第05讲 平面向量正交分解及加、减、数乘运算的坐标表示（思维导图+2知识点+五大考点+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教A版

第05讲 平面向量正交分解及加、减、数乘运算的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：用坐标表示平面向量】 【题型02：向量线性运算的坐标表示及参数问题】 【题型03：由坐标判断向量是否共线】 【题型04：由向量共线(平行)求参数】 【题型05：用坐标解决三点共线问题】其求参数问题】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平面向量正交分解 1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2、平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. （4）特殊向量的坐标：． 注：①在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． ②平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． ③向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． 知识点2：平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 4、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【题型01：用坐标表示平面向量】 1．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 2．（24-25高一下·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的坐标表示列方程求点的坐标. 【详解】设点，则向量， 所以，即，对应的点B坐标为． 故选：C 3．（24-25高一下·天津·期末）已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 5．（24-25高一下·天津武清·月考）已知平行四边形，，，，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量相等求出点的坐标. 【详解】在中，，设，而，，， 因此，即，解得， 所以点D的坐标为. 故答案为： 【题型02：向量线性运算的坐标表示及参数问题】 1．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 故选：C 2．（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【详解】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法表示，进而得到，再根据向量加法的坐标运算法则计算即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：C 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量坐标的加减法运算法则可得到答案. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，由此求出，再求结论. 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 6．（25-26高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 【题型03：由坐标判断向量是否共线】 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量中，共线的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据向量共线的充要条件，即可判断选项. 【详解】若两个向量共线，则， 其中只有B选项，满足条件. 故选：B 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线的坐标表示逐项判断. 【详解】对于A，，所以不共线，A错误； 对于B，，所以共线，B正确； 对于C，，所以不共线，C错误； 对于D，，所以不共线，D错误. 故选：B 3．（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 4．已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知向量、求出的坐标，再依据两向量平行的坐标关系来判断选项中的向量是否与平行. 【详解】因为，所以． 若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意． 故选：D． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 【题型04：由向量共线(平行)求参数】 1．（25-26高一上·北京·月考）已知向量，，若，则等于（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：D 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知点，，，O为坐标原点，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】利用平面向量坐标及共线定理计算即可求解. 【详解】由，， 若与共线，则，解得. 故选：B. 3．（24-25高一下·贵州·月考）已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量平行得到方程，求出或，从而得到答案. 【详解】因为，所以，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用两向量共线得出，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 向量，，，与共线， ∴， ∴， 当且仅当即时，等号成立， ∴， 故答案为：2. 【题型05：用坐标解决三点共线问题】 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】依题意，，且，则， 所以. 故选：A 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可. 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 4．（23-24高一下·福建莆田·月考）某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中三点恰好共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标表示即可得出答案. 【详解】由图可知：，，， 所以， ， 因为三点恰好共线， 所以， 所以， 解得. 故选：C. 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 【答案】，，，、、三点共线 【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线. 【详解】因为，，则，所以； 又，，则，所以； 又，所以； 因为，， 所以，即，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 1．已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 【答案】B 【分析】根据向量坐标定义可判断AD；根据向量坐标等于终点坐标减始点坐标可判断BC. 【详解】设，由可得， 由平面向量的坐标定义可知，由向量坐标无法确定点A和点B的坐标，故AD错误； 当，则，即B点的坐标为，B正确； 当，，即，即A点的坐标是，C错误. 故选：B． 2．若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出合适的选项. 【详解】若向量，，则， D选项满足要求，而其它选项不合题意. 故选：D. 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由已知条件求出和的坐标，根据和是相反向量即可求解. 【详解】设，∵， ∴，. ∵和是相反向量， ∴，即，解得. 故选：A. 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算求解. 【详解】，，则，， 由，得，解得. 故选：B 5．（24-25高一下·山西大同·期末）已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 【答案】D 【分析】根据向量的共线满足的坐标关系即可求解. 【详解】由，可得，， 因为共线，故共线，可得，解得， 故选：D 6．（24-25高一下·重庆·期末）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量基地不能共线的要求，逐个判断各选项是否正确. 【详解】零向量于任意向量共线，所以A错误， 因为，所以B错误， 因为，所以C错误， 不共线，所以D正确； 故选：D. 7．（23-24高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点D的坐标为，根据题意可知，结合向量的坐标表示分析求解即可. 【详解】设点D的坐标为，则， 若四边形ABCD为平行四边形，则， 可得，解得，即点D的坐标为. 故选：B. 8．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的坐标运算建立方程，求解，进而得到即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，， 解得，，则，故B正确. 故选：B 9．已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 【详解】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 10．已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算即可列式子求解. 【详解】方法一：设，则，, 又, 所以 所以即, 因为点P在第四象限，所以 解得 故所求实数λ的取值范围是 方法二：, 所以 因为点P在第四象限，所以 解得 故选：C 11．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标. 【详解】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 12．（24-25高一下·广西南宁·月考）平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得，即， 所以，即， 故答案为：. 13．在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】将相交条件转化为向量共线建立点坐标满足的方程组，求解即可. 【详解】因为点，， 所以，. 设，则，而， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 而， ， 因为三点共线，所以与共线， 所以，即. 由，得， 所以点M的坐标为. 故答案为：. 14．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示可得，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由， 由三点共线，且， 所以， 则， 当且仅当时取等. 故答案为：6 15．（2024高一·江苏·专题练习）设点，，，，当为何值时，与共线且方向相同，此时，，，，能否在同一条直线上？ 【答案】，，，，不在同一条直线上． 【分析】 首先求出、、的坐标，根据向量共线的坐标表示求出的值，再检验，从而确定的值，再判断与不共线，即可得解. 【详解】 因为，，，， 所以，， ， 由与共线，所以，解得， 当时，，此时，即与共线同向； 当时，，此时，即与共线反向； 综上可得. 此时，，，而，所以与不共线， 所以，，三点不在同一条直线上． 所以，，，不在同一条直线上． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 平面向量正交分解及加、减、数乘运算的坐标表示 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：用坐标表示平面向量】 【题型02：向量线性运算的坐标表示及参数问题】 【题型03：由坐标判断向量是否共线】 【题型04：由向量共线(平行)求参数】 【题型05：用坐标解决三点共线问题】其求参数问题】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平面向量正交分解 1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2、平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. （4）特殊向量的坐标：． 注：①在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． ②平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． ③向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． 知识点2：平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 4、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【题型01：用坐标表示平面向量】 1．（24-25高一下·山东聊城·期末）已知点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东·月考）已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津·期末）已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 5．（24-25高一下·天津武清·月考）已知平行四边形，，，，则点D的坐标为 ． 【题型02：向量线性运算的坐标表示及参数问题】 1．（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一·全国·假期作业）已知，，则等于（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏盐城·月考）在平行四边形中，为对角线，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一·全国·假期作业）已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【题型03：由坐标判断向量是否共线】 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量中，共线的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北石家庄·期中）下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型04：由向量共线(平行)求参数】 1．（25-26高一上·北京·月考）已知向量，，若，则等于（   ） A． B．2 C．4 D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知点，，，O为坐标原点，若与共线，则（   ） A． B． C．1 D．0 3．（24-25高一下·贵州·月考）已知平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 【题型05：用坐标解决三点共线问题】 1．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 3．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建莆田·月考）某同学因兴趣爱好，自己绘制了一个迷宫图，其图纸如图所示，该同学为让迷宫图更加美观，在绘制过程中，按单位长度给迷宫图标记了刻度，该同学发现图中三点恰好共线，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线． 1．已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．当A是原点时，B点的坐标是 C．当是原点时，A点的坐标是 D．点的坐标是 2．若向量，，则与共线的向量可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知三点，若和是相反向量，则D点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山西大同·期末）已知点，，若点与，共线，则实数（    ） A． B．13 C．12 D． 6．（24-25高一下·重庆·期末）下列各组向量中，能作为基底的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·重庆·期末）已知点，，，若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 10．已知点，若第四象限的点P满足，则实数λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 12．（24-25高一下·广西南宁·月考）平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 13．在中，已知点，，与交于点，则点的坐标为 . 14．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设向量其中为坐标原点，  ，若三点共线，  则的最小值为 . 15．（2024高一·江苏·专题练习）设点，，，，当为何值时，与共线且方向相同，此时，，，，能否在同一条直线上？ 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $