6.3.4-6.3.5·平面向量数乘运算的坐标表示与平面向量数量积的坐标表示【寒假预习讲义】-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.3.4-6.3.5·平面向量数乘运算的坐标表示与平面向量数量积的坐标表示】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 一、6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 1.平面向量数乘运算的坐标公式（核心运算考点） 知识点：设平面向量，为任意实数，则实数与向量的数乘运算的坐标表示为：；本质是将向量的横、纵坐标分别与实数相乘，得到数乘向量的坐标 易错辨析：①数乘坐标运算时，误将只与横坐标相乘或只与纵坐标相乘，如将误算为或；②混淆数乘坐标运算与加减坐标运算，误将算成；③当时，误将算成或，实际应为；④书写不规范，漏写括号或逗号，如将写成 重点记忆：①数乘坐标运算口诀：“实数乘坐标，横纵各相乘”（简单易记，适配快速运算）；②运算核心：无需考虑向量方向，直接将实数与向量的横、纵坐标分别相乘，结果仍为向量坐标；③特殊情况：当时，；当时，（与相反向量坐标一致）；④运算顺序：先确定向量坐标，再将横、纵坐标分别乘，最后写出数乘向量坐标 常考结论：①若，则（数乘向量模长公式，高频考点）；②若，则与共线（坐标形式下共线的直观体现）；③若，则必有或（双向成立） 2.数乘坐标运算的几何意义 知识点：平面向量数乘运算的坐标表示，几何意义与数乘的基本几何意义一致，即对向量进行“伸缩+转向”变换：①当时，与同向，横、纵坐标同时扩大或缩小为原来的倍；②当时，与反向，横、纵坐标同时扩大或缩小为原来的倍，且符号相反；③当时，向量长度不变，仅方向可能改变 易错辨析：①误认为“数乘坐标变换只改变向量长度，不改变坐标符号”，忽略时横、纵坐标符号会反向；②当时，误判向量被伸长，实际为缩短（伸缩倍数由决定）；③混淆“同向/反向”与坐标符号的关系，如，时，，误判为同向；④认为“数乘会改变向量的共线关系”，实际数乘不改变向量共线性 重点记忆：①坐标变换核心：的绝对值决定“伸缩倍数”，的符号决定“方向”；②符号规律：，与横、纵坐标符号一致；，横、纵坐标符号均相反；③几何意义与坐标的关联：通过坐标的伸缩和符号变化，直观体现向量的伸缩和转向；④若，则与的坐标成比例，即（） 常考结论：①若，为实数，则（结合律的坐标体现）；②若，，则（分配律的坐标体现）；③若与x轴平行（），则，仍与x轴平行；与y轴平行同理 3.数乘坐标运算的应用 知识点：数乘坐标运算的核心应用集中在3个高频场景，配套解题公式，可直接套用：①求数乘向量坐标：已知和，直接套用求解；②判断向量共线：已知、，若存在实数，使得，即且，则；③求点的坐标：已知向量坐标和一个点的坐标，结合数乘运算求解另一个点的坐标 易错辨析：①判断向量共线时，误将“或”当作共线条件，忽略“且”的要求（需横、纵坐标同时满足比例）；②求点的坐标时，混淆向量数乘与点坐标的关联，误将数乘向量坐标当作点的坐标；③当时，误判任意向量都与共线（零向量与任意向量共线，正确，但需注意后续运算）；④求解时，仅用一个坐标分量计算，未用另一个分量验证（如仅用横坐标求，未验证纵坐标是否满足） 重点记忆：①向量共线的坐标判定核心（高频）：、共线（由、消去推导，更简洁）；②求点坐标的关键：结合和，列方程求解；③解题思路：“坐标化+数乘公式”，将向量转化为坐标，套用数乘公式，结合共线条件或点坐标关联式解题；④验证技巧：求解后，将代入横、纵坐标，验证是否均满足数乘关系 常考结论：①向量共线坐标推论：若、共线，且、，则；②若，且，则存在唯一实数，使得（坐标形式下的共线定理）；③三点A、B、C共线的坐标判定：，即（为横坐标，其余同理） 二、6.3.5平面向量数量积的坐标表示 1.平面向量数量积的坐标公式（核心运算考点） 知识点：设平面向量、，则向量与的数量积的坐标表示为：；本质是将两个向量的横坐标相乘、纵坐标相乘，再将两个乘积相加，结果为实数（标量），无方向 易错辨析：①数量积坐标运算时，误将横、纵坐标交叉相乘再相加，如将误算为（混淆与向量共线条件）；②误将数量积结果当作向量，给结果加坐标括号，如将写成；③运算时漏加一个乘积项，如只算或只算，忽略“相加”步骤；④混淆数量积与加减、数乘坐标运算，误将算成或 重点记忆：①数量积坐标运算口诀：“横乘横，纵乘纵，加起来”（精准记忆，避免交叉相乘）；②核心特征：结果是实数，不是向量，运算时无需考虑向量方向，直接套用公式；③特殊向量的数量积：零向量，则；标准基底、，则、、；④运算顺序：先确定两个向量的坐标→横乘横、纵乘纵→两个乘积相加→得出实数结果 常考结论：①向量自乘的坐标公式（求模长核心）：，故；②若，则；③数量积的正负判定：，， 2.平面向量垂直的坐标表示 知识点：由数量积的性质可知，两个非零向量、垂直的充要条件是它们的数量积为0，转化为坐标表示为：；若其中一个向量为零向量，则零向量与任意向量垂直（无需用坐标条件判定） 易错辨析：①忽略“非零向量”前提，误将直接判定为（零向量与任意向量数量积为0，但需明确说明零向量的情况）；②混淆向量垂直与共线的坐标条件，误将当作垂直条件；③判定垂直时，误将数量积坐标公式写反，如用判定垂直；④当时，误判只有才与垂直（实际任意向量都与零向量垂直） 重点记忆：①垂直坐标判定核心公式：（非零向量），可直接套用，无需结合夹角公式；②零向量的特殊说明：零向量与任意向量垂直，解题时需单独考虑（若题干明确非零向量，可直接用坐标条件）；③解题步骤：判定两向量是否为非零向量→计算→若结果为0，则垂直，否则不垂直；④常见垂直向量示例：与垂直（代入公式验证：） 常考结论：①若，则（坐标形式可验证：，因，故等于，与相等）；②若，则（唯一满足自身垂直的向量）；③若，，则（非零向量前提下，垂直于同一向量的两个向量共线） 3.平面向量夹角的坐标表示 知识点：设两个非零向量、，它们的夹角为（），结合数量积的定义，可推导夹角的坐标公式：；通过该公式可求出，进而确定夹角 易错辨析：①求夹角时，忽略“非零向量”前提，直接套用公式（零向量夹角无意义）；②公式记忆错误，误将分子分母颠倒，如写成；③计算时，漏算模长的平方根，如将算成；④由求时，忽略夹角范围，误将钝角当作锐角（如，，而非） 重点记忆：①夹角坐标公式核心：分子是数量积坐标结果，分母是两个向量模长的乘积；②求夹角的完整步骤：1.判定两向量为非零向量；2.计算；3.计算、；4.代入公式求；5.根据和夹角范围，确定；③锐角、钝角的补充判定（高频）：锐角且与不共线；钝角且与不共线；④特殊夹角：（同向）；（反向）；（垂直） 常考结论：①若、为单位向量（），则（简化夹角计算）；②若，则（垂直）；若，则（同向）；若，则（反向）；③夹角范围与的对应关系：时，；时，；时， 4.数量积坐标运算的综合应用 知识点：数量积坐标运算的综合应用集中在4个高频场景，配套解题公式，可直接套用：①求向量模长：、；②求两向量夹角：套用；③判断两向量垂直：验证（非零向量）；④求参数值：已知向量垂直、共线或夹角，列方程求解参数（如） 易错辨析：①求时，误将公式写为，漏算中间项和；②求参数时，忽略向量非零的前提，导致参数取值范围出错；③综合运算时，混淆数量积、数乘、加减的坐标公式，导致运算连锁错误；④由夹角求参数时，未结合的取值范围，忽略增根（如钝角时，，需排除共线反向情况） 重点记忆：①综合解题核心：“坐标化+公式套用”，将所有向量转化为坐标形式，根据题型需求，灵活选用数量积、模长、夹角、垂直的坐标公式；②求参数的关键：根据题干条件（垂直、共线、夹角）列出关于参数的方程，结合向量非零、夹角范围等限制条件，求解参数并验证；③模长运算技巧：当已知时，可利用简化计算；④易错点规避：运算前先明确向量是否为非零向量，运算中牢记各公式的区别，运算后验证结果是否符合题干限制条件 常考结论：①平方展开公式（高频化简）：；；②平方差公式：；③若、，且（），则，即（不能直接得出） 三、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.数乘坐标：漏乘一个坐标分量，混淆与加减运算，零向量数乘出错；2.数量积坐标：交叉相乘、漏加乘积项，误将结果当作向量，混淆与共线条件；3.垂直与夹角：忽略非零向量前提，夹角公式记忆错误，漏算模长平方根，误判夹角范围；4.综合应用：漏算模长平方展开的中间项，求参数时忽略限制条件，运算公式混淆 核心公式汇总：1.数乘坐标公式：（）；2.数乘模长公式：；3.向量共线坐标条件：（、）；4.数量积坐标公式：；5.向量模长公式：、；6.垂直坐标条件：（非零向量）；7.夹角坐标公式： 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：向量共线求参数】 （25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ．经典例题1例题 （25-26高二上·云南文山·期末）已知平面向量，若，则 ．经典例题2例题 （25-26高三上·宁夏银川·期末）已知向量，，且，则（    ）．小试牛刀1 A． B． C． D．3 （25-26高三上·黑龙江·期末）已知向量，，，则（   ）小试牛刀2 A．3 B．2 C． D． （2026·云南昭通·模拟预测）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 .小试牛刀3 【题型2：坐标运算解决三点共线的问题】 （25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.经典例题1例题 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. （25-26高二上·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ）经典例题2例题 A． B．49 C．21 D． （25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三点共线，则的值为（     ）小试牛刀3 A．3 B．4 C．5 D．6 【题型3：坐标运算解决长度与平行问题】 （24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点.经典例题1例题 (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 （24-25高三上·河南·月考）在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一下·山东潍坊·月考）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线.小试牛刀1 (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. （23-24高一下·山东淄博·月考）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 .小试牛刀2 （2023·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：数量积的坐标表示】 （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知，则在上的投影向量为 .经典例题1例题 （25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知点是轴上的两个动点，且，则的最小值为 .经典例题2例题 （25-26高三上·广西崇左·期末）设向量，，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．13 B．5 C．8 D．10 （25-26高二上·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·月考）已知，向量，则（   ）小试牛刀3 A．6 B．5 C．4 D．3 【题型5：模的坐标表示】 （25-26高一上·北京西城·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·辽宁·期末）设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则 .经典例题2例题 【多选题】（25-26高二上·河北保定·月考）为坐标原点，点，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽·期中）已知向量，，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C．1 D． （2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D． 【题型6：垂直的坐标表示】 （25-26高三上·河北沧州·月考）已知向量，，若，则实数（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．－2 D．－1 （2026·重庆·模拟预测）若向量，则 .经典例题2例题 （25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ）小试牛刀1 A． B．5 C． D．8 （25-26高二上·广东深圳·期末）已知向量，若向量与垂直，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 （2026·重庆九龙坡·一模）已知平面向量，若，则=（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：夹角坐标表示】 （25-26高三上·福建·月考）若向量，记，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高三上·上海徐汇·月考）已知，，若，则实数x的取值范围为 .经典例题2例题 （2026高二上·辽宁·学业考试）已知向量，．小试牛刀1 (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． （2025·广东·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则 .小试牛刀2 （25-26高三上·重庆·月考）已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则 .小试牛刀3 【题型8：向量的坐标综合问题】 【多选题】（25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知向量，则下列结论正确的是（   ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【多选题】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，，，，且，则（    ）经典例题2例题 A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 【多选题】（25-26高三上·江西南昌·月考）已知平面向量满足， 且的最小值为，则下列选项正确的是（ ）小试牛刀1 A．的取值范围是 B． C． D．在上的投影向量的模长最大值为2 【多选题】（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（ ）小试牛刀2 A． B．的单位向量为 C．若，则实数的值为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【多选题】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）设向量，则下列说法错误的是（    ）小试牛刀3 A．若与的夹角小于，则 B．的最小值为 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．时，在上的投影向量为 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·北京·月考）已知向量，，若，则等于（   ） A． B．2 C．4 D． 2．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·月考）已知，若与的夹角为，则（    ） A．10 B． C．15 D． 4．（25-26高三上·江苏·月考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·广东东莞·月考）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高三上·福建泉州·月考）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏·月考）在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量，在上的投影向量相等，则 的值是（    ） A．0 B． C． D．3 9．（25-26高三上·天津·月考）平面向量，，，其中，则下列正确的是（   ） ①        ②若，则 ③        ④若，则 A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 二、多选题 10．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 11．（24-25高一下·新疆哈密·期末）下列四个命题为真命题的是（    ） A．若向量，，则与反向共线 B．向量在上的投影向量为 C．与向量共线的单位向量为 D．已知向量，，则的最大值为 12．（25-26高三上·重庆·月考）已知非零向量，其中向量夹角为θ，定义运算：，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，，则 C． D．若，则的最小值为4 三、填空题 13．（25-26高三上·天津蓟州·月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 14．（25-26高二上·广东佛山·月考）平面上三点，，共线，则 . 15．（24-25高一下·北京通州·期末）在中，，，点在线段上，若，则 ；若，当取得最小值时， . 四、解答题 16．（24-25高一下·天津静海·月考）已知. (1)当k为何值时，与共线； (2)若，且三点共线，求m的值以及. 17．（25-26高一上·山东日照·月考）平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 18．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年寒假高一数学下学期常考题型归纳 【6.3.4-6.3.5·平面向量数乘运算的坐标表示与平面向量数量积的坐标表示】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 一、6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 1.平面向量数乘运算的坐标公式（核心运算考点） 知识点：设平面向量，为任意实数，则实数与向量的数乘运算的坐标表示为：；本质是将向量的横、纵坐标分别与实数相乘，得到数乘向量的坐标 易错辨析：①数乘坐标运算时，误将只与横坐标相乘或只与纵坐标相乘，如将误算为或；②混淆数乘坐标运算与加减坐标运算，误将算成；③当时，误将算成或，实际应为；④书写不规范，漏写括号或逗号，如将写成 重点记忆：①数乘坐标运算口诀：“实数乘坐标，横纵各相乘”（简单易记，适配快速运算）；②运算核心：无需考虑向量方向，直接将实数与向量的横、纵坐标分别相乘，结果仍为向量坐标；③特殊情况：当时，；当时，（与相反向量坐标一致）；④运算顺序：先确定向量坐标，再将横、纵坐标分别乘，最后写出数乘向量坐标 常考结论：①若，则（数乘向量模长公式，高频考点）；②若，则与共线（坐标形式下共线的直观体现）；③若，则必有或（双向成立） 2.数乘坐标运算的几何意义 知识点：平面向量数乘运算的坐标表示，几何意义与数乘的基本几何意义一致，即对向量进行“伸缩+转向”变换：①当时，与同向，横、纵坐标同时扩大或缩小为原来的倍；②当时，与反向，横、纵坐标同时扩大或缩小为原来的倍，且符号相反；③当时，向量长度不变，仅方向可能改变 易错辨析：①误认为“数乘坐标变换只改变向量长度，不改变坐标符号”，忽略时横、纵坐标符号会反向；②当时，误判向量被伸长，实际为缩短（伸缩倍数由决定）；③混淆“同向/反向”与坐标符号的关系，如，时，，误判为同向；④认为“数乘会改变向量的共线关系”，实际数乘不改变向量共线性 重点记忆：①坐标变换核心：的绝对值决定“伸缩倍数”，的符号决定“方向”；②符号规律：，与横、纵坐标符号一致；，横、纵坐标符号均相反；③几何意义与坐标的关联：通过坐标的伸缩和符号变化，直观体现向量的伸缩和转向；④若，则与的坐标成比例，即（） 常考结论：①若，为实数，则（结合律的坐标体现）；②若，，则（分配律的坐标体现）；③若与x轴平行（），则，仍与x轴平行；与y轴平行同理 3.数乘坐标运算的应用 知识点：数乘坐标运算的核心应用集中在3个高频场景，配套解题公式，可直接套用：①求数乘向量坐标：已知和，直接套用求解；②判断向量共线：已知、，若存在实数，使得，即且，则；③求点的坐标：已知向量坐标和一个点的坐标，结合数乘运算求解另一个点的坐标 易错辨析：①判断向量共线时，误将“或”当作共线条件，忽略“且”的要求（需横、纵坐标同时满足比例）；②求点的坐标时，混淆向量数乘与点坐标的关联，误将数乘向量坐标当作点的坐标；③当时，误判任意向量都与共线（零向量与任意向量共线，正确，但需注意后续运算）；④求解时，仅用一个坐标分量计算，未用另一个分量验证（如仅用横坐标求，未验证纵坐标是否满足） 重点记忆：①向量共线的坐标判定核心（高频）：、共线（由、消去推导，更简洁）；②求点坐标的关键：结合和，列方程求解；③解题思路：“坐标化+数乘公式”，将向量转化为坐标，套用数乘公式，结合共线条件或点坐标关联式解题；④验证技巧：求解后，将代入横、纵坐标，验证是否均满足数乘关系 常考结论：①向量共线坐标推论：若、共线，且、，则；②若，且，则存在唯一实数，使得（坐标形式下的共线定理）；③三点A、B、C共线的坐标判定：，即（为横坐标，其余同理） 二、6.3.5平面向量数量积的坐标表示 1.平面向量数量积的坐标公式（核心运算考点） 知识点：设平面向量、，则向量与的数量积的坐标表示为：；本质是将两个向量的横坐标相乘、纵坐标相乘，再将两个乘积相加，结果为实数（标量），无方向 易错辨析：①数量积坐标运算时，误将横、纵坐标交叉相乘再相加，如将误算为（混淆与向量共线条件）；②误将数量积结果当作向量，给结果加坐标括号，如将写成；③运算时漏加一个乘积项，如只算或只算，忽略“相加”步骤；④混淆数量积与加减、数乘坐标运算，误将算成或 重点记忆：①数量积坐标运算口诀：“横乘横，纵乘纵，加起来”（精准记忆，避免交叉相乘）；②核心特征：结果是实数，不是向量，运算时无需考虑向量方向，直接套用公式；③特殊向量的数量积：零向量，则；标准基底、，则、、；④运算顺序：先确定两个向量的坐标→横乘横、纵乘纵→两个乘积相加→得出实数结果 常考结论：①向量自乘的坐标公式（求模长核心）：，故；②若，则；③数量积的正负判定：，， 2.平面向量垂直的坐标表示 知识点：由数量积的性质可知，两个非零向量、垂直的充要条件是它们的数量积为0，转化为坐标表示为：；若其中一个向量为零向量，则零向量与任意向量垂直（无需用坐标条件判定） 易错辨析：①忽略“非零向量”前提，误将直接判定为（零向量与任意向量数量积为0，但需明确说明零向量的情况）；②混淆向量垂直与共线的坐标条件，误将当作垂直条件；③判定垂直时，误将数量积坐标公式写反，如用判定垂直；④当时，误判只有才与垂直（实际任意向量都与零向量垂直） 重点记忆：①垂直坐标判定核心公式：（非零向量），可直接套用，无需结合夹角公式；②零向量的特殊说明：零向量与任意向量垂直，解题时需单独考虑（若题干明确非零向量，可直接用坐标条件）；③解题步骤：判定两向量是否为非零向量→计算→若结果为0，则垂直，否则不垂直；④常见垂直向量示例：与垂直（代入公式验证：） 常考结论：①若，则（坐标形式可验证：，因，故等于，与相等）；②若，则（唯一满足自身垂直的向量）；③若，，则（非零向量前提下，垂直于同一向量的两个向量共线） 3.平面向量夹角的坐标表示 知识点：设两个非零向量、，它们的夹角为（），结合数量积的定义，可推导夹角的坐标公式：；通过该公式可求出，进而确定夹角 易错辨析：①求夹角时，忽略“非零向量”前提，直接套用公式（零向量夹角无意义）；②公式记忆错误，误将分子分母颠倒，如写成；③计算时，漏算模长的平方根，如将算成；④由求时，忽略夹角范围，误将钝角当作锐角（如，，而非） 重点记忆：①夹角坐标公式核心：分子是数量积坐标结果，分母是两个向量模长的乘积；②求夹角的完整步骤：1.判定两向量为非零向量；2.计算；3.计算、；4.代入公式求；5.根据和夹角范围，确定；③锐角、钝角的补充判定（高频）：锐角且与不共线；钝角且与不共线；④特殊夹角：（同向）；（反向）；（垂直） 常考结论：①若、为单位向量（），则（简化夹角计算）；②若，则（垂直）；若，则（同向）；若，则（反向）；③夹角范围与的对应关系：时，；时，；时， 4.数量积坐标运算的综合应用 知识点：数量积坐标运算的综合应用集中在4个高频场景，配套解题公式，可直接套用：①求向量模长：、；②求两向量夹角：套用；③判断两向量垂直：验证（非零向量）；④求参数值：已知向量垂直、共线或夹角，列方程求解参数（如） 易错辨析：①求时，误将公式写为，漏算中间项和；②求参数时，忽略向量非零的前提，导致参数取值范围出错；③综合运算时，混淆数量积、数乘、加减的坐标公式，导致运算连锁错误；④由夹角求参数时，未结合的取值范围，忽略增根（如钝角时，，需排除共线反向情况） 重点记忆：①综合解题核心：“坐标化+公式套用”，将所有向量转化为坐标形式，根据题型需求，灵活选用数量积、模长、夹角、垂直的坐标公式；②求参数的关键：根据题干条件（垂直、共线、夹角）列出关于参数的方程，结合向量非零、夹角范围等限制条件，求解参数并验证；③模长运算技巧：当已知时，可利用简化计算；④易错点规避：运算前先明确向量是否为非零向量，运算中牢记各公式的区别，运算后验证结果是否符合题干限制条件 常考结论：①平方展开公式（高频化简）：；；②平方差公式：；③若、，且（），则，即（不能直接得出） 三、高频易错+核心公式 核心易错点总览：1.数乘坐标：漏乘一个坐标分量，混淆与加减运算，零向量数乘出错；2.数量积坐标：交叉相乘、漏加乘积项，误将结果当作向量，混淆与共线条件；3.垂直与夹角：忽略非零向量前提，夹角公式记忆错误，漏算模长平方根，误判夹角范围；4.综合应用：漏算模长平方展开的中间项，求参数时忽略限制条件，运算公式混淆 核心公式汇总：1.数乘坐标公式：（）；2.数乘模长公式：；3.向量共线坐标条件：（、）；4.数量积坐标公式：；5.向量模长公式：、；6.垂直坐标条件：（非零向量）；7.夹角坐标公式： 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：向量共线求参数】 （25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ．经典例题1例题 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： （25-26高二上·云南文山·期末）已知平面向量，若，则 ．经典例题2例题 【答案】 【分析】根据平面向量共线（平行）的坐标判定，进行代入计算即可. 【详解】因为 ，，且， 所以， 则，解得：. 故答案为： （25-26高三上·宁夏银川·期末）已知向量，，且，则（    ）．小试牛刀1 A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据向量平行的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以满足，符合条件. 故选：C. （25-26高三上·黑龙江·期末）已知向量，，，则（   ）小试牛刀2 A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】运用向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以，解得， 故选：D. （2026·云南昭通·模拟预测）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则 .小试牛刀3 【答案】 【分析】先应用向量平行得出，再应用二倍角公式结合弦切转化得出， ，最后应用两角和正弦公式计算求解. 【详解】因为若不能组成平面上的一个基底，所以，所以，， 所以， ， 所以. 故答案为：. 【题型2：坐标运算解决三点共线的问题】 （25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.经典例题1例题 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可； （2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. （25-26高二上·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ）经典例题2例题 A． B．49 C．21 D． 【答案】D 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. （25-26高二上·河南驻马店·开学考试）已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题的关键是根据向量共线的坐标表示列出关于的等式，然后通过消元得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线，因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为存在实数解， 故，即， 解得或， 即或， 故选：. （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. （24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三点共线，则的值为（     ）小试牛刀3 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三点共线得出向量共线，再根据平行的坐标运算计算求参. 【详解】向量，所以， 因为三点共线，所以，所以， 则. 故选：B. 【题型3：坐标运算解决长度与平行问题】 （24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点.经典例题1例题 (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解； （2）根据三点共线和三点共线，结合共线向量的坐标公式求出点的坐标，再求出即可. 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得， 因此； （2）设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即， 又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以， 所以， 所以线段的长. （24-25高三上·河南·月考）在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，得到以为圆心，半径为的圆方程为， 设，，根据，求得，进而得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为，，可得， 以为圆心作半径为1的圆，可得圆的方程为， 由点在圆上，可得设点的坐标为， 因为，可得， 可得，所以， 所以 ，其中， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. （24-25高一下·山东潍坊·月考）已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线.小试牛刀1 (1)求实数的值； (2)若，，求； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量加法得到，由于三点共线，则存在实数，使得，然后建立方程求得； （2）由（1）写出，然后由得到向量坐标，由坐标求得模长； （3）由（2）得到，坐标，由得到坐标，设点坐标得到点坐标，即可得到坐标，由平行四边形得到，建立方程解出点坐标. 【详解】（1）， 当三点共线时，存在实数，使得， 即， 即，解得. （2）由（1）可知， ∴， ∴. （3），， ∴， 设，∴， ∴， 在平行四边形中，，即，解得， ∴. （23-24高一下·山东淄博·月考）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 .小试牛刀2 【答案】 【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案. 【详解】解：∵在梯形中，，，，，． ∴．设点D的坐标为． 则，． ∴，即， ∴解得故点的坐标为． 故答案为：． （2023·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，代入求解即可. 【详解】在梯形中，，所以， 所以. 故选：C 【题型4：数量积的坐标表示】 （25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知，则在上的投影向量为 .经典例题1例题 【答案】或者写为 【分析】利用向量的数量积坐标运算，结合投影向量的定义来进行求解即可. 【详解】由可得， 又因为，所以， 则在上的投影向量为， 或者表示为： 故答案为：或者写为 （25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系中，已知点是轴上的两个动点，且，则的最小值为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】根据题意，将点位置分成在点左侧和在点右侧两种情况考虑，结合平面向量的数量积的坐标表示、二次函数的性质求解即可. 【详解】当点在点左侧时，设， 则， 所以， 则时，取得最小值为； 当点在点右侧时，设， 则， 所以， 则时，取得最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. （25-26高三上·广西崇左·期末）设向量，，则的最大值为（   ）小试牛刀1 A．13 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据向量的数量积及二倍角公式、辅助角公式化简计算即可. 【详解】 ，其中. 因为，所以，故. 故选：C （25-26高二上·广东汕头·期末）已知向量，，若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量数量积的坐标公式得，利用同角三角函数的平方关系，及二倍角公式计算即可. 【详解】易知，所以， 则，即 . 故选：D （25-26高三上·安徽·月考）已知，向量，则（   ）小试牛刀3 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据向量坐标运算法则求出，再结合倍角公式求解． 【详解】由题意知向量， 则， 故选：A. 【题型5：模的坐标表示】 （25-26高一上·北京西城·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得，设，得到，求得的坐标，根据向量的坐标运算，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由，，， 因为，可得， 即，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为，可得， 则， 可得 ， 令，可得， 则，其中， 因为， 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 所以的取值范围为. 故选：B. （25-26高一上·辽宁·期末）设A，B为平面直角坐标系xOy内两点，若，，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】本题首先运用向量的加法求出向量的坐标，根据向量模的公式求解. 【详解】由题意可得，故. 故答案为：. 【多选题】（25-26高二上·河北保定·月考）为坐标原点，点，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】选项A：利用三角函数平方关系计算和的模长，判断是否相等.选项B：通过两点间距离公式分别计算和，对比表达式是否一致.选项C：结合向量点积的坐标运算公式，再利用两角和的余弦公式，比较与的结果.选项D：通过向量点积的坐标运算，结合余弦差角公式化简，比较与的结果. 【详解】对于A、易知，A正确； 对于B、， ，B不正确； 对于C、， ，C正确； 对于D、， ，D正确. 故选：ACD （25-26高三上·安徽·期中）已知向量，，若，则（    ）小试牛刀2 A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由向量的坐标运算及模长公式求得，即可求解. 【详解】， 由题意：， 所以. 故选：C. （2026·四川雅安·一模）已知平面向量与的夹角为，，则（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由条件求出，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由题意，，，与的夹角为， 故， 则. 故选：C. 【题型6：垂直的坐标表示】 （25-26高三上·河北沧州·月考）已知向量，，若，则实数（    ）经典例题1例题 A．1 B．2 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】由已知得， 因为 ， 所以，解得， 故选：B． （2026·重庆·模拟预测）若向量，则 .经典例题2例题 【答案】 【分析】由向量垂直得数量积为0，求出，再计算即可得出结果. 【详解】因为，则， 又因为， 所以，解得. 所以，， 故答案为：. （25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ）小试牛刀1 A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. （25-26高二上·广东深圳·期末）已知向量，若向量与垂直，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先求出向量，再由向量垂直的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意向量， 因为向量与垂直， 所以. 故选：B （2026·重庆九龙坡·一模）已知平面向量，若，则=（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，可得，的坐标，根据向量垂直坐标的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：D 【题型7：夹角坐标表示】 （25-26高三上·福建·月考）若向量，记，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得，再由二倍角余弦公式求值. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故选：C. （25-26高三上·上海徐汇·月考）已知，，若，则实数x的取值范围为 .经典例题2例题 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故答案为： （2026高二上·辽宁·学业考试）已知向量，．小试牛刀1 (1)求； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的坐标公式求解； （2）利用数量积求解. 【详解】（1）因为，，所以． 所以． （2）因为， ， ， 所以． （2025·广东·模拟预测）已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则 .小试牛刀2 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，直接计算向量的夹角的余弦值. 【详解】以的起点为坐标原点，小正方形的边长为1个单位长度建立直角坐标系，如图： 则，，， 所以，， ，. 所以. 故答案为：. （25-26高三上·重庆·月考）已知平面向量，向量与夹角的余弦值为，且，为实数，则 .小试牛刀3 【答案】 【分析】根据已知及向量夹角、垂直的坐标表示得、，即可得. 【详解】由夹角公式， 又， . 故答案为： 【题型8：向量的坐标综合问题】 【多选题】（25-26高三上·贵州六盘水·月考）已知向量，则下列结论正确的是（   ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据平面向量的坐标运算可判断A，根据两向量垂直的坐标表示可判断B，根据模长的坐标表示可判断C，根据两向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B错误； 对于C，，解得，故C正确； 对于D，因为，所以，解得，故D错误； 故选：AC. 【多选题】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，，，，且，则（    ）经典例题2例题 A．与的夹角为 B．在上的投影向量为 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量夹角余弦公式计算求解判断A，应用投影向量公式计算判断B，应用向量垂直及平行的坐标公式计算求解判断C，应用模长坐标公式计算判断D. 【详解】，与的夹角为， 所以A正确； 因为在上的投影向量为，所以B正确； 由且，得， 解得或，则或，所以C不正确； 当时，， 当时，，故D正确. 故选：ABD. 【多选题】（25-26高三上·江西南昌·月考）已知平面向量满足， 且的最小值为，则下列选项正确的是（ ）小试牛刀1 A．的取值范围是 B． C． D．在上的投影向量的模长最大值为2 【答案】AD 【分析】对于A，可由入手，利用的范围即可解决；对于B，由入手，可将看作关于的二次函数，根据在上有最小值的条件即可求出，进而求出；对于C，可利用三角形不等式求解即可判断；对于D，结合向量的几何意义可以判断. 【详解】对于A，因为 所以 即，即. 则，故A正确； 对于B，因为， 所以令，， 又因为的最小值为，所以， 所以，则， 因为，所以或，故B错误； 对于 C ，因为， 其中或 所以 或，故C错误； 对于 D ，设，且，分别为在上的投影向量， 当时，结合图形（图1）可知，当同向共线时，有最大值； 当时，结合图形（图2）可知，当反向共线时，有最大值； 而；故D正确. 故选：AD 【多选题】（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知向量，则下列结论正确的是（ ）小试牛刀2 A． B．的单位向量为 C．若，则实数的值为 D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】AC 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量共线的坐标表示列方程求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量，故B错误； 对于C，因，则， ，由可得， 解得，故C正确； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误. 故选：AC. 【多选题】（25-26高三上·黑龙江佳木斯·月考）设向量，则下列说法错误的是（    ）小试牛刀3 A．若与的夹角小于，则 B．的最小值为 C．与共线的单位向量只有一个，为 D．时，在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】结合向量的夹角、模长、共线单位向量、投影向量等知识点，逐一分析每个选项. 【详解】选项A，若与的夹角小于， 则，即，因此A正确； 选项B，向量的模长， 因为，所以当时，取得最小值， 因此B错误； 选项C，与共线的单位向量包括同向和反向两种情况，因此C错误； 选项D，当时，，计算在上的投影向量为， 点积， ， 因此投影向量为，而非，因此D错误. 故选：BCD 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·北京·月考）已知向量，，若，则等于（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示列式计算得解. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：D 2．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26高三上·广东·月考）已知，若与的夹角为，则（    ） A．10 B． C．15 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积定义及乘法分配律，结合模长坐标运算公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，与的夹角为， 所以， 则. 故选：B 4．（25-26高三上·江苏·月考）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量垂直求出m，再根据向量数量积公式求出两向量夹角的余弦，从而确定夹角的大小． 【详解】已知，则， ∵，∴，解得， ∴． ∴，， ∴ ， ∵，∴． 故选：C． 5．（25-26高三上·江西·月考）已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，建立平面直角坐标系，设和，利用向量的数量积的坐标运算公式，得到，即可求解. 【详解】以点为原点，以和所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，设，， 可得，则． 故选C． 6．（22-23高一下·广东东莞·月考）已知向量，则与共线的单位向量为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求向量模长，再分两种情况求单位向量即可. 【详解】, 则与共线的单位向量为或. 故选:D. 7．（25-26高三上·福建泉州·月考）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可． 【详解】由，，可得， ，且， 则，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故选：D. 8．（25-26高三上·江苏·月考）在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量，在上的投影向量相等，则 的值是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标表示，代入投影向量公式，即可求解. 【详解】，，， 由条件可知， 所以，即，即. 故选：A 9．（25-26高三上·天津·月考）平面向量，，，其中，则下列正确的是（   ） ①        ②若，则 ③        ④若，则 A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据向量坐标运算及三角恒等变换逐项判断即可得到答案. 【详解】对于①， 因为，所以. 同理，， ，①正确； 对于②，由，两边平方得. 因为，所以，即. 当时，，不满足等式，故②不正确； 对于③， ，， 由和差化积公式得， 所以，③正确； 对于④，由得. 结合③的结论得，，因为为非零向量，故， 所以又，所以，故④正确. 综上，①③④正确. 故选：D. 二、多选题 10．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【答案】ABD 【分析】对于A，计算数量积是否为零，即可得；对B，借助模长公式计算即可得；对C，与向量平行的单位向量有、；对D，夹角公式计算即可得. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 11．（24-25高一下·新疆哈密·期末）下列四个命题为真命题的是（    ） A．若向量，，则与反向共线 B．向量在上的投影向量为 C．与向量共线的单位向量为 D．已知向量，，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据向量数乘的坐标运算及平面向量共线定理即可判断；对于B，根据投影向量的计算公式直接求解即可；对于C，与向量共线的单位向量有同向和反向两种情况，直接判断；对于D，利用向量减法、向量模长及辅助角公式即可求解. 【详解】对于A，因为，所以与反向共线，故A正确； 对于B，向量在上的投影向量为，故B正确； 对于C，与向量共线的单位向量为或，故C不正确； 对于D，若向量，， 则 ， 其中， 当且仅当时，取得最大值，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26高三上·重庆·月考）已知非零向量，其中向量夹角为θ，定义运算：，若，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，，则 C． D．若，则的最小值为4 【答案】CD 【分析】对于A，举反例均为单位向量，且两两夹角为，结合运算的定义即可；对于B、C求出，即可得出，再结合运算的定义即可；对于D，结合运算的定义求出， ，最后利用基本不等式即可求出. 【详解】对于A，若均为单位向量，且两两夹角为，则与反向， 则， ，， 此时不满足，故A错误； 对于B，若，，则， 因，则， 则，故B错误； 对于C，若，则， 因，则， 则， 故C正确； 对于D，因， 则， 因，则，则， 则， 等号成立时， 则的最小值为，故D正确. 故选：CD 三、填空题 13．（25-26高三上·天津蓟州·月考）已知向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·广东佛山·月考）平面上三点，，共线，则 . 【答案】 【分析】转换为向量共线，列方程即可求解. 【详解】由题意，平面上三点，，共线， 所以，解得. 故答案为：. 15．（24-25高一下·北京通州·期末）在中，，，点在线段上，若，则 ；若，当取得最小值时， . 【答案】 3 【分析】第一空，根据P为的中点，确定，利用数量积定义即可额求得答案；第二空，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求得取得最小值时P点坐标，结合即可求得答案. 【详解】由题意知为等腰三角形，，， 当时，P为的中点，则，则， 则； 若，则以的中点为坐标原点O，以为x轴建立平面直角坐标系，    则，设, 则， 当时，取最小值，符合题意， 又，即， 则， 故答案为：3； 四、解答题 16．（24-25高一下·天津静海·月考）已知. (1)当k为何值时，与共线； (2)若，且三点共线，求m的值以及. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量共线的坐标表示，及模长的坐标公式计算即可. 【详解】（1）易知，所以， 即时，与共线； （2）易知，由三点共线得， 17．（25-26高一上·山东日照·月考）平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示列方程组求解即可； （2）利用向量共线的充要条件列方程求解. 【详解】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 18．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点. (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示，以及向量数量积的坐标表示，求出的函数解析式，根据参数范围，求出结果； （2）根据向量垂直的性质，以及向量数量积的坐标表示，列出方程，根据判别式，说明是否有解. 【详解】（1） 如图所示，因为点是的中点，所以， 则， 可知， 则，因为，所以； （2）由（1）可得，， 所以， 当时，可知，即， 化简得，可知，所以方程无解， 即不存在实数，使得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $