专题06 二次函数与几何综合（4大题型6难点1新考法2易错，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单聚焦“二次函数与几何综合”专题，系统整合线段问题、面积问题、三角形存在性问题、四边形存在性问题四大核心题型，构建从基础求解到综合应用的完整复习框架。 清单以“题型-难点-考法-易错”四维结构呈现知识体系，如将“斜线段利用锐角三角函数转化”“已知斜边的直角三角形构造相似”等6大难点分级标注，结合“新定义型阅读理解题”新考法和“等腰三角形边不确定分类讨论”等易错点提示，培养学生的推理能力与模型意识。设计“中考母题溯源”与“模拟闯关”模块，母题示例拆解解题方法，变式题强化迁移应用，助力学生自主构建解题思路，为教师教学提供精准复习抓手。

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06二次函数与几何综合 (4大题型6难点1新考法2易错，题型清单) 01 题型盘点·中考全景扫描 题型一：线段问题 题型三：三角形存在性问题 难点01：涉及斜线段利用锐角三角函数转化求解 易错点01：等腰三角形边不确定时需分类讨论 难点02：涉及线段比例关系利用相似转化求解 难点O6:已知斜边的直角三角形可构造相似三角形 难点03：利用二次函数性质求线段最值 题型四：四边形存在性问题 新考法01：新定义型阅读理解题 易错点02：平行四边形顶点不确定时需分类讨论 题型二：面积问题 难点04：利用二次函数性质求图形面积最值 难点05：转化面积之间的关系求解 题型突破·解题技巧攻坚 题型一：线段问题 解®大招火 第一步：设点坐标及坐标表示 1.若点P在x轴上，设P(t,0),若点P在y轴上，设P(0,t),若点P在直线y=kx+b上，设 P(t,kt+b),若点P在抛物线y=ax2+bx+c上，设P(t,at2+bt+c): 2.若AB⊥x轴，则x,=xB,若AB⊥y轴，则yA=y,若A(xA,yA),B(xB,yB),则线段AB的中 点坐标为”， )； 第二步：表示线段长 设A(xA,yA),B(xByB),若ABx轴，如图①，则AB=1x1-xBI;若AB小轴，如图②，则 AB=1 Ya-Yal;若AB与坐标轴不平行，如图③，则AB=(xAxB)+(yAyB广； A(x,y) B(x8,ya) x-x。 ly-yal A(.y)B(xs,ya) ∠ ily-Ya ·B(xa,ya A(x y) 0 图① 图② 图③ 第三步：根据线段长度或者数量关系列方程求解 【中考母题溯源·学方法】 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例1】(2025·四川德阳.中考真题)如图1，在平面直角坐标系中，己知二次函数y=-x2+bx+c的图象 与x轴交于点A-1,0,B(3,0),与y轴交于点C. B A B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的函数解析式： (2)如图2，连接BC,过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D. ①求点D的坐标； ②如图3，点E,F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF=√2，连接OF,DE.求 OF+DE的最小值， 【详解】(1)解：：A-1,0),B(3,0)在二次函数y=-x2+bx+c的图象上，设该二次函数为 y=-(x-x)(x-x2), y=-x+1(x-3, ∴y=-x2+2x+3. (2)解：①把x=0代入y=-x2+2x+3, 得y=3, C(0,3 如图，延长DC与x轴相交于点G. B(3,0),C0,3, B .0B=0C=3 :∠C0B=90°， .∠CB0=45°. :∠DCB=90°=∠BCG, 2 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠CGB=90°-∠CB0=90°-45°=45°. ∠GC0=180°-∠C0G-∠CGB=180°-90°-45°=45°， 0G=0C=3, G(-3,0). 设直线CG的解析式为：y=kx+m(k≠0)，把C(0,3),G(-3,0)代入， 3=m ,「k=1 得0=-3k+m 解得 (m=3 :直线CG的解析式为：y=x+3, :点D是直线CG与二次函数的交点， y=x+3 联立解析式 y=-x2+2x+31 x=0 x=1 解得 y=3或 y=4' D(1,4. ②如图，过点O作OH∥EF,且OH=EF=√2，连接HE,DH,设DH交x轴为点G. :OH‖EF,且OH=EF, B :四边形OFEH是平行四边形， ∴.OF=EH :∠CB0=45°， .∠B0H=45°. △OGH为等腰直角三角形， ..0G=GH, OH=EF=√2，OG2+GH2=OH2, 0G=GH=1, H(1,-1. 3 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 'DE+EH≥DH, :当DE+EH=DH时，DE+EH最小。 D(1,4,H1,-1, .DH=5 此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴， ·点F的坐标为O,3)与点C重合，满足EF在线段BC上. DE+OF的最小值为5. 【变式1-1】难点01：涉及斜线段利用锐角三角函数转化求解 (2025重庆.中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(6,0)两点，与 5 y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x= 2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q,点D,E为抛物线对称轴上的动 点E在点D的下方，且DE=4,连接BD,PE,当取待最大值时，求点P的坐标及BD女 最小值： B)在(2)中取得最大值的条件下，将抛物线)y=r+x+c沿射线BC方向平移2N2个单位长度得到抛 OO 物线y,点M为点P的对应点，点N为抛物线y上的一动点.若LNAB=LOPM-45°，请直接写出所有 符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程. 【鲜解】①程：设轮物线的解折式为)-(+6。 把(6,0)代入得49+k=0, 4 4 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得k-49 49=X-5x-6: (2)解：令x=0,则y=6, 点C的坐标为(0，-6)， 设直线BC的解析式为y=mx+n,把(6,0)和0，-6代入得： 6m+n=0 n=6，解得 m=1 n=-6' .y=x-6, 设点P的坐标为x,x2-5x-6,过点P作PFly轴交BC于点F,交x轴于点H, 则点F的坐标为x,x-6, PF=x-6-x2-5x-6=-x2+6x, :PFly轴， ∴∠PFQ=∠OCQ,∠FPQ=∠COQ, .△PFAO0C, 8%-8+6-名-+号 000c6 当x=3时， 取得最大值为号，这时点P的坐标为3，-12， 00 把点P向上平移4个单位长度得到点G,点G的坐标为(3，-8)，连接GD, 则四边形DEPG是平行四边形， ∴DG=PE, 即BD+PE=BD+DG, 由4，B关于x-对称性可得点4的坐标为-10。 连接AG,则BD+PE=BD+DG的最小值为AG长， 即AG=VAH2+HG2=V42+82=45, 即BD+PE的最小值为4√5： 5 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (3)解：AB=AC=6, ∴∠ABC=∠ACB=45°， :将抛物线y=x2+bx+c沿射线BC方向平移2√2个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单 位长度得到抛物线y,即y=(c-+2y-9-2=-x-14, 4 过点P作PQ⊥y轴于点Q,过点N作NK⊥x轴于点K,连接PM, 设点N的坐标为a,a2-a-14), 由平移得∠QPM=45°， :.∠NAB=∠OPM-45°=∠OPQ+∠QPM-45°=∠OPQ=∠POB, 如图所示，：tan∠NAB=tan∠OPQ, 即2-a-a-14 3- ,解得a=-5(舍去)或a=2, a-(-1 这时点N的坐标为(2，-12； 如图所示，则：tan∠NAB=tan∠OPQ, 6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 12a2-a-14 即3 a-(-1）' 解得a=5+97或a=5-7 2 2 (舍去) 5+V9 这时点N的坐标为 2 ,14+297 综上所述，点N的坐标为2，-12)或 5+97,14+27 2 N B X 【变式1-2】难点02：涉及线段比例关系利用相似转化求解 (2025:湖北一模)已知抛物线y=ar2-x-6的对称轴是直线x=3 B G (1)求抛物线的解析式： (2)若P(3b-3,y,),Q(2b+3,y2)分别是第一象限内抛物线上两点，且y<y2,求b的取值范围： (3)如图，抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,连接AC,BC,点G是第四象限内抛物线上一个 动点，过点G作AC的平行线，分别交x轴，y轴，BC于点D,E,F. ①求线段DG的最大值； 7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②在点G运动的过程中，是否存在点D恰好是线段EF的三等分点？若存在，请求出点F的坐标；若不存在， 请说明理由 3 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2-x-6的对称轴是直线x= 13 2a2 1 解得a=3 所以施物线的解新式为y号-一6。 3 :当x>三时，y随x的增大而增大， 令y=0,则二x2-x-6=0,解得x=-3或x=6, 3 1 .二次函数y=二x2-x-6与x轴的交点为-3,0)，(6,0)， 3 :在第一象限内，抛物线上的点的横坐标大于6，且y随x的增大而增大， :P3b-3,y,Q(2b+3,y2分别是第一象限内抛物线上两点，且y<y2, 3b-3<2b+3 13b-3>6 解得3<b<6 (3)解：①如图，过点G作GM⊥x轴于点M, :C01x轴， .∠DMG=LA0C=90°， :DG∥AC, .∠CAO=∠GDM, 8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .sin∠CA0=sin /GDM, OC MG AC DG 由(2)可知，A-3,0),B(6,0), 0A=3,0B=6, 将x=0代入二次面数y=式-x-6得：-6，即C0-6.0C=6。 AC=V0A2+0C2=3V5, MC-0c.6_25 DG AC 35 5 DG-5MG 2 :当MG的值最大时，DG的值最大， 中点G是象限内起的7一引--上个动点： :当点G为抛物线的顶点时，MG的值最大，最大值为 27_27 44’ :DG的最大值为5x27-275 248 ②设直线AC的解析式为y=kx+bk。≠0)， 将点A(-3,0,C(0,-6)代入得： -3k+b=0 ,k。=-2 b=-6 ，解得=6 .直线AC的解析式为y=-2x-6, 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)， k=1 将点B(6,0),C(0,-6)代入得： 6k+b=0 6=-6，解得 b=-6 :直线BC的解析式为y=x-6, .可设点F的坐标为F(n,n-6)(0<n<6), :DG∥AC, :可设直线DG的解析式为y=-2x+b, 将点F(n,n-6)代入得：-2n+b=n-6,解得b=3n-6, 9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :直线DG的解析式为y=-2x+3n-6, 将x=0代入函数y=-2x+3n-6得：y=3n-6,即E(0,3n-6, 如图，过点F作FJ⊥y轴于点J, E B FJ∥x轴，0J=ln-6=6-n,FJ=m=n,J(0,n-6), .EJ=3n-6-n-6=2n, :点D恰好是线段EF的三等分点， 点E位干)轴正半鞋上，且二-专-号 0E=3n-6,且3n-6>0,即n>2, 又：FJ∥x轴， ∴△E0ODm△EJF, OE DE EJ EF' 3m-6}或 3n-6_2 2n3 2n-3 解得n=1 (符合题意，且是所列分式方程的解)或n=18 5 (符合题意，且是所列分式方程的解)， n-6=18 -24或m-6=18-6=-12 6= 7 7 5 5 综上，在点G运动的过程中，存在点D恰好是线段EF的三等分点，此时点F的坐标为 1812 55/或 1824 7-7 【变式1-3】难点03：利用二次函数性质求线段最值 (2025,安微合肥三模)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于O(0,0),A(6,0)点，顶点为B. 10 专题06 二次函数与几何综合 （4大题型6难点1新考法2易错，题型清单） 题型一：线段问题 难点01：涉及斜线段利用锐角三角函数转化求解 难点02：涉及线段比例关系利用相似转化求解 难点03：利用二次函数性质求线段最值 新考法01：新定义型阅读理解题 题型二：面积问题 难点04：利用二次函数性质求图形面积最值 难点05：转化面积之间的关系求解 题型三：三角形存在性问题 易错点01：等腰三角形边不确定时需分类讨论 难点06：已知斜边的直角三角形可构造相似三角形 题型四：四边形存在性问题 易错点02：平行四边形顶点不确定时需分类讨论 题型一：线段问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【变式1-1】难点01：涉及斜线段利用锐角三角函数转化求解 （2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【变式1-2】难点02：涉及线段比例关系利用相似转化求解 （2025·湖北·一模）已知抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若，分别是第一象限内抛物线上两点，且，求的取值范围； (3)如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，点G是第四象限内抛物线上一个动点，过点作的平行线，分别交x轴，y轴，于点D，E，F． ①求线段的最大值； ②在点运动的过程中，是否存在点恰好是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】难点03：利用二次函数性质求线段最值 （2025·安徽合肥·三模）已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求该抛物线的解析式． (2)如图，点坐标，为抛物线对称轴上一动点，过点的直线平行轴交抛物线于、两点（点在点的左侧）． ①若，求点坐标； ②若以为边构造矩形（、在线段、上），求该矩形周长的最大值． 【变式1-4】新考法01：新定义型阅读理解题 （2025·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，都是“平衡点”． (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标． (3)在（）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围． (4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、两点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点． (1)若． ①求抛物线的解析式； ②求线段长度的最大值； ③若，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． (2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由． 2．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与轴交于两点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标； (3)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·天津·一模）已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴相交于点C，点． (1)若已知． ①求抛物线的顶点坐标； ②若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段轴，交直线于点F，当线段取得最大值时，求此时点P的坐标； (2)若取线段的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段，得到线段，求的最小值，并求此时点的坐标． 4．（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数，若该二次函数图像与x轴交于点、，与y轴交于点． (1)求该二次函数解析式； (2)点P为二次函数图像位于第一象限上一点，连接相交于点D，求的最大值． (3)若时，总满足，求t的取值范围． 5．（2025·贵州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)请至少写出两个有别于的抛物线的表达式，使其图像也过A、B两点，且对称轴与抛物线的对称轴一样；并说说它们的表达式有何共同特征； (3)直线与抛物线交于E，F两点，若线段的长度为5，请求出m的值． 6．（2026·湖北·模拟预测）新定义：已知y是x的函数，若函数图象上存在一点，则称点为函数图象上的“美点”，例如：直线上存在的“美点”是． (1)求抛物线上存在的“美点”； (2)若抛物线上存在两个“美点”，两个“美点”之间的距离为，求k的值； (3)若关于x的二次函数的图象上存在唯一的“美点”，且，连接，构成．是边的中点，现将点绕着点按逆时针方向旋转（）角度得到点，若点落在中位线所在直线上，直接写出点到的距离． 题型二：面积问题 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等。 第二步：根据点坐标表示出线段长。 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“分割法”和“补形法”求解。 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【变式2-2】难点04：利用二次函数性质求图形面积最值 20．（2025·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 (1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式； (2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值； (3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围． 【变式2-3】难点05：转化面积之间的关系求解 （2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点P是抛物线在第四象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点E．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2026·广东中山·模拟预测）学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线与抛物线交于两点．点为抛物线上的动点，过点且平行于轴的直线交直线于点．当点在直线下方时，连接得到．当面积最大时，点在什么位置？ (1)数学兴趣小组成员很快就求出点的坐标，请你也求出点的坐标． (2)机智的小涛同学通过计算发现，当面积最大时，点与线段有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论． (3)爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当面积取最大值时，动点的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论． 2．（2026·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点，抛物线的顶点为． (1)直接写出点的坐标，并用含的代数式表示顶点的坐标； (2)将该抛物线平移得到新抛物线，所得新抛物线的最高点是，且与轴的交点为，连接、，如果的面积为6，求的值； (3)当点的坐标为时，如果点在抛物线上，且，求点的坐标． 3．（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标； (3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值． 4．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)如图①，过点B作，交抛物线于另一点D，求点D的坐标； (3)如图②，P是x轴正半轴上一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线于点E，连接，设点P的横坐标为m，的面积为S． （Ⅰ）求S关于m的函数解析式； （Ⅱ）若当时，S有最大值为，请直接写出实数t的取值范围． 5．（2025·天津·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 6．（2025·安徽淮南·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（，，为常数，且）与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)已知横坐标分别为，的两个动点，均在线段上（不包括端点，），且，求的最小值； (3)若是第四象限内抛物线上的一点，横坐标为，过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，当时，求的值． 题型三：三角形存在性问题 1.等腰三角形存在性问题 2.直角三角形存在性问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3-1】（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】易错点01：等腰三角形边不确定时需分类讨论 （2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【变式3-3】难点06：已知斜边的直角三角形可构造相似三角形 （2025·四川资阳·三模）如图，过点的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．且 (1)求此抛物线的解析式； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，交于点，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，连接交对称轴于点，抛物线对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 2．（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， (1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式． (2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·宁夏银川·三模）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值； (3)如图2，点N是线段上一个动点，过点N作轴，垂足为N，交于点Q，试探究点N在运动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在．请说明理由． 5．（2025·江苏扬州·三模）已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)___________，___________． (2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值． (3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标． 6．（2025·福建福州·三模）已知：抛物线． (1)求证：抛物线与轴总有两个交点； (2)若抛物线与轴的交点为均为整数，且，求出的值． (3)在第（2）问的条件下，当时，抛物线上是否存在点，使得是直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2025·广东广州·二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，一次函数经过点、、．点是直线上方二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点，连接． (1)求二次函数和一次函数的解析式； (2)当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； (3)连接，连接交于点，记面积为，面积为，在点运动的过程中，判断是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由． 8．（2025·辽宁锦州·二模）定义：在平面直角坐标系中，关于与的函数图象，当时，将函数对应的图象向上平移个单位长度，当时，将函数对应的图象向下平移个单位长度，变化后的图象所对应的函数表达式为，我们称函数为函数的“对称平移函数”，为函数的“对称平移距离”．若函数的“对称平移函数”经过原点． (1)求函数的“对称平移距离”； (2)若函数的“对称平移函数”在范围内的最大值比最小值大，求的值； (3)函数的“对称平移距离”为，它的“对称平移函数”与函数的“对称平移函数”的交点为（点在点的左侧），与轴交点为轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点. (1)求抛物线的解析式和，两点的坐标； (2)如图，若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点； ①设点的横坐标为，用含的式子表示出的长，并求出的最大值及此时点的坐标； ②过点作，交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点的横坐标的值． 题型四：四边形存在性问题 1.平行四边形的存在性问题 2.特殊平行四边形存在性问题 2.特殊平行四边形存在性问题 【中考母题溯源·学方法】 【典例4】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【变式4-1】易错点02：平行四边形顶点不确定时需分类讨论 （2025·山东东营·中考真题）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)点为对称轴上一点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)点为对称轴上一点，点为抛物线上一点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【变式4-2】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川广安·中考真题）如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 2．（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 3．（2026·上海松江·一模）在平面直角坐标系中，一条抛物线与轴交于点、点，与轴正半轴交于点，顶点为点，且． (1)求该抛物线的表达式和点的坐标； (2)是抛物线上位于第一象限内的一点，且． ①求点的坐标； ②将该抛物线向右平移，点移到点，新抛物线的顶点为，如果新抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，求平移的距离． 4．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于、两点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，过点作轴的平行线交于点，当最长时，求此时点的坐标； (3)抛物线顶点为，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026·湖南邵阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，请说明理由． 6．（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 7．（2025·内蒙古·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式； (2)连接，并将沿y轴翻折，得到四边形，是否存在点P，使得四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在点P的运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 8．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 9．（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为，．点P是抛物线上一点，其横坐标为m． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的取值范围是______； (3)设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当时，求m的取值范围； (4)已知平面内一点M的坐标为，点的坐标为，连结、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 10．（2025·广东韶关·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线是常数交于、两点，点在轴上，点在轴上．设抛物线与轴的另一个交点为点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点不与点、重合， ①如图，若点在直线上方，连接交于点，求的最大值； ②如图，若点在轴的上方，连接，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在轴上，直接写出对应的点的坐标． 11．（2025·湖北·二模）如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 12．（2025·甘肃平凉·三模）如图，抛物线交x轴于和两点，与y轴交点，D是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，连接，E是的中点，过点E作直线轴，垂足为G，交抛物线于点F，过点F作于点N，与x轴交于点M．求线段的长； (3)连接，点H为线段上一动点，点J在x轴上，在右侧作平行四边形． ①如图②，当平行四边形为菱形，且点I在抛物线上时，求点I的坐标； ②如图③，当点H为的中点时，连接，，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $