第06讲 平面向量数量积的坐标表示（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）讲义（寒假衔接课堂）-2026年高一数学寒假衔接讲义（人教A版必修第二册）

第06讲 平面向量数量积的坐标表示 （3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数量积的坐标表示 典型例题二 向量模的坐标表示 典型例题三 坐标计算向量的模 典型例题四 向量垂直的坐标表示 典型例题五 利用数量积求参数 典型例题六 利用向量垂直求参数 典型例题七 向量夹角的坐标表示 典型例题八 已知向量垂直求参数 知识点一：数量积的坐标表示 若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 【即时训练】 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．2 D．18 2．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知向量，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标为 . 知识点二：两个向量垂直的坐标表示 若两个向量垂直，则 【即时训练】 1．（25-26高三上·广东·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南株洲·月考）已知向量，，若，则m的值为 ． 知识点三：用坐标表示的三个重要公式 1、向量的模长公式：若，则 2、两点间的距离公式：若，，则 3、向量的夹角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 【即时训练】 1．（25-26高二上·云南·月考）已知向量，且，则向量与夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南郴州·一模）已知向量，若与的夹角为锐角，且，则实数的值为 . 【典型例题一 数量积的坐标表示】 1．（24-25高一下·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（   ） A．4 B．7 C．8 D．9 2．（24-25高一下·河南信阳·月考）已知向量， (1)求，； (2)求向量与的夹角； (3)若，求实数的值. 1．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京东城·期末）在矩形中，，，，交于点，，分别为边，边上的点，且关于点中心对称.为矩形所在平面内的动点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则 ． 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，． (1)若，求x； (2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 【典型例题二 向量模的坐标表示】 1．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点A的坐标为，点B在y轴上，且，求的坐标. 1．（24-25高一下·福建三明·期中）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量，，即为“等模整向量”，那么模为的“等模整向量”有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 2．（24-25高一下·北京·期中）已知为坐标原点，是终边上一点，其中，非零向量的方向与轴正方向相同，若，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 4．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知向量，，其中． (1)若，写出，，，之间应满足的关系式 (2)求证：； (3)求代数式的最大值，并求其取得最大值时的值． 【典型例题三 坐标计算向量的模】 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知向量，且，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（25-26高三上·北京·开学考试）已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南楚雄·月考）已知向量，，且，则 . 4．（24-25高一下·新疆喀什·期末）回答下列问题 (1)已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，求 (2)已知向量、，满足，，，求向量与的夹角. 【典型例题四 向量垂直的坐标表示】 1．（25-26高三上·海南·月考）已知平面向量，，若，则（   ） A．-3 B．2 C．3 D．5 2．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 1．（25-26高三上·山西吕梁·月考）已知平面向量，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）已知，向量，满足，则（   ） A． B． C． D．6 3．（24-25高一下·重庆·月考）已知向量，．若，则 ． 4．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知 (1)若，求实数的值； (2)若，且、、三点共线，求实数的值． 【典型例题五 利用数量积求参数】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高一下·河北承德·月考）已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知O是原点，点，，若为钝角，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·山东临沂·月考）已知，，且与夹角为. (1)求的大小； (2)记，，，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【典型例题六 利用向量垂直求参数】 1．（25-26高三上·安徽·月考）已知平面向量，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 2．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 1．（25-26高二上·广东中山·月考）已知向量，若，则m=（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25高一下·重庆璧山·月考）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北沧州·期中）已知向量，．若，，则 ． 4．（24-25高一下·上海黄浦·期末）设的顶点的坐标分别为，，． (1)若，求点的坐标； (2)过点作，垂足为，求的坐标． 【典型例题七 向量夹角的坐标表示】 1．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知向量，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高一下·四川南充·期末）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值． 1．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 3．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 4．（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值. 【典型例题八 已知向量垂直求参数】 1．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知向量，向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）设向量，，． (1)求向量； (2)若，求实数k的值． 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 2．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．6 D．－6 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知向量，，若与垂直，则 ． 4．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26高三上·河北保定·月考）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏·月考）已知向量，，若，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知向量，若，则（   ） A． B．0 C．2 D．1 5．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建泉州·月考）已知点，，，若，的夹角为锐角，则的值可能为（  ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知，则（   ） A． B． C．与的夹角余弦值为 D．向量在向量方向上的投影向量坐标为 8．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量的坐标为 9．（24-25高一下·浙江·期中）设向量，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则与的夹角为钝角 B．的最小值为2 C．与垂直的单位向量只能为 D．若，则 10．（25-26高三上·广东肇庆·月考）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．或 C．与夹角的大小为 D． 11．（2026高三·全国·专题练习）在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为 ． 12．（24-25高二下·上海嘉定·期中）向量在向量方向上的投影为 ． 13．（2025·吉林·模拟预测）已知平面向量内，，.若存在实数、使得，并且，且．则满足条件的所有的值对集合为 ． 14．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知向量，，若，则 ． 15．（24-25高一下·山东济南·期末）设Ox，Oy是平面内的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序数对叫做向量在坐标系Oxy中的坐标．已知，，对任意，恒成立，则的取值范围为 ． 16．（25-26高三上·安徽·月考）已知平面向量． (1)当λ为何值时，与垂直？ (2)与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 17．（24-25高一下·浙江·月考）已知向量，满足. (1)求最小值； (2)若，求向量的坐标表示. 18．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知． (1)若，求； (2)若与夹角余弦值为，求的值． 19．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知向量，. (1)若，求x的值； (2)若向量，，求与的夹角的余弦值. 20．（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知向量，在下列条件下分别求k的值： (1)与平行； (2)与垂直； (3)与夹角为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 平面向量数量积的坐标表示 （3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 数量积的坐标表示 典型例题二 向量模的坐标表示 典型例题三 坐标计算向量的模 典型例题四 向量垂直的坐标表示 典型例题五 利用数量积求参数 典型例题六 利用向量垂直求参数 典型例题七 向量夹角的坐标表示 典型例题八 已知向量垂直求参数 知识点一：数量积的坐标表示 若，，则 两个向量的数量积：等于它们对应坐标乘积的和。 【即时训练】 1．（25-26高三上·福建福州·开学考试）一物体在力的作用下，由点移动到点．若，则对该物体所做的功为（    ） A． B． C．2 D．18 【答案】D 【分析】根据功，即可求得物体所做的功． 【详解】由题意可知，， ， 所以对该物体所做的功为． 故选：D． 2．（25-26高二上·海南儋州·月考）已知向量，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示列式，再结合二次函数的最值求解. 【详解】因为点在直线上运动，可设， 所以，， 所以. 所以当时，取得最小值. 此时点坐标为. 故答案为： 知识点二：两个向量垂直的坐标表示 若两个向量垂直，则 【即时训练】 1．（25-26高三上·广东·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算求出，再根据向量垂直得到方程，解方程即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即，解得. 故选：A. 2．（25-26高二上·湖南株洲·月考）已知向量，，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由题意， 因为， 所以，解得. 故答案为： 知识点三：用坐标表示的三个重要公式 1、向量的模长公式：若，则 2、两点间的距离公式：若，，则 3、向量的夹角公式：设两个非零向量，，与的夹角为， 则 【即时训练】 1．（25-26高二上·云南·月考）已知向量，且，则向量与夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量模的坐标公式求得，然后结合向量夹角范围，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】因为向量，所以， 又，，所以， 又，所以，即向量与夹角的大小为. 故选：C. 2．（2025·湖南郴州·一模）已知向量，若与的夹角为锐角，且，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】直接根据向量的模长公式积及夹角公式求解即可. 【详解】已知，，解得：. 设向量与的夹角为 当时，，， 可得：，即与的夹角为钝角，不符合题意； 当时，，， 可得：，即与的夹角为锐角，符合题意； 故答案为： 【典型例题一 数量积的坐标表示】 1．（24-25高一下·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（   ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】以为原点建立直角坐标系，写出相关坐标，得到，代入计算即可. 【详解】以为原点建立如图所示直角坐标系，是上靠近点的三等分点，且边长为3， 所以，所以， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·河南信阳·月考）已知向量， (1)求，； (2)求向量与的夹角； (3)若，求实数的值. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标运算求数量积和模. （2）利用平面数量积的坐标运算求向量的夹角. （3）根据向量垂直，可得向量的数量积为0求参数的值. 【详解】（1）. . （2）因为，所以. （3）由. 所以 1．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，当点P与点E或点F重合时，可得最小值，当点P与点G或点H重合时，可得最大值. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则， 设，则， 所以，由于， 所以当点P与点E或点F重合时，最小，最小值为， 当点P与点G或点H重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：A.    2．（24-25高一下·北京东城·期末）在矩形中，，，，交于点，，分别为边，边上的点，且关于点中心对称.为矩形所在平面内的动点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立坐标系，设点P坐标为,表示出点Q、、、的坐标，得到关于的关系式，分析他的值域，作答. 【详解】 建立如图所示坐标系，由题意得：，，，,,则， 设，则， ，， ，，， ， 对于，的最小值是0，最小值是， 对于，的最小值是，最大值是0， 所以值域为. 故选：A 3．（25-26高三上·内蒙古·开学考试）蒽，是一种含三个环的稠环芳烃，化学式为，蒽的三个环的中心在一条直线上，蒽是菲的同分异构体，其分子结构图如图1所示（由三个正六边形组成），将蒽的分子结构图中的14个C原子分别记为，如图2所示，设，则 ． 【答案】 【分析】建立适当平面直角坐标系，用坐标法求向量的数量积. 【详解】以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 则， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知向量，． (1)若，求x； (2)若在方向上的投影向量为，且与的夹角是锐角，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的充要条件及向量坐标的数量积运算即可得解； （2）先根据投影向量的计算公式求出x，然后根据向量夹角为锐角即可得出，且与不共线，然后列出关于λ的不等式组，解出范围即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， 解得； （2）∵在方向上的投影向量为， ∴，解得， ∴，，， ∵与的夹角为锐角， ∴，且与不共线， ∴，解得且， ∴λ的取值范围为：． 【典型例题二 向量模的坐标表示】 1．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先利用向量坐标的加减运算求出和，然后利用向量模的坐标运算列式求解即可. 【详解】因为向量，，所以， 由得，即， 解得. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知点A的坐标为，点B在y轴上，且，求的坐标. 【答案】或； 【分析】根据题意，设，即可得到的坐标，再由向量模长的坐标表示代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可设，则. ∵，∴，解得或. 若，则； 若，则. 1．（24-25高一下·福建三明·期中）若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量，，即为“等模整向量”，那么模为的“等模整向量”有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】C 【分析】根据模长公式列方程，后分类讨论列举即可可解． 【详解】设是模为“等模整向量”，则由模长公式得， 即，由于，则列举 当；当；当；当； 满足题意的总共有8个． 故答案为：C. 2．（24-25高一下·北京·期中）已知为坐标原点，是终边上一点，其中，非零向量的方向与轴正方向相同，若，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式，然后由函数性质得结论． 【详解】由已知或，或， ，， ，又， 所以时，取最小值，时，取最大值4， 故选：D． 3．（24-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形中，，是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，利用坐标运算表示及，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，过点作于点， ∵，∴， ∴，故， 以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则， 设，其中，则， ∴， ∴， ∴当时，取最小值． 故答案为：． 4．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知向量，，其中． (1)若，写出，，，之间应满足的关系式 (2)求证：； (3)求代数式的最大值，并求其取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的最大值为， 【分析】（1）根据数量积得坐标运算及平面向量的模的坐标公式计算即可得出结论； （2）根据，结合余弦函数的值域即可得证； （3）利用（2）中的结论即可得出答案. 【详解】（1）由向量，， 得， 因为， 所以， 即， 所以，即， 所以； （2）因为， 而， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以； （3）由（2）可得， ， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为，此时. 【点睛】方法点睛：求向量的模的两种基本策略： （1）字母表示下的运算：利用，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题； （2）坐标表示下的运算：若，则，于是有. 【典型例题三 坐标计算向量的模】 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知向量，且，则向量与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知，利用平面向量夹角公式求解. 【详解】， ， ， ， ∴，则. 故选：B 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知向量，． (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可得，根据模长的坐标计算即可求解； （2）利用向量平行的坐标表示即可求解； （3）根据，代入坐标运算即可； 【详解】（1）由题意得． 故 （2）， ． 因为，所以． 即，解得． （3）． 又． 故． 1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设，得，则，再由向量的模公式求解即可． 【详解】设， 因为，所以，得， 得， 则， 当时，取得最小值，为3. 故选：D 2．（25-26高三上·北京·开学考试）已知平面直角坐标系中，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，利用向量的模以及数量积的坐标运算可得且，再根据向量模长的坐标运算公式计算取值范围即可. 【详解】根据题意，设，则，即， 因为，所以，即，所以. 因为，则， 所以， 又因为，即， 所以， 由可得，则的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高二下·云南楚雄·月考）已知向量，，且，则 . 【答案】 【分析】由垂直关系求得，再由模长公式即可求解. 【详解】因为向量，，且， 所以， 所以， 则， 故， 故答案为：. 4．（24-25高一下·新疆喀什·期末）回答下列问题 (1)已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，求 (2)已知向量、，满足，，，求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量模长的坐标表示和数量积公式求出，再根据数量积运算律求解即可； （2）利用平面向量数量积的运算律和计算公式求解即可. 【详解】（1）因为为单位向量，， 所以，， 又因为平面向量、的夹角为，所以， 所以. （2）因为，，， 所以，解得， 所以，解得， 又因为，所以. 【典型例题四 向量垂直的坐标表示】 1．（25-26高三上·海南·月考）已知平面向量，，若，则（   ） A．-3 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用平面向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）∵向量，， ∴，解得. （2）∵向量，∴. ∵， ∴，解得. 1．（25-26高三上·山西吕梁·月考）已知平面向量，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再结合坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：D 2．（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）已知，向量，满足，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用向量的数量积为0，可求得，进而可求得的坐标，即可求模. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，故. 故选：A. 3．（24-25高一下·重庆·月考）已知向量，．若，则 ． 【答案】 【分析】本题可根据向量垂直的性质来求解的值. 【详解】已知，，且. 根据向量垂直的性质可得，即. 解得. 故答案为：. 4．（25-26高三上·吉林长春·月考）已知 (1)若，求实数的值； (2)若，且、、三点共线，求实数的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，的坐标，依题意，根据向量共线的坐标表示得到方程. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，解得. （2）因为，， 因为，，三点共线， 所以，所以，解得， 故的值为． 【典型例题五 利用数量积求参数】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，，且，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据数量积公式化简题设条件，然后由向量的坐标运算求解. 【详解】由，得， 所以，解得． 故选：A 2．（24-25高一下·河北承德·月考）已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量夹角坐标运算求得，再利用模长公式求解即可； （2）由数量积大于0且两向量不同向列不等式求解. 【详解】（1）向量，可得，且. 因为与的角为，可得， 解得，所以， 则， 所以. （2）由向量， 可得， 由，解得， 当向量与共线时，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 1．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角为锐角，得到向量数量积大于零且向量不共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，的夹角为锐角， 所以且不存在实数使得，即，不共线. ①，因为， 所以，解得. ②，不共线，若，共线，则， 整理得，解得或， 所以且，综上，且. 故选：D. 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知O是原点，点，，若为钝角，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定，，得到，与不共线，解得答案. 【详解】，， 则，解得 且与不共线，即，解得 综上 故选：C 3．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据与的夹角为钝角可得且与不共线，分别求解不等式即得. 【详解】由于与的夹角是钝角，则且与不共线 由，可得， 由与共线，可得，即. 故实数m的取值范围是且. 故答案为：且. 4．（24-25高一下·山东临沂·月考）已知，，且与夹角为. (1)求的大小； (2)记，，，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由，展开后代入数量积公式求得答案. （2）向量与的夹角为锐角可得，解得的范围，再根据与共线且方向相同时，求出对应的的值，进而得到的取值范围. 【详解】（1）∵，，， ∴. ∴. （2），， ∴ . 若向量与共线，不妨令，即， ∴. 又与不共线，∴，解得. 若向量与的夹角为锐角，则，且与不共线， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为. 【典型例题六 利用向量垂直求参数】 1．（25-26高三上·安徽·月考）已知平面向量，，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】由向量垂直的性质即可得. 【详解】由题意，所以， 化简得. 故选：D 2．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可列方程求解； （2）根据向量垂直的坐标表示以及数量积的运算律，即可化简求解. 【详解】（1）由于，若，则满足，解得； （2）与垂直，则， 即， 故， 化简可得，解得或. 1．（25-26高二上·广东中山·月考）已知向量，若，则m=（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得参数. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即，解得， 故选：D. 2．（24-25高一下·重庆璧山·月考）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量，求出实数值. 【详解】因为向量，，可得， 因为，所以，解得：， 故选：C 3．（24-25高一下·河北沧州·期中）已知向量，．若，，则 ． 【答案】 【分析】根据可得：，借助平面向量数量积的坐标运算，用表示出上式，根据时恒成立，可求的值. 【详解】因为，所以. 因为， ， 由， 因为上式对任意都成立，所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海黄浦·期末）设的顶点的坐标分别为，，． (1)若，求点的坐标； (2)过点作，垂足为，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据向量的坐标表示计算即可； （2）设，再根据，，结合平面向量垂直平行的坐标公式计算即可. 【详解】（1）设，则， 由， 得，解得， 所以点的坐标为； （2）因为三点共线，所以， 设，则， 由，得， 所以，解得， 所以. 【典型例题七 向量夹角的坐标表示】 1．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知向量，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据平面向量的坐标运算计算参数． 【详解】由题意知，因为， 解得或，由，得，因此. 故选:D. 2．（24-25高一下·四川南充·期末）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求与夹角的余弦值． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可； （2）根据向量数量积得到方程，解出，再利用向量夹角公式得到答案. 【详解】（1）因为，所以， 解得：或. （2）因为， 所以，解得：， 所以， ， 所以与夹角的余弦值为. 1．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据夹角公式判断出，同时需排除两向量同向共线的情况. 【详解】由夹角公式，的夹角为锐角，即， 即，解得； 当共线时，，解得， 此时满足，此时两向量夹角为， 于是的夹角为锐角时，. 故选：A 2．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【分析】设，，求出的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算以及基本不等式可求得的最值，即可得出合适的选项. 【详解】因为，不妨设，， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故有最大值. 故选：C. 3．（2024·四川内江·一模）在平行四边形中，已知，，，点在边上，，与相交于点，则的余弦值为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可得出，即可得解. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 在平行四边形中，已知，，，点在边上，， 则、、、，则，， 所以，. 故答案为：. 4．（24-25高一下·吉林·期中）如图，正方形ABCD的边长为6，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的加法法则可得； （2）建立以点为原点的平面直角坐标系，由坐标计算向量的夹角可得. 【详解】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系. 则. 由于就是的夹角. 的余弦值为. 【典型例题八 已知向量垂直求参数】 1．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知向量，向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设. 故选：A 2．（24-25高一下·陕西西安·期末）设向量，，． (1)求向量； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由向量垂直的条件即可求解. 【详解】（1）因为，， 则； （2）因为， 若， 则， 解得． 1．（25-26高三上·湖北·月考）已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 【答案】C 【分析】首先根据向量的坐标运算求解，然后再根据向量垂直的判断条件求解参数即可. 【详解】由题意可得，则， 即，解得． 故选：C 2．（24-25高一下·福建宁德·期末）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．6 D．－6 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求. 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知向量，，若与垂直，则 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示求参数，再由模长的坐标运算求. 【详解】由题设，则，即， 又，则. 故答案为： 4．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，与的夹角为锐角，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量、的坐标，根据这两个向量均为非零向量可得出，再由，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值； （2）当时，求出向量的坐标，由题意可知，且与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为向量，，且， 则，，则，可得， 所以，，解得. （2）解：当时，，则， 因为与的夹角为锐角，则，解得， 且与不共线，则，可得， 综上所述，实数的取值范围是. 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】借助向量数量积公式、平行性质、模的定义与夹角余弦公式计算即可得. 【详解】对A：，则，故A正确； 对B：由，则，解得，故B错误； 对C：，则，故C错误； 对D：，化简得， 解得，但当时，，故舍去， 故，故D错误. 故选：A. 2．（25-26高三上·河北保定·月考）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助向量坐标的数量积公式可得，再利用向量夹角公式计算即可得解. 【详解】依题意，由，有，解得， 所以. 故选：B． 3．（24-25高一下·江苏·月考）已知向量，，若，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，即可得解 【详解】根据题意向量，， 所以， 又，则， 化简得. 故选：D 4．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知向量，若，则（   ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，所以，解得. 故选：D． 5．（2025·全国·模拟预测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知向量，，利用向量减法求出和，再通过点积计算求出，通过模长计算求出和，利用向量夹角的余弦公式求解. 【详解】， . . . . . . 故选：C. 6．（25-26高二上·福建泉州·月考）已知点，，，若，的夹角为锐角，则的值可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意可求出和，因为，的夹角为锐角，可得，且不能是同向共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，，的夹角为锐角， ，且，解得且， 故的取值范围为.选项C、D符合题意. 故选：CD. 7．（24-25高一下·广西南宁·月考）已知，则（   ） A． B． C．与的夹角余弦值为 D．向量在向量方向上的投影向量坐标为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算、数量积的坐标表示，逐项求解判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，，， 则，C正确； 对于D，向量在向量方向上的投影向量，D正确. 故选：ACD 8．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知向量，，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据向量的加减法运算、平行和垂直的判定，以及投影向量公式逐项进行分析判断. 【详解】选项A:已知向量，， 所以，，故A对； 选项B:因为，而，故B错； 选项C:因为，，故C对； 选项D:根据投影向量公式：，故D对. 故选:ACD. 9．（24-25高一下·浙江·期中）设向量，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则与的夹角为钝角 B．的最小值为2 C．与垂直的单位向量只能为 D．若，则 【答案】AB 【分析】求出与夹角的余弦值可判断；向量的模可判断；单位向量可判断；向量模相等列出方程求解可判断. 【详解】对，当时，，因为， 所以与的夹角是钝角，故正确； 对，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故正确； 对，设与垂直的单位向量为， 则，解得或 与垂直的单位向量为或，故错误； 对，若，可得：， 解得，故错误. 故选：. 10．（25-26高三上·广东肇庆·月考）已知平面向量，，且，则（    ） A． B．或 C．与夹角的大小为 D． 【答案】AC 【分析】根据向量线性运算的坐标表示及向量模的公式计算求判断AB，再由向量夹角公式求夹角判断C，由向量的模的坐标运算判断D. 【详解】因为，， 所以由可得， 即，解得，故A正确，B错误； 由，所以夹角为，C正确； ，故，，不成立，D错误. 故选：AC. 11．（2026高三·全国·专题练习）在等腰直角中，为边上的两个动点（不与重合），且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以为原点建系，根据线段的方程设出两点坐标，最后转化为求一元二次函数的值域即可. 【详解】不妨设点靠近点，点靠近点，以等腰直角三角形的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则， 线段的方程为． 由，设，则有，，， ，则由二次函数的知识可得． 故答案为： 12．（24-25高二下·上海嘉定·期中）向量在向量方向上的投影为 ． 【答案】2 【分析】根据向量的投影计算公式，代值即可求得结果. 【详解】向量在向量方向上的投影为. 故答案为：2. 13．（2025·吉林·模拟预测）已知平面向量内，，.若存在实数、使得，并且，且．则满足条件的所有的值对集合为 ． 【答案】 【分析】利用向量线性运算以及模长公式的坐标表示，结合条件构建方程，求解即可. 【详解】由题意，，，，且， 所以， 因为，所以， 所以，可得，整理得， 解得或. 当时，； 当时，. 故答案为：. 14．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知向量，，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量坐标运算求出与的坐标，再根据向量垂直的性质列出方程，最后求解方程得到的值. 【详解】已知，. 则； . 因为，可得. 所以. 解得. 故答案为：. 15．（24-25高一下·山东济南·期末）设Ox，Oy是平面内的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序数对叫做向量在坐标系Oxy中的坐标．已知，，对任意，恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意将，转化成用基底表示的形式，进一步可求出，根据恒成立求解的取值范围即可. 【详解】，. ，. ，， . 对任意，恒成立. . . ， . 解得：. ；. 即的取值范围为. 16．（25-26高三上·安徽·月考）已知平面向量． (1)当λ为何值时，与垂直？ (2)与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的数量积为0可得； （2）由与的数量积大于0，再去除两向量共线的情形． 【详解】（1）因为平面向量． 则与， 因为与垂直， 所以，解得. （2）因为平面向量． 则与， 因为与的夹角为锐角， 所以，即， 解得且， 即 17．（24-25高一下·浙江·月考）已知向量，满足. (1)求最小值； (2)若，求向量的坐标表示. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）方法一：由，化简可得，从而可得最小值；方法二：由向量的坐标运算可得，结合二次函数的图象性质可得最小值. （2）由向量的坐标运算可得，解方程组可得结果. 【详解】（1）解：（1）法一：，设和的夹角为，则 ，， ，即最小值为. 法二：设，由，可得， ， 故当时，取最小值，最小值为. （2）设，由，可得， ，可得，即， 解得：，， 所以向量的坐标表示为或. 18．（24-25高一下·湖南怀化·期末）已知． (1)若，求； (2)若与夹角余弦值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用向量垂直的坐标表示，得，再利用模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，则，解得， 所以， 则， 所以. （2）因为，， 由题有， 整理得到，解得. 19．（24-25高一下·湖北武汉·期末）已知向量，. (1)若，求x的值； (2)若向量，，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求，再由关系结合向量垂直的坐标表示列方程可求， （2）先求，再由条件结合向量平行的坐标表示列方程求，根据向量夹角公式求结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以x的值为， （2）因为，， 所以， 因为，，， 所以， 所以， 所以，又， 所以，，， 所以， 所以与的夹角的余弦值为. 20．（24-25高一下·甘肃陇南·月考）已知向量，在下列条件下分别求k的值： (1)与平行； (2)与垂直； (3)与夹角为. 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】（1）首先求出与，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解； （3）首先利用向量数量积的坐标运算求出，再根据平面向量数量积的定义得到方程，解得即可； 【详解】（1）解：因为，，所以，， 又与平行， 所以，解得； （2），， 因为与垂直， 所以， 解得：； （3）因为，， 所以， 因为与夹角为，所以， 即， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $