-25高一下·重庆·月考）锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦定理和条件化简得到，把转化为角求解可得答案. 【详解】因为，所以， 整理可得，即有. 又，所以，解得，所以， 于是 . 因为三角形是锐角三角形，所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：B 3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在中，，则的周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设外接圆的半径为，求得，且，化简得到，由，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 因为，可得，则，且 所以 ， 因为，可得，可得，所以， 所以，即的周长的取值范围为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； （2）由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 【典型例题三 几何图形中的计算】 1．（24-25高三下·浙江湖州·月考）在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】令，且，根据已知得、，再由列方程求边长即可. 【详解】令，则， 由题设，有，， 所以，则， 所以，可得（负值舍）. 故选：B 2．（2024高一下·上海·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知点D在BC边上，AD⊥AC，，，，则CD是多少？ 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系和张角定理得到，由勾股定理求出答案. 【详解】如图： ∵， ∴， 由张角定理得：， 即，故， 又，解得， . 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据角平分线定理，可得，利用面积关系可得，然后结合计算即可. 【详解】设的三个内角对应的边分别为 由题可知，平分，所以，即， 又面积是面积的2倍，所以， 由，所以，， 又，则，又， 所以， 故选：A 2．（24-25高一下·北京海淀·月考）线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上（点C靠近B点），且满足，则称点C为线段AB的黄金分割点．在中，，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点．利用上述结论，可以求出（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据，列出方程，求得的值，得到长，结合，即可求解. 【详解】如图所示，设，则， 由，可得，即， 解得或（舍去），所以， 在中，，所以, 因为AD是角B的角平分线， 所以, 所以. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）“康威圆定理“是英国数学家约翰•康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容：如图所示，的三条边长分别为a，b，c（即），延长线段CA至点，使得，以此类推得到点，那么这六点共圆，此圆称为康威圆.若，则该康威圆的面积为 . 【答案】 【分析】由余弦定理可求出,再求出三角形内切圆的半径，根据题干即可求出结果. 【详解】由题设，在中，.由余弦定理可得 故，因为， 所以为直角三角形，且为直角， 康威圆的圆心到三条弦的距离相等， 则康威圆与的内切圆是同心圆. 设的内切圆半径为，则， 因为，所以康威圆的半径， 该康威圆的面积为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·云南·期中）如图，在四边形中，，，是等边三角形． (1)若，求的面积； (2)若，求的面积； (3)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2). (3)． 【分析】（1）通过余弦定理建立方程，求出等边的边长.从而得到面积.， （2）在中用余弦定理得到得余弦及正弦值，从而得到的余弦值，进而求出的面积. （3）由（2）知，可设出，通过正余弦定理在表示出，表示出，最终通过辅助角公式求最值得出第（3）问. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得: ，则． 因为是等边三角形，所以的面积． （2）在中，由余弦定理可得， 则，故， 因为是等边三角形，所以， 所以 ， 则的面积为， （3）设，， 在中，由正弦定理可得，则， 由余弦定理可得， ， 则， 所以的面积： ， 因为，， 所以， 当时，取得最大值，即的面积的最大值为． 【典型例题四 求三角形面积的最值或范围】 1．（24-25高三上·贵州遵义·期中）已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可. 【详解】由余弦定理得：， （当且仅当时取等号），， ，即面积的最大值为. 故选：A. 2．（25-26高三上·山西太原·月考）在中，角A、B、C所对的边为、、，且． (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换将题干中的式子化简为，根据角B的范围即可求解角B的大小； （2）根据余弦定理，通过基本不等式放缩得到ac的最大值，再结合正弦定理面积公式即可求解出面积最大值． 【详解】（1）由及正弦定理可得， 因为，则，所以，故． （2）因为，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故， 故面积的最大值为． 1．（2025高三·全国·专题练习）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△内角，，所对的边分别为，，，面积．若，，则△面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理边角关系得，则，由题设得，结合二次函数的性质即可求△面积的最大值. 【详解】∵， ∴由正弦定理得且，即且， ∴， ∴时，△面积取最大值． 故选：C． 2．（24-25高一下·江西·期中）如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】连接， 在中，，， 由余弦定理可得， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 即面积的最大值为. 故选：A. 3．（24-25高二上·陕西咸阳·月考）若在中，，则面积S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 根据已知条件，结合基本不等式以及三角形面积公式，即可求得结果. 【详解】根据题意可得，当且仅当时取得最大值； 故，又，故. 故答案为：. 4．（2025·广西·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，已知. (1)求内角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再利用辅助角公式化简，结合特殊角即可求出角A； （2）法一：结合余弦定理以及基本不等式即可求出最值；法二：根据正弦定理边化角，利用三角函数求最值，注意定义域. 【详解】（1）由正弦定理有， 因为，所以， 故，即，即， 因为，所以， 所以，即. （2）法一：因为，即， 因为， 所以，即（当且仅当时取等）， 故（当且仅当时取等）， 所以当时，△ABC面积S有最大值，最大值为. 法二：由正弦定理有， 即，， 因为，所以， 当，即时，有最大值，最大值为1， . 【典型例题五 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 1．（24-25高一下·福建宁德·月考）已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，利用余弦边角关系可得，结合角的范围求目标式的范围. 【详解】由题设， 则，， 所以，而， 所以. 故选：C 2．（24-25高二下·安徽·月考）已知的三个内角所对的边分别为，且，，设，的周长为. (1)当时，求的值； (2)求函数的解析式及最大值. 【答案】(1) (2)，其中；最大值为 【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，求得，进而求得的长，得到三角形的周长； （2）由，根据正弦定理得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由， 可得，即， 设三角形的外接圆半径是， 由正弦定理得， 因为，所以，又 又由，解得， 所以三角形的周长为. （2）解：由，且，可得， 可得， 所以， 由，所以当，即时，取到最大值. 1．（24-25高一下·黑龙江·期末）设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围. 【详解】由以及正弦定理得，所以 即，又B为钝角，所以，故 于是 ，因为，所以 由此，即的取值范围是 故选：A 2．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC是锐角三角形，且满足，若△ABC的面积，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，求得的范围，结合三角形面积公式以及余弦定理表达出关于的函数关系，再求函数值域即可. 【详解】因为，即，由余弦定理可得， 即，又，故可得，由正弦定理可得： ，则， ，又均为锐角，故可得，即； 由可得，又，故可得； 由，可得； 又 ， 又，，解得或（舍去负值）, 则，即的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：解三角形中的范围问题，处理问题的关键是能够根据已知条件，结合正余弦定理，将目标式转化为关于的函数，同时要注意的取值范围. 3．（2024·山西·模拟预测）钝角中，角的对边分别为，，，若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合是钝角三角形矛盾，得到，化简，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则或. 当时，可得，与是钝角三角形矛盾，所以， 由，则，可得， 所以 ， 所以当时，的最大值为. 故答案为：. 4．（2024·全国·模拟预测）如图，已知平面四边形中，． (1)若四点共圆，求； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由于四点共圆，所以， 因此，然后在两个三角形中分别用这两角余弦定理建立等式即可求解； （2）利用三角形面积公式可得：，然后结合第一问的可得出含四边形面积的表达式，再结合三角形内角的范围及余弦函数的性质得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 由于四点共圆，所以， 因此， 上述两式相加得：， 得． （2）由（1）得：， 化简得，① 四边形的面积：， 整理得，② ①②两边分别平方然后相加得： 由于，， 因此当时，取得最小值， 此时四边形的面积最大，由，得， 故四边形面积的最大值为． 【典型例题六 距离测量问题】 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图，    当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 2．（24-25高一下·陕西西安·月考）已知村庄B在村庄A的东北方向，且村庄A，B之间的距离是千米，村庄C在村庄A的北偏西方向，且村庄A，C之间的距离是，现要在村庄B的北偏东方向建立一个农贸市场D，使得农贸市场D到村庄C的距离是到村庄B的距离的倍． (1)求村庄B、C之间的距离； (2)求农贸市场D到村庄B、C的距离之和． 【答案】(1)干米 (2)千米 【分析】（1）由余弦定理求得； （2）由正弦定理求得，知村庄在村庄的正西方向，这样可得出，再用余弦定理可求得，从而得距离之和． 【详解】（1）由题意可得，，， 在中，由余弦定理可得， 则，故， 即村庄，之间的距离为干米； （2）在中，由正弦定理可得， 则，从而， 故村庄在村庄的正西方向， 因为农贸市场在村庄的北偏东的方向，所以. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， 解得，则， 故， 即农贸市场到村庄､的距离之和为千米. 1．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图，A，B，C为山脚D，E两侧共线的三点，在山顶P处测得A，B，C处的俯角分别为60°，75°，45°，并测得，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用正弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，从而结合已知的数据可求得隧道的长度， 【详解】在中，，， 由正弦定理得， 在中，，， 由正弦定理得， 所以. 故选：C 2．（24-25高一下·广东惠州·期末）位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】根据题设画出示意图，利用余弦定理可得. 【详解】根据题意，画出示意图如下，由题意得，， 由余弦定理得 . 所以，则乙船航行的距离为海里. 故选：B. 3．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在野外作业时，需要测量两地（视作质点）之间的距离，勘测人员选定地（视作质点），测得两地之间的距离是千米，同时测得，则两地之间的距离是 千米. 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再利用正弦定理求出的长度. 【详解】因为，所以. 在中，由正弦定理可得， 则千米. 故答案为：. 4．（24-25高一下·福建漳州·期中）人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． (1)求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； (2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 【答案】(1)答案见解析 (2)不能捕猎成功，原因见解析 【分析】（1）根据题意，作图，结合图中的几何元素，利用三角函数以及正弦定理，结合分类讨论思想，可得答案； （2）由题意作图，设出时间，利用余弦定理，整理方程，利用零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1）由题意作图如下： 则，， ，． 由正弦定理，可得． 因此或120°， 当时，，猎豹与羚羊之间的距离为， 当，，猎豹与羚羊之间的距离为. （2）由题意作图如下： 设捕猎成功所需的最短时间为t， 在中，，，，． 由余弦定理得：． 整理得：． 设，显然， 因猎豹能坚持奔跑最长时间为，且． ∴猎豹不能捕猎成功． 【典型例题七 高度测量问题】 1．（2025·全国·模拟预测）某人在点观察河对岸的建筑物（在同一水平面上，在同一铅垂线上），已知在点观察建筑物上的点和点的仰角分别为和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，根据正弦定理可得，进而求解即可. 【详解】因为， 如图所示，在中，，, 由正弦定理可得， 则， 在中，. 故选：D． 2．（2025高三·全国·专题练习）2019年7月4日下午在辽宁开原突发的龙卷风，风力超过15级．路边一棵参天大树在树干某点处被龙卷风折断，剩余部分与折断部分的夹角为，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（参考数据：，，） (1)若，求折断前树的高度（结果保留一位小数）； (2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由． 【答案】(1)11.2米 (2)不能从此处通过，理由见解析 【分析】（1）利用正弦定理可求答案； （2）利用三角恒等变换，求出恰好能通过的高度，与车高比较可得答案. 【详解】（1）在中，，，所以， 由正弦定理，得， 所以（米）． 答：折断前树的高度11.2米． （2）设的内接矩形的边在上且， 设，因为，，所以， 所以，所以， ． 因为，所以． 所以，所以． 因为，所以救援车不能从此处通过． 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）渝北中学大力传承和弘扬“红岩·莲华”精神，在王朴母子雕像前举行纪念活动.某同学为测量王朴母子雕像的高度AB（雕像的底端视为点，雕像的顶端视为点），在地面选取了两点C，D（其中四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点A，B的仰角分别为，测得，则按此法测得的王朴母子雕像AB的高为（    ）    A．34m B．35m C．36m D．37m 【答案】C 【分析】设直线与交于点E，分别用表示出，利用解出，再解出，最后求出雕像高即可. 【详解】如图，设直线CD与AB交于点E，则，    由题意得， 又，且， 代入解得，从而， 进而， 则雕像高米，故C正确. 故选：C 2．（24-25高一下·安徽宿州·期末）某同学为测量学校附近山上信号塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A、B的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为（   ） A．67米 B．72米 C．74米 D．76米 【答案】B 【分析】设直线CD与AB交于点E，分别用表示出， 利用解出，再解出，最后出塔高即可. 【详解】设直线CD与AB交于点E，则， 由题意，， 又，且，代入解得， 从而， 进而， 所以塔高米． 故选：B 3．（24-25高一下·湖北黄石·期末）如图，河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD，河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇形OCD与B处于同一水平面上，记OB交于E.若在C，O，E处看A的仰角分别为，和，则的余弦值为 . 【答案】 【分析】根据题意，设扇形所在圆的半径为，可得，求得，且，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得，和，所以， 设扇形所在圆的半径为，可得，且垂直于水平面， 在直角中，可得， 所以，且， 在中，可得. 故答案为：. 4．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，，并在点处测得塔顶的仰角.    (1)求与两点间的距离； (2)求塔高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可得到答案； （2）在中，根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】（1） 在中，，由正弦定理得 ， . （2）由（1）知， 中， 【典型例题八 角度测量问题】 1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【答案】B 【分析】根据题意，由即可得到的度数，即可得到结果. 【详解】由题意可知， ∵，∴， 从而可知灯塔在灯塔的北偏西． 故选：B 2．（24-25高一下·全国·课后作业）已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 【答案】缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船 【分析】设缉私艇在处截住该走私船，依题意可得，，，利用余弦定理求出，即可求出速度，再求出，即可得到方向. 【详解】设缉私艇在处截住该走私船， 依题意， 由余弦定理得， 所以缉私艇速度为海里/时， 又，为锐角，所以， 所以缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船. 1．（24-25高三上·陕西商洛·期末）位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理解三角形可得. 【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得 海里， 故甲船至少需要航行的海里数为． 故选：C.    2．（24-25高一下·福建宁德·期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求得，进而由正弦定理求得答案． 【详解】 由题意， 由余弦定理得，，∴， 由正弦定理得，，即，解得． 故选：A． 3．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据在A处的杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合B处的杆，以及正弦定理算出斜面角. 【详解】如图，、分别为杆，、为平行的阳光，、分别为杆的影子， 设阳光与水平面所成角为，则， ，， 在中，由正弦定理可得 即， 由可得，， 代入可得，，， 则， 故答案为：. 4．（24-25高一下·海南海口·月考）如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合可得出的长； （2）求出、、、的长，然后利用余弦定理可求得的值，即为所求. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. （2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. 【典型例题九 正、余弦定理的其他应用】 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 2．（24-25高一·全国·课后作业）曲柄连杆机构的示意图如图所示．当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置．当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是．已知，，根据下列条件，求的值（精确到）： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在中利用余弦定理可得，代入可求得，结合可推导得到结果； （2）将代入（1）中方程可求得，结合可推导得到结果. 【详解】（1）由题意得：， 在中，由余弦定理得：， 则； 当时，解得：，， ； （2）由（1）知：， 当时，解得：，， . 1．（24-25高三上·广东佛山·开学考试）在凸四边形ABCD中，，E，F分别是边AD，BC的中点，，若以AB，CD为边分别画两个正方形，，再画一个长度、宽度分别为AB，CD的长方形，则所画三个图形，，的面积之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】D 【分析】连接取的中点,连接,构造，在中，再利用余弦定理转化得，从而得解. 【详解】如图，    延长与交于点 由，得 连接取的中点,连接, 则由三角形中位线定理知， , 在中，由余弦定理得 , 即 所以三个图形，，的面积之和为 故选： 2．（2025高三·福建·专题练习）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：） A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km 【答案】C 【分析】根据题意求得和的长，然后利用正弦定理求得BC，最后利用求得问题答案. 【详解】在中， 根据正弦定理， 所以：山顶的海拔高度为18-11.5=6.5 km. 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，考查了学生数学应用，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 【答案】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 【答案】小时 【分析】令经过小时后甲、乙分别在两处，利用余弦定理可得到的表达式，再借助二次函数最小值求解即可. 【详解】如图，令经过小时后甲、乙分别在两处，甲、乙两船距离为s， 则在中，，，， 由余弦定理得， 即. 当时，最小，此时. 即经过小时，甲、乙两船相距最近. 1．（24-25高一下·陕西·期中）在中，角的对边分别为，若，，则的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理可得，再由已知条件判断的形状. 【详解】由正弦定理，，则， 再由则 故，即， 故，所以为等边三角形. 故选：C. 2．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知锐角三角形边长分别为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知，利用三角形三边关系及余弦边角关系列不等式求边长的范围. 【详解】由三角形三边关系有，又三角形为锐角三角形， 若，则，可得，即， 若，则，可得，即， 综上，. 故选：D 3．（2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据图形求得角度，然后利用正弦定理得到，最后使用余弦定理计算即可. 【详解】由题可知：， 所以， 所以在中，, 在中， 在中，. 故选：C 5．（2025·广西·模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C．25 D．30 【答案】B 【分析】根据题意先找出点的轨迹，然后分析轨迹再结合解三角形知识即可求出的最小值. 【详解】如图，因为，所以点在如图所示的圆上， 圆的半径为， 由圆周角的性质可得，， ， 连接，可得（当为与圆的交点时，取等号）， 在中，，，，根据余弦定理可知 ，所以的最小值为． 故选：B. 6．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则 D．若，则符合条件的有两个 【答案】CD 【分析】利用正弦定理可以判断AC；对B可知或，判断即可；对D，通过比较可知，判断即可. 【详解】对A，若，则，为锐角三角形，不能明确边长之间关系，错误； 对B，，则或，又，可知，所以为等腰三角形或者直角三角形，错误； 对C，在中，若，则，所以，正确； 对D，由，则，，所以有两个，正确. 故选：CD 7．（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，则以为边长的钝角三角形的边长，则的值可以是（    ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】分是否为最大边进行讨论分析即可. 【详解】钝角三角形中，其中一边的平方大于另两边的平方和， 当5为钝角三角形的最大边时，有：， 解得：， 由三角形三边关系可得，即， 所以， 由于，此时，；由,满足题意; 当为钝角三角形的最大边时，有：， 解得：， 由三角形三边关系可得，即， 所以， 由于，此时； 故答案为：ABC． 8．（24-25高一下·广西河池·月考）八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文，东、南、西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕．塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为纪念塔最顶端，B为纪念塔的基座（即B在A的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、D两点，测得CD的长为m．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、、、、，则根据下列各组中的测量数据，能计算出纪念塔高度AB的是（    ）        A．m、、、 B．m、、、 C．m、、、 D．m、、、 【答案】ACD 【分析】根据解三角形的条件，逐项判断可解三角形求出塔高AB的选项即可. 【详解】对于A：由m，、可以解，又，可求塔高度AB； 对于B：在中，由，无法解三角形，在中，由，无法解三角形， 在中，已知两角、无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度AB； 对于C：由，、可以解，可求AC，又，即可求塔高度AB； 对于D：由，可求，在中，由正弦定理可求BC， 在中，由BC，可求AB．即D项可求塔高AB． 故选：ACD．    9．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·月考）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是 B．灯塔与处之间的距离是 C．灯塔在处的西偏南 D．在灯塔的北偏西 【答案】AC 【分析】作图，运用正弦定理和余弦定理解相应的三角形即可. 【详解】在中，由已知得，， 则，由正弦定理得， 所以A处与D处之间的距离为，故A正确； 在中，由余弦定理得， 又，解得．所以灯塔C与D处之间的距离为，故B错误； ，，灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 灯塔B在D的南偏东，D在灯塔B的北偏西，故D错误； 故选：AC 10．（24-25高一下·江西·期末）一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时24的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达处，此时测得货轮与灯塔S相距，则灯塔S可能在处的（    ） A．北偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【答案】BC 【分析】根据题意利用正弦定理运算求解. 【详解】如图所示，由题意得，，， 则，解得， 且，所以或， 如图所示：则有： 当货轮在处时，，所以； 当货轮在处时，，所以； 综上所述：灯塔S在处的北偏东或南偏东方向. 故选：BC.    11．（24-25高三上·福建三明·开学考试）在中，，，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】由正弦定理化角为边得，再代入另一已知条件得，从而得三角形形状． 【详解】由正弦定理，所以， 代入得，∴， 所以，三角形为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 12．（2024·广东茂名·二模）在中，，点在线段上，且，则 . 【答案】 【分析】余弦定理求，勾股定理证得为直角三角形，，勾股定理求的值. 【详解】由余弦定理，， 则有，即为直角三角形，，， 由，得，所以. 故答案为：. 13．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）若的两条中线长均为2，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】设两中线相交于点，设，并利用重心性质得到，，表达出，并求出最值. 【详解】不妨设边边上的中线长分别为，即， 相交于点，为的重心，设， 其中，，则， 故，故，， 显然当时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 14．（2024·四川成都·二模）平面四边形中，，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，设，且， 在中，利用余弦定理，求得，即，再在中，利用余弦定理，化简得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，因为，设，且， 在中，可得 ， 即，可得， 在中，可得， 所以， 当时，即时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 15．（2025·广东梅州·模拟预测）位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是 海里. 【答案】 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 故答案为：. 16．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)判断的形状； (2)若，边上的中线长为，求的周长. 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解， （2）利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）由以及余弦定理可得， 化简可得， 故为等腰三角形， （2）由（1）知,故, 所以， 由余弦定理可得， 解得， 故的周长为 17．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4. (1)若，，求的面积； (2)若，求的最大值. 【答案】(1)4； (2). 【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果； （2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果. 【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得. 在中，，则，解得. 又，所以； 在中，，，， 所以. （2）设，. 又，所以. 因为，所以. 在中，，由正弦定理得， 即，解得 . 在中，，由正弦定理得， 即，解得， 所以. 又，所以， 当且仅当，即时，取得最大值1， 所以的最大值为. 18．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D．在C点测得塔底B在北偏东60°方向，然后向正东方向前进100米到达D，测得此时塔底B在北偏东30°方向． (1)求点C到塔底B的距离CB； (2)若在点C测得塔顶A的仰角为45°，求铁塔高AB，并求点D到塔顶A的距离AD． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意得，，故，结合正弦定理即可得解； （2）解直角三角形即可得解. 【详解】（1）由题意可知，，，故 在中，由正弦定理，得 ， ∴点C到塔底B的距离CB为米； （2） 由题意易知， 因为，，所以， 因为，所以， 所以. 19．（2024高一·全国·专题练习）与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，结合图形列方程可求出结果. （2）由图，将表示为，设米，对取正切并化简，结合均值不等式可求得最大值. 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 20．（24-25高三上·上海杨浦·月考）如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.    (1)当时，求的值； (2)发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少? 【答案】(1) (2)选址方案满足，． 【分析】（1）由题意可求得，利用余弦定理可求的值，进而可求的值； （2）设，则，利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可得，进而可求到距离，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）由题意，， 可得， 可得， 所以． （2），设，则， 可得，可得， 到距离， 当，即，取得最大值为， 因此选址方案满足，． 学科网（北京）股份有限公司 $