第04讲 平面向量基本定理（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）（寒假衔接课堂）讲义-2026年高一数学寒假衔接（人教A版必修第二册）

第04讲 平面向量基本定理（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用基底表示向量 典型例题二 平面向量基本定理的应用 典型例题三 利用平面向量基本定理求参数 典型例题四 平面向量共线定理证明点共线问题 典型例题五 平面向量共线定理证明线平行问题 典型例题六 平面向量共线定理的推论 典型例题七 已知向量共线(平行)求参数 知识点一：平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山西·月考）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 2．（2025高一·全国·专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 【答案】③ 【分析】根据基底的定义判断即可. 【详解】解：③中，可知两向量共线，不能作为一组基底，选③； 其它选项中的两个向量都不满足，都能做基底，不选． 故答案为：③． 知识点二：平面向量基本定理的应用 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 【即时训练】 1．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论； 【详解】根据题意； 又因为，三点共线，则存在，使得， 即，即， 所以，整理得，所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·甘肃白银·月考）已知是实数，向量，不共线，若，则 ； ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，以及零向量的定义，即可求解. 【详解】因为不共线，由， 得，解得. 故答案为：；. 知识点三：共线向量定理及其推论 1、共线向量定理及其推论 （1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 【即时训练】 1．（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量共线列式求解即得. 【详解】由，，三点共线，得，又，，，不共线， 则，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案. 【详解】． 因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以． 又B，P，N三点共线，所以，． 故答案为： 【典型例题一 用基底表示向量】 1．（24-25高一下·山东济宁·月考）在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据平面向量共线基本定理和向量的加减运算法则求解. 【详解】如下图所示， . 故选：D 2．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，.   (1)用与表示； (2)求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. （2）利用向量的线性运算、数量积的运算即可求出范围. 【详解】（1）在直角梯形中，，，为的中点， 所以. （2）由，得，由，得， 因此，而， 所以. 1．（24-25高一下·天津·期末）在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，利用平行线分线段成比例可推导得到，结合向量加法和数乘运算可求得结果. 【详解】作，交于点，   ，，， ，， . 故选：C. 2．（24-25高一下·广西河池·期末）如图所示，已知在正方形中，、分别是边、的中点，与交于点.设，，下列选项错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量垂直的数量积关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，由平面向量加法的平行四边形法则可得，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，由题意可得，， 所以，故，D对. 故选：A. 3．（25-26高三上·海南·月考）如图，在梯形ABCD中，，点M是线段BC上靠近点B的四等分点，若，则 ． 【答案】2 【分析】利用平面向量的基底表示求解即可，先选择作为基底，然后再选择作为基底表示，从而求出结果. 【详解】， 故答案为：2. 4．（24-25高一下·山西吕梁·月考）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若|，，且与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量的基本定理得出关于、的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）在中，为边上的点，且，则， 所以，解得. （2）因为为的中点，所以， 所以 . 【典型例题二 平面向量基本定理的应用】 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）设是两个不共线的向量，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，再将代入，根据向量相等的条件列出方程组解出即可得解. 【详解】设，代入并整理得， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【详解】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 1．（24-25高一下·福建泉州·期末）在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，可得在直线，最小值即为到直线的距离，据此计算可得最小值. 【详解】作出示意如图所示：取的中点， 则，又，所以， 又，所以在直线上， 所以的最小值为到直线的距离，即， 因为，所以，且，所以， 所以，所以的最小值为. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先将用，，表示出来，再通过已知的向量倍数关系将其转化为用，，表示，然后利用在平面上，与平面内向量共面的性质求解. 【详解】因为是的重心，所以， 将代入得， 因为在直线上且在平面上，所以存在实数使得， 且，同时与共线， 设（为实数），则， 因此，，，又因为，即，解得， 故，即. 故选：B. 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则 . 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，由向量加法的法则结合条件可求得，将已知向量等式取平方，利用向量数量积的运算律计算即可. 【详解】如图，过点作交于点，交于点， 则，所以，即，. 又因平分，且，则，解得， 则，因此，又， 则 .解得. 故答案为：.    4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 (1) ； (2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，利用向量数量积公式得到； （2）设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【详解】（1）由题意可知：，， 则， ， 所以 . （2）因为点为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 【典型例题三 利用平面向量基本定理求参数】 1．（25-26高二上·浙江·开学考试）在中，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算，结合，化简得到，对照题设即得的值. 【详解】因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图中，D为的中点，E为的中点，，令，. (1)试、表示； (2)延长交于，设，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用、表示出，再由得出答案. （2）用、表示出.再利用，若三点共线，.即可列出等式，计算出答案 【详解】（1） （2） 又 1．（25-26高一·全国·假期作业）在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案. 【详解】因为，所以为中点， 三点共线，故可设，即， 整理得， 因为，所以，即， 又三点共线， 则， 所以，解得， 可得，则，. 故选：D. 2．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出关于和的表达式，从而确定和的值，最后计算. 【详解】如图，延长AG与BO相交于点，可得为OB的中点，可得， 由，有，有， 又由， 有，可得. 故选：A. 3．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 【答案】 【分析】首先用将向量表述出来，然后化简原等式，从而可求出的值，从而得到答案. 【详解】， 而，所以，解得. 所以. 故答案为：1. 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，为边上的点，且为上的一点，且，延长交于，求分有向线段所成的比. 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理以及三点共线，由系数相等即可求解. 【详解】， 又， 而，， 三点共线， 设，而, 所以， 解得. 【典型例题四 平面向量共线定理证明点共线问题】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理逐项判断即可. 【详解】因为，故三点共线, A正确； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，B错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，C错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，D错误； 故选：A 2．（24-25高一下·北京·期中）如图，矩形中，.设. (1)用表示； (2)用向量的方法证明：三点共线. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由平面向量加法运算，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由共线向量基本定理即可证明共线，即可证明. 【详解】（1）， . （2）证明：由（1）可知，所以， 因为， 所以共线，又直线，直线有公共点， 所以三点共线. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设空间四点O、A、B、P满足，其中，则有（    ） A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上 【答案】A 【分析】将已知等式进行变形可得，再利用向量共线的充要条件可得，共线，即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 所以，所以，共线， 因为，，有1个公共点， 故点P在线段AB上， 故选：A. 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 【答案】D 【分析】A选项，设，则，无解，不满足共线定理，A错误；BC选项，方法同A，得到BC错误；D选项，计算出，D正确. 【详解】A选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，A错误； B选项，，， 令，则，无解，不满足共线定理，B错误； C选项，， ， 令，则，无解， ，不满足共线定理，C错误； D选项，，故三点共线，D正确． 故选：D 3．（24-25高二上·新疆阿克苏·月考）已知，，，则点A、B、C、D中一定共线的三点是 . 【答案】A、B、D 【分析】根据已知向量，结合向量加法法则、共线基本定理判断向量是否共线，即可判断点共线. 【详解】由不存在实数使成立， 故A，C，D三点不共线，同理A、B、C以及B、C、D均不共线， 又， 故与共线，故三点A、B、D共线. 故答案为：A、B、D 4．（24-25高二下·上海嘉定·期中）如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点． (1)试用、表示； (2)证明：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加减法证明即可； （2）根据向量平行得出，再结合向量的线性运算 计算证明即可. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 则，故． （2）设，又因为，所以，， 由（1）知，同理， 其中，所以， 有公共点，故，，三点共线． 【典型例题五 平面向量共线定理证明线平行问题】 1．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据，则，依次验证在每个选项的条件下，若，是否有解即可. 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 故答案为：A. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知，D、E分别是AB、AC的中点，求证；． 【答案】证明见解析 【分析】用表示，然后由共线向量定理即可证明. 【详解】， 因为D、E分别是AB、AC的中点，所以，, 所以, 所以，因为不在一条线上，所以. 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据向量共线定理逐一判断. 【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选； 对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选； 对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C； 对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选； 故选：C 2．（2025高一·全国·课后作业）已知，是两个共线的非零向量，且，，则向量与（    ） A．共线 B．不共线 C．相等 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据共线向量定理判断可得答案. 【详解】因为，是两个共线的非零向量，所以存在实数，使得， 则，， 所以与共线，与共线，又， 所以与共线，故A正确，BD错误. 当，即时，， 当，即时，， 故C错误. 故选：A 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知基底，，，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的运算法则，结合共线向量的性质、基底的性质进行求解即可. 【详解】， 因为是基底，所以是不共线向量， 因此有：， 故答案为： 4．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【典型例题六 平面向量共线定理的推论】 1．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·月考）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算得，再利用三点共线的结论即可得到值. 【详解】∵，∴， 又，∴， ∵B，P，D三点共线，∴，∴. 故选：A. 2．（24-25高一·全国·随堂练习）已知向量，（三点不共线），判断下列各题中的点是否在直线上． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在 (2)不在 (3)不在 【分析】先证明满足时，等价于点在直线上，再对各小题逐一判断即可. 【详解】（1）因为向量，（三点不共线），则，可作为该平面的一个基底， 所以存在，使得任一向量满足， 当时，，则， 所以，则， 故点在直线上； 当点在直线上时，则存在，使得， 所以，则， 又，所以，则； 所以是点在直线上的充要条件. 对于，显然，所以点在直线上. （2）对于，显然， 所以点不在直线上 （3）对于，显然， 所以点不在直线上 1．（24-25高一下·四川广安·期中）如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，进而可得，利用三点共线可求得，进而利用向量的线性运算可求得. 【详解】因为，所以，又因为三点共线， 所以设，又，所以， 所以，又三点共线，所以，解得， 所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由得，所以，三点共线得，利用二次函数即可得解. 【详解】由，得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取等号， 故的最小值为， 故选：B 3．（24-25高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为 .    【答案】/ 【分析】利用向量运算得，然后利用三点共线列方程求解即可. 【详解】由题意得，， 因为，D，F三点共线，所以，解得. 故答案为： 4．（24-25高一上·河南洛阳·月考）设G为的重心，过点G作直线分别交AB､AC于P，Q.已知，，求的值. 【答案】3 【分析】连接AG并延长交BC于M，，化简得到，根据三点共线得到答案. 【详解】连接AG并延长交BC于M，因为G是重心，所以M为BC的中点. ，， 因为，，所以， 又因为P，G，Q三点共线，所以，所以. 【典型例题七 已知向量共线(平行)求参数】 1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线定理即可求解. 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）设是不共线的两个向量． (1)若，证明：A，B，C三点是否共线； (2)若与共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证.. （2）利用共线向量定理列式计算即得. 【详解】（1）证明：由， 得， ， 因此向量与共线，且有公共点， 所以，B，C三点共线. （2）由与共线得存在实数，使得， 即，而向量与不共线，则，解得，， 所以实数k的值为. 1．（24-25高一下·黑龙江·月考）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量的和差等运算规律得出，然后结合向量共线定理即可求解. 【详解】由题知由于 ，是空间中两个不共线的向量， 且有， ，， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以存在实数，使得， 所以， 所以. 故选：D 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理可设＝k，可得，再根据平面向量基本定理列方程组即可求解. 【详解】因为∥，所以设＝k， 因为，(λ，μ∈R)，所以， 即， 由，不共线可得，所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量不共线，若与共线，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用平面向量共线定理以及基本定理可构造方程组求得结果. 【详解】由题意，设，， 则有，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）设，利用，，三点共线和，，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可 （2）利用，共线即可推出 【详解】（1）设，则， ∵，，三点共线， ∴，共线，从而.① 又，，三点共线. ∴，共线， 因为，共线， 所以可得.② 联立①②，解得， 故. （2）∵， ，且，共线， ∴，整理得. 1．（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】解法1应用相似得出比例关系结合平面向量基本定理求出即可求解；解法2应用向量的数乘运算结合三点共线即可计算求解. 【详解】解法1：根据题意可知，所以， 故 ，所以， 所以． 解法2：因为，， 所以， 因为三点共线， 所以，所以． 故选：A． 2．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）已知是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算可得，然后根据三点共线，存在实数使得，即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得， 即，所以， 解得：. 故选：C. 3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令，由三点共线，可得到一个向量等式，由三点共线可得到另一个等式，两者结合可求，进而得的值. 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 4．（25-26高二上·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，可得，结合已知和三点共线，即可求出的值. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】作出辅助线，由向量共线定理可得答案. 【详解】（等和线法）如图，作，延长与相交于点， 因为三点共线，所以． 故选：A． 6．（24-25高一下·福建三明·月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【详解】对于A，， 两向量共线，不能作为基底，故A正确； 对于B，， 两向量共线，不能作为基底，故B正确； 对于C，， 两向量共线，不能作为基底，故C正确； 对于D,若存在实数使得，， 则，无解，故两向量不共线，可以作为基底， 故D错误； 故选：ABC. 7．（2024高一·江苏·专题练习）设，是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】先判断与，与，与不共线，即可判断此三组向量可以分别作为一组基底； 与共线，故此组向量不能作为一组基底. 【详解】A．设，则无解，所以与不共线，即与能作为一组基底． B．设，则无解， 所以与不共线，即与能作为一组基底． C．因为，所以与共线，即与不能作为一组基底． D．设，则无解， 所以与不共线，即与能作为一组基底． 故选：ABD 8．（24-25高一下·贵州·期中）在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】ABD 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可判断AB，根据三点共线表示，再利用基底表示向量，再利用平面向量基本定理的推论，根据系数和为1，即可判断C，根据C的判断，即可判断D. 【详解】对于：根据，又因为点是线段的中点，，故，故A正确； 对于：因为，所以，，故正确； 对于，因为点是线段的中点，所以，设，则， ，又，则， 又因为三点共线，所以，解得，故错误； 对于D：由于，故，故D正确. 故选：ABD 9．（24-25高一下·江西·月考）如图，在中，边上的点满足，边上的点满足，线段上的点满足，点为线段上任意一点（不包括端点），连接并延长交直线于点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】根据向量的线性运算可得，由三点共线可得的关系，再由不等式的性质求范围即可得解. 【详解】由题意得，，， 设， ，时，，不合题意，. 则 ， ，，三点共线， ，， 或， 或，或， 或， 或. 故选：AD. 10．（24-25高一下·山西大同·期中）在中，点满足，当点在线段上移动时，记，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】由可得，再根据点在线段上移动时，可得，再根据二次不等式的范围求解的最小值即可 【详解】因为，所以． 又，点在线段上移动， 所以，则，即，故A错误，B正确 所以， 当时，的最小值是．故C错误，D正确 故选：BD 11．（24-25高一下·陕西榆林·月考）若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 【答案】-8 【分析】由题得存在实数λ，使得，把代入计算即得解. 【详解】因为不能作为一组基， 所以存在实数λ，使得， 即， 则6λ=3，且kλ=-4，解得λ=，k=-8. 故答案为： 12．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正六边形，和分别是和的中点，交于点，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查正六边形的性质以及向量的线性运算和共线问题，通过向量关系建立等式求解线段比值. 【详解】解法1：如图，连接．    因为三点共线， 所以 ． 因为点在的中线上， 所以，解得，则，所以． 解法2： ， 化简得， 即，解得，所以． 13．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 【答案】/ 【分析】利用重心向量公式结合向量的线性运算将用表示，利用向量共线的性质列式求解. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 14．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，，E是线段的中点，过点E的直线分别与线段，交于点M，N，若，，则 . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求得，利用三点共线可求得. 【详解】因为，所以， 所以， 又因为E是线段的中点，所以 因为，，所以， 又因为三点共线，所以，解得.    故答案为：. 15．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】将用来表示，进而利用三点共线求得参数；假设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】设，，则， 若，则， 因为B，M，D三点共线，则，得， 所以； 设，，则， 又B，M，D三点共线，则，得， 因为菱形ABCD的边长为1，，，， 所以，． 又， 所以， 整理，得， 解得，或（舍去）．故． 故答案为：、 16．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据图形，利用向量的加法法则计算可得； （2）利用向量的四边形法则结合共线的基本定理可得. 【详解】（1）因为是上靠近的三等分点，所以， 则由空间向量的加法法则得， 由空间向量的减法法则得 ，故. （2）若是中点，设，， 则， 因为三点共线，所以. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足，求证：点的轨迹一定经过的重心． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知条件结合向量减法计算化简，结合中线性质得出即可证明． 【详解】因为 所以， 所以， 即， 所以， 设，则， 即． 因为经过的中点，三点共线， 所以点的轨迹一定经过的重心． 18．（24-25高一下·四川达州·月考）如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三点共线，结合已知条件可得，同理由三点共线，可得，从而可得，解方程组可求出的值，进而可求得答案； （2）延长与交于点，由三点共线，可得，由，得，结合（1）可得，所以，求出的值，从而可求出的值. 【详解】（1），， 因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 同理，因为三点共线，所以， 又因为，所以，则， 根据平面向量基本定理，可得，解得， 所以. （2）延长与交于点，因为三点共线， 所以， 又因为，且，所以， 即， 所以，解得，所以，则. 所以. 19．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是两个不共线的向量. (1)判断与是否共线，并说明理由； (2)已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值. 【答案】(1)共线，理由见解析 (2) 【分析】（1）由两个向量共线的条件判断即可； （2）由A，B，D三点共线，可得与共线，即存在实数，使得，结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】（1）当时，显然与共线. 当时，，则与共线. 综上，与共线. （2）， A，B，D三点共线，与共线， 即存在实数，使得，即， 因为，是两个不共线的向量，由平面向量基本定理得， ∴. 20．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）表达出，根据三点共线，得到，求出； （3）在（1）基础上，得到，，，利用夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）N为的中点，故， ， 故； （2）， 因为三点共线，设，即， ，故，， 所以，解得； （3）由（1）知，，， 又，，，故， ， ， ， 则. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 平面向量基本定理（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用基底表示向量 典型例题二 平面向量基本定理的应用 典型例题三 利用平面向量基本定理求参数 典型例题四 平面向量共线定理证明点共线问题 典型例题五 平面向量共线定理证明线平行问题 典型例题六 平面向量共线定理的推论 典型例题七 已知向量共线(平行)求参数 知识点一：平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山西·月考）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）设，是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①与；②与；③与；④与．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ．（写出所有满足条件的序号） 知识点二：平面向量基本定理的应用 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 （2）重要结论设是平面内一个基底， 若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 【即时训练】 1．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 2．（24-25高一下·甘肃白银·月考）已知是实数，向量，不共线，若，则 ； ． 知识点三：共线向量定理及其推论 1、共线向量定理及其推论 （1）定义：如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 【即时训练】 1．（24-25高一下·河北张家口·期中），是平面内不共线两向量，已知，，若，，三点共线，则的值为（   ） A． B． C．-4 D．4 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则 ． 【典型例题一 用基底表示向量】 1．（24-25高一下·山东济宁·月考）在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东潍坊·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，.   (1)用与表示； (2)求的取值范围； 1．（24-25高一下·天津·期末）在平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西河池·期末）如图所示，已知在正方形中，、分别是边、的中点，与交于点.设，，下列选项错误的是（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三上·海南·月考）如图，在梯形ABCD中，，点M是线段BC上靠近点B的四等分点，若，则 ． 4．（24-25高一下·山西吕梁·月考）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若|，，且与的夹角为，求. 【典型例题二 平面向量基本定理的应用】 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）设是两个不共线的向量，且，则（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 1．（24-25高一下·福建泉州·期末）在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）在四面体中，是的重心，．若直线交平面于点，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高一下·河南南阳·期末）在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则 . 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 (1) ； (2)若点为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【典型例题三 利用平面向量基本定理求参数】 1．（25-26高二上·浙江·开学考试）在中，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图中，D为的中点，E为的中点，，令，. (1)试、表示； (2)延长交于，设，求的值. 1．（25-26高一·全国·假期作业）在中，，点为与的交点，，则（ ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高一下·山西运城·月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在中，为边上的点，且为上的一点，且，延长交于，求分有向线段所成的比. 【典型例题四 平面向量共线定理证明点共线问题】 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京·期中）如图，矩形中，.设. (1)用表示； (2)用向量的方法证明：三点共线. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）设空间四点O、A、B、P满足，其中，则有（    ） A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上 2．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知，，，则共线的三点为（   ） A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D 3．（24-25高二上·新疆阿克苏·月考）已知，，，则点A、B、C、D中一定共线的三点是 . 4．（24-25高二下·上海嘉定·期中）如图，在四边形中，，分别为边，的中点，，记，相交于点． (1)试用、表示； (2)证明：，，三点共线． 【典型例题五 平面向量共线定理证明线平行问题】 1．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，已知，D、E分别是AB、AC的中点，求证；． 1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2025高一·全国·课后作业）已知，是两个共线的非零向量，且，，则向量与（    ） A．共线 B．不共线 C．相等 D．不能确定 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知基底，，，，且，则 ． 4．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【典型例题六 平面向量共线定理的推论】 1．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·月考）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一·全国·随堂练习）已知向量，（三点不共线），判断下列各题中的点是否在直线上． (1)； (2)； (3)． 1．（24-25高一下·四川广安·期中）如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西河池·月考）在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一下·全国·期末）如图，在梯形中，，点是的中点，点在线段上，若，则的值为 .    4．（24-25高一上·河南洛阳·月考）设G为的重心，过点G作直线分别交AB､AC于P，Q.已知，，求的值. 【典型例题七 已知向量共线(平行)求参数】 1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）设是不共线的两个向量． (1)若，证明：A，B，C三点是否共线； (2)若与共线，求实数k的值． 1．（24-25高一下·黑龙江·月考）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量不共线，若与共线，则实数的值为 . 4．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设. (1)用表示； (2)过点的直线与边分别交于点.设，求的值. 1．（2025高一·全国·专题练习）在平行四边形中，是边的中点，与相交于点，若，则的值是（    ）． A． B．2 C．1 D． 2．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）已知是平面内的一组基底，，若三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（25-26高二上·河北石家庄·期中）如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）在平行四边形中，与相交于点，点是线段的中点，的延长线与交于点，若，，且，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25高一下·福建三明·月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一·江苏·专题练习）设，是不共线的两个向量，则下列各组向量能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（24-25高一下·贵州·期中）在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 9．（24-25高一下·江西·月考）如图，在中，边上的点满足，边上的点满足，线段上的点满足，点为线段上任意一点（不包括端点），连接并延长交直线于点，若，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D．1 10．（24-25高一下·山西大同·期中）在中，点满足，当点在线段上移动时，记，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 11．（24-25高一下·陕西榆林·月考）若为平面内所有向量的一组基，且，不能作为一组基，则k的值为 . 12．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知正六边形，和分别是和的中点，交于点，则 ．    13．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）已知点是的重心，点满足，若三点共线，则 ． 14．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在中，，E是线段的中点，过点E的直线分别与线段，交于点M，N，若，，则 . 15．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ． 16．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在中，点在上，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，设，． (1)若是上靠近的三等分点，用和表示； (2)若是中点，设，，求的值． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足，求证：点的轨迹一定经过的重心． 18．（24-25高一下·四川达州·月考）如图，在中，，，与交于O，若，    (1)求的值； (2)设的面积为S，的面积为，求的值． 19．（24-25高一下·江苏扬州·期中）设，是两个不共线的向量. (1)判断与是否共线，并说明理由； (2)已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值. 20．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，中，，，，，N为的中点，设，与相交于点. (1)用，表示、； (2)若，求的值； (3)求. 学科网（北京）股份有限公司 $