专题02 方程（组）与不等式（组）（9大题型11难点1新考法2易错，题型清单）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习知识清单系统梳理了方程（组）与不等式（组）内容，涵盖9大题型，包括一元一次方程实际应用、二元一次方程组应用、不等式组特殊解等，构建从基础问题到综合应用的递进式复习架构。 清单按题型分类呈现知识体系，标注11个难点和2个易错点，如工程问题、分式方程增根等，设计母题溯源与变式训练，培养数学思维和模型意识。通过“难点标注+易错提示”帮助学生突破薄弱点，助力自主复习，为教师提供系统教学支持。

专题02 方程（组）与不等式（组） （9大题型11难点1新考法2易错，题型清单） 题型一：一元一次方程的实际应用 购买销售问题 生产配套问题 比赛、积分问题 分段计费问题 难点01：工程问题 难点02：行程问题 题型二：二元一次方程组的实际应用 利润问题 和差倍分问题 几何图形问题 方案问题 题型三：不等式组的特殊解问题 难点03：不等式组与方程组结合，确定参数 新考法01：满足条件的结论开放题 题型四：一元一次不等式的实际应用 最多可购买多少问题 难点04：确定最优方案问题 题型五：分式方程的解 分式方程的特殊解问题 难点05：分式方程的增根问题 易错点01：分式方程的无解问题 题型六：分式方程的实际应用 行程问题 难点06：购买销售问题 难点07：工程问题 题型七：一元二次方程根的判断 难点08：结合根的情况求参数的范围 难点09：根的情况与函数的综合应用 题型八：一元二次方程根与系数的关系 难点10：利用根与系数的关系求代数式的值 题型九：一元二次方程的实际应用 变化率问题 循环问题 甬道问题 易错点02：让利顾客问题 难点11：篱笆问题 题型一：一元一次方程的实际应用 1.购买、销售问题 常见的等量关系: 售价=标价×折扣,利润=售价-进价, 销售额=商品售价×销售数量, 总费用=A 商品单价×数量+B 商品单价×数量 2.工程问题 工作量=工作效率×工作时间； 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量； 一般情况下，把总工作量设为1. 3.行程问题 路程=速度×时间； 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）； 快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 4.配套问题 识别含有"配套"含义的关键词和其中的数量关系,如"一个螺栓配两个螺母""一张桌子由1个桌面和4个桌腿组成""2个圆形铁片和1个长方形铁片可围成一个圆桶""2个大齿轮和3个小齿轮配成一套"等,根据各部分总量之比等于配套比例列方程求解. 5.比赛积分问题 常用等量关系: 答对题(胜场)的分数+答错或不答题(负场)的分数=得分; 答对题数(胜场数)+答错或不答题数(负场数)=总题数(总场数). 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选：A 【变式1-1】购买销售问题 （2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【答案】A 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 由题意得，， 解得， ∴这款风扇每台的标价为350元， 故选：A． 【变式1-2】生产配套问题 （2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得， 解得， 答：应分配名工人生产电压表． 【变式1-3】比赛、积分问题 （2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分； 根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分； 故答案为：4，1 （2）解：设参赛者答对了道题，由题意得： 解得：， 答：参赛者答对了道题 （3）解：参赛者不可能得分， 理由：假设他得了分，设他答对道题， 根据题意得：， 解得，不是正整数，所以假设不成立， 故参赛者不可能得分． 【变式1-4】分段计费问题 （2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【详解】（1）解：①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为； 故答案为：． ②解：当时，最高充电时间为（小时），此时； 当时，最高充电时间大于（小时），此时， 综上所述，． （2）解：由题意得，充电量大于， . 解得. 答：他们此次的充电量是. 【变式1-5】难点01 工程问题 （2025·陕西咸阳·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 【答案】公司的工作时间为4天 【详解】解：设公司的工作时间为天，则公司的工作时间为天， 根据题意得：， 解得：． 答：公司的工作时间为4天． 【变式1-6】难点02 行程问题 （2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行车的方式沿步道行进（视为直线），小苏步行速度为，小州骑自行车速度为． (1)小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过________小时首次追上小苏，此时两人距起点________千米． (2)若小苏提前出发15分钟（即0.25小时），小州才从起点追赶，求小州出发后多少分钟首次追上小苏？ (3)由于景区调度，小州需在距起点6千米的李公堤站或距起点8千米的东方之门站接听电话（两站点均在路径上）．若小苏提前出发10分钟（即小时），小州需选择其中一站停车通话1分钟（即小时）后再继续追赶，小州应选择哪一站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解：设小州出发后经过x小时首次追上小苏， 由题意得：， 解得：， 此时距起点千米． 故答案为：，． （2）解：设小州出发后经过x小时首次追上小苏， 由题意得：， 解得：， 小时10分钟． 答：若小苏提前出发15分钟，小州才从起点追赶，小州出发后10分钟首次追上小苏． （3）解：设金鸡湖环湖步道一圈的长度为千米， 当小州选择李公堤站通话时，如图所示： 由题意得：千米，千米， ∵小州到达李公堤站即C点的时间为：小时，停车通话时间为小时， ∴小州总用时为小时， ∵小苏提前出发小时， ∴小苏总用时为小时， ∴千米， ∴千米， ∴千米， ∴小州追上小苏需要用时为小时， 当小州选择东方之门站通话时，如图所示： ∵小州到达东方之门站即D点的时间为：小时，停车通话时间为小时， ∴小州总用时为小时， ∵小苏提前出发小时， ∴小苏总用时为小时， ∴千米， ∴千米， ∴千米， ∴小州追上小苏需要用时为小时， ∵， ∴小州选择李公堤站通话后追上小苏所用时间比选择东方之门站通话后追上小苏所用时间多小时， ∴小州应选择东方之门站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套?设生产茶杯的工人有人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设生产茶杯的工人有人，则生产茶壶的工人有人， 则一天能做个茶杯，一天能做个茶壶， 由8个茶杯和1个茶壶为一套， 则列式为， 故选：C． 3．（2025·安徽黄山·三模）某同学在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为32，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、由图形可得：，，则， 解得，故A不符合题意； B、由图形可得：，，则， 解得：，故B符合题意； C、由图形可得：，，则， 解得：，故C不符合题意； D、由图形可得：，，则， 解得：，故D不符合题意； 故选：B． 4．（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵人一组，每组个杏，则多个杏，设牧童人， ∴杏的总数：； ∵人一组，每组个杏，则多个杏． ∴杏的总数：； ∵杏的总数不变， ∴， 故选：C． 5．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 6．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 【答案】 【详解】解:依题意，得：， 故答案为：． 7．（2025·陕西西安·三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 【详解】解：设应该安排x台机器人生产上衣， 根据题意得，， 解得， （台）， ∴该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子． 8．（2025·河南·一模）用A，B两种规格的长方形纸板（如图①所示）无重合、无缝隙地拼接成如图②所示的周长为的正方形，已知A种长方形的宽为，则B种长方形纸板的面积为多少？ 【详解】解：设B种长方形的宽为，则长为，根据题意得， ， 解得， ∴B种长方形纸板的面积为：， 答：B种长方形纸板的面积为． 9．（2025·陕西咸阳·一模）月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 【详解】解：设乙组家庭植树棵，则甲组家庭植树棵， 根据题意得：， 解得． ∴． 答：甲、乙两组家庭共植树棵． 10．（2025·陕西宝鸡·一模）今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 【详解】解：设此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵， 根据题意得：， 解得：， （棵）， 答：此次植树活动中李村植树棵，则张村植树棵． 11．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 得到的新的两位数为， ，且为整数， 这个新的两位数能被9整除； （2）解：由题意， 得， 解得． 题型二：二元一次方程组的实际应用 1.和差倍分问题 抓关键字:审题时抓"多、少、大、小、几分之几"或"增加、减小、缩小"等体现等量关系的词语; 利用好等量关系式列方程组:各部分数量之和-全部数量；较大量=较小量+多余量. 2.几何图形问题 将图形的已知长度(如长方形的长或宽)拆分成各线段的和建立等量关系,列方程组求解. 3.方案问题的解题步骤 第一步：设出两个未知量 第二步：结合题目条件，找等量关系，列二元一次方程 第三步：用一个未知量表示另外一个量，根据实际意义确定两个未知量需满足的条件，如个数必须是整数等 第四步：结合实际情况罗列满足的方案 4.利润问题 总花费=进价×购进数量 总花费=甲进价×甲购进数量+乙进价×乙购进数量; 单个利润=售价-成本; 总利润=单个利润x售出数量 总利润=甲利润×甲售出数量+乙利润×乙售出数量 总利润=(甲售价-甲成本)×甲售出数量+(乙售价-乙成本)×乙售出数量. 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【答案】， 【详解】解：由题意，得方程组 ，得③ ，得． 把代入②，得 ， ． ∴这个方程组的解是 【变式2-1】利润问题 23．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 【变式2-2】和差倍分问题 27．（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【详解】解：设每辆A型卡车每次可运送物资x吨，每辆B型卡车每次可运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：每辆A型卡车每次可运送物资6吨，每辆B型卡车每次可运送物资8吨． 【变式2-3】几何图形问题 （2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 【详解】解：设每本书籍厚度为，则每本书籍的厚度为，桌子高度为， 由题意，得， 解得：， 答：每本书籍厚度为，桌子的高度为． 【变式2-4】方案问题 31．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【详解】（1）解：设，两款帆布袋的单价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ，两款帆布袋的单价分别为8元和5元； （2）解：设购买款帆布袋个，则购买款帆布袋个，设总费用为元， ， ， 随的增大而增大． 购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的， ， 且为正整数， 当时，有最小值，最小值为， 此时， 购买，两款帆布袋分别为4个和8个时，总费用最低，最低费用为72元． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·河北沧州·二模）如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得： ，解得：； 故答案为：． 2．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】1 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 3．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 【答案】 【详解】解：由题图-1可知， ， 题图-1中大正方形的边长减少1个单位， 题图-2中，边长分别为的两个小正方形重合部分是边长为1的正方形，则， ， ， ， 综上所述，， 解得， ， 故答案为：． 4．（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 【详解】解：设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元． 5．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为元、元， 由题意，得 ， 解得， 答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元． （2）解：设购买盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯盏， 由题意，得 解得，， 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 7．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 题型三：不等式组的特殊解问题 1.求不等式组的整数解及整数解的和与个数:先解不等式组,再根据解集判断求解; 2.已知不等式组有(无)解,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等式组中各不等式的解集，再根据不等式组有(无)解构造关于参数的不等式(组)求解; 3.已知不等式组的整数解个数,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等式组的解集,结合特殊解的个数，确定具体的特殊解,再列不等式(组)求解. 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 【变式3-1】难点03：不等式组与方程组结合，确定参数 （2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ，得：， 不等式整理可得：， ∴， ， 解得：． 故选：A ． 【变式3-2】新考法01：满足条件的结论开放题 （2025·宁夏银川·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 任务一：填空： （1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是________． A．整式乘法B．因式分解 （2）以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据：________． （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因：________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数作为x的值，代入求值； 【详解】任务一：填空： （1）第一步中，将转化为，这是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，属于因式分解， 故选：B． （2）第二步，是对两个分式进行通分． 通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．这里是给的分子分母同乘，使其分母和的分母相同，方便后续计算． 故答案为：二，分式的基本性质； （3）第三步开始出错． 第二步通分后得到， 同分母分式相减，分子相减应为，去括号后是，而原步骤中写成了，是去括号时符号处理错误． ∴此处错误，理由是括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“”，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二； 原式 ； 解不等式①． 解不等式②到． 所以不等式组的解集是． 因为原式分母不能为，即即，即，中且， 所以可以取． 当时，代入，得． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5， ∴该不等式组的整数解是或， ∴或， 解得或． 故选：D． 3．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 4．（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：， 则此不等式组的整数解为0，1． 又因为此不等式组的整数解均满足不等式组， 所以， 解得． 故答案为：． 5．（2025·贵州黔南·一模）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：___________；（直接写出结果） (2)已知，求的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为： （2）由题意，知，①或，② 由①，得； 由②，得该不等式组无解； 的取值范围为 6．（2025·广西·三模）（1）对于整数x，规定，例如：，求：的值． （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 【详解】解：∵， ∴， ，则； ，则； ，则； …， ； ∴ ； （2）解：解不等式，可得：； 解不等式，可得：， ∴不等式组的解集为， ∵是不等式组的整数解， ∴的值可以取； ． ∵的值可以取； ∴当时，，舍去； 当时，原式． 题型四：一元一次不等式的实际应用 1.最多可以购买多少问题 找到题中的不等关系,常考的有:数量不超过( ≤),利润不少于(≥),预算不超过(≤)等题中已知 A,8的总数量及A的数量不多于B的数量,则直接用数量表示不等关系1.题中已知 A.B的总数量、单价及花费不超过多少钱,则用数量和单价表示总花费,再列2.不等式求解. 注:计算结果需要符合实际意义,如个数不能为分数 2.方案问题 一般是先将实际问题中的不等关系抽离出来,联系实际背景,转化为求不等式的非负整数解问题,利用不等式的非负整数解的个数去确定方案的个数,进而去设计方案 【中考母题溯源·学方法】 【典例4】（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 【变式4-1】最多可购买多少问题 （2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【详解】（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵， 根据题意，得， 解得， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵； （2）解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 【变式4-2】难点04：确定最优方案问题 （2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示． (1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克； 清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克） 蛋白质（克） 16 15 脂肪（克） 8 14 (2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？ 【详解】（1）解：设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克， 根据题意，得 解，得 答：每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克． （2）设每份素炒时蔬中西兰花有克， 根据题意，得． 解，得． 所以，的最小值为110． 答：每份素炒时荒中西兰花最少有110克． 2．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 【详解】（1）解：设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元． 则， 得． 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元． （2）解：设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为袋，总费用为w元． 则， 解得， 又a为正整数， ，11，12，13，14，15． 由题意得． ， w随a的增大而增大， 时，w有最小值，最小值为（元）． 答：共有6种购买方案，最低费用为900元． 3．（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 4．（2025·云南玉溪·三模）随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 【详解】（1）解：设每个哪吒主题手办的售价为x元，每个敖丙主题手办的售价为y元． 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个 根据题意得：   ∵， ∴   为正整数 或2    在中， ，W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，此时，（元） 答：购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元． 5．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 6．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【详解】解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； 任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱， ∴最低购买费用为元， 答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， （1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解； （2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解； （3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果． 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ， 解：①得，， 解：②得，， ∴， ∴有三种方案： 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大， 当时，即， 选第一种方案： 获利（元）， 所以最大获利为2350元． 题型五：分式方程的解 1.增根问题的解题关键 分式方程有增根是指解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式. 口诀助记 去分母,化整式,分母为零找增根;增根代入求参数,验根还原定解存. 2.无解问题的解题关键 分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等. 它包含两种情形: （1）原方程化去分母后的整式方程无解; （2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而原方程无解. 口诀助记 去分母，化整式,整式无解直接定;若有解则验分母，全为增根亦无解。 3.特殊解问题的解题思路 分式方程的特殊解是指题中已知解为负数或非负数等,通常先将解用含参数的代数式表示出来,再根据解为特殊解求解参数的范围,注意分式方程的解不能使分母为零. 【中考母题溯源·学方法】 【典例5】（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 【变式5-1】分式方程的特殊解问题 64．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 【变式5-2】难点05：分式方程的增根问题 （2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 【变式5-3】易错点01：分式方程的无解问题 （2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【详解】解： 方程两边同乘，得，第一步， 整理，得，第二步， 当，即时，此时满足原方程无解， 当时，， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， ∴第三步出现错误． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 3．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 4．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 5．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【详解】解：， 去分母：方程两边同时乘以，得： ， ， ， ， 原方程无解， 是原方程的增根， 由，， ， ， 故答案为：． 6．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 【答案】2 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 题型六：分式方程的实际应用 1.购买问题 解决购买销售问题的关键是找到题中的等量关系,若题中已知A,B的花费金额和单价关系,则分别表示出 A,B的数量列方程;若题中已知 A,B的花费金额和数量关系,则分别表示出 A,B的单价列方程. 2.工程问题 题中一般已知工作总量,若未知,则把工作总量看作1,然后用工作效率表示时间或者用工作时间表示效率,再根据完成工程的时间关系或者效率倍数关系列方程. 3.行程问题 题中一般已知总路程,若未知,则把总路程看作1,然后用速度表示行驶时间或者用行驶时间表示速度,再根据提前到、晚到的时间关系或者速度倍数关系列方程。 【中考母题溯源·学方法】 【典例6】（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 【变式6-1】行程问题 （2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 【变式6-2】难点06：购买销售问题 （2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【变式6-3】难点07：工程问题 （2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：12分钟， 设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意，得：． 故选：D． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设实际每小时包x个，原计划每小时包个， 根据题意，得． 故选：A． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 【答案】D 【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨． ， 解得， ∴智能机器人每小时装载货物吨． 故选：D． 4．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 5.（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 【详解】设浇水方式改进后平均每天用水x吨，则浇水方式改进前平均每天用水吨， 根据题意，得 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：浇水方式改进后平均每天用水1吨． 6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 【详解】解：设模型A每小时能处理数据，则模型B每小时能处理数据， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：模型A每小时能处理数据． 7．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 9．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：设B型设备的单价为a元，则A型设备的单价为元， 根据题意得： 解得． 经检验∶ 是原方程的解且符合题意． 此时 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元． （2）解：根据题意得， 解得， 由题意得： ∵， ∴w随x的增大而增大 ∴当时，w取得最小值，最小值为12800， 答：当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元． 题型七：一元二次方程根的判断 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 【中考母题溯源·学方法】 【典例7】（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，则，因此． 故判别式恒为负数，方程无实数根， 故选：C． 【变式7-1】难点08：结合根的情况求参数的范围 （2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 【变式7-2】难点09：根的情况与函数的综合应用 （2025·陕西渭南·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若点、均在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川成都·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D 2．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ． 【答案】 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 3．（2025·贵州遵义·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：由新定义得 ， 整理，得， 故． 由方程有实数根， 则判别式， 解得． 故答案为：． 4．（2026·四川成都·一模）从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 【答案】 【详解】解：使得关于x的一元二次方程有实数解，即， 解得，也就是取出的两个数的积不大于9即可， 用列表法表示所有可能出现的结果如下： / 2 3 4 5 2 4 6 8 10 3 6 9 12 15 4 8 12 16 20 5 10 15 20 25 共有16种等可能出现的结果，其中两个数的积不大于9的有6种， ∴使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为， 故答案为：． 题型八：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 【中考母题溯源·学方法】 【典例8】（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 【变式8-1】难点10：利用根与系数的关系求代数式的值 （2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2026·湖北·模拟预测）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ，， 故选：D． 2．（2026·湖北·模拟预测）若一元二次方程的两根之和为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和为， ∴， 解得， 故选：B． 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ∴a、b的值为1，， ∴， 故答案为：． 4．（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 5．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 6.（2026·四川成都·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】2038 【详解】解：是方程的实数根， ， ，是方程的两个实数根， ， ∴ 故答案为：2038． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则 ． 【答案】2024 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴由根与系数的关系，得，， ∴； 故答案为2024． 8．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 题型九：一元二次方程的实际应用 1.增长率问题 增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． 2.利润问题 常见的情况有提价减销量和降价增销量两种, 3.甬道问题 甬道问题常利用平行移动,将复杂的甬道结构转化为矩形,其面积大小不变,再结合甬道面积和总面积的关系列一元二次方程求解. 4.篱笆问题 解决篱笆问题的核心是用篱笆总长度和围成矩形的长表示宽(或宽表示长),若围栏有门,则需要加上门的宽度,再结合矩形面积列一元二次方程求解. 5.循环问题 循环问题分为单循环类型和双循环类型. 单循环类型:以比赛为例,即每两队之间比赛一次,胜者晋级、败者淘汰,则共有场比赛 双循环类型:指所有参加比赛的队伍均能相遇两次,最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次,则共有n(n-1)场比赛 解决此类问题的关键是判断循环类型,如握手、多边形对角线条数等均为单循环类型:互送卡片、互赠礼物等均为双循环类型. 【中考母题溯源·学方法】 【典例9】（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 【变式9-1】变化率问题 （2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 初始数量为10万个，两年后数量为16.9万个，年平均增长率为x， ∴ 一年后数量为，两年后数量为， ∴ 可列方程：， 故选：B． 【变式9-2】循环问题 37．（2025·四川雅安·一模）篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：∵有x个队参加比赛，每两队之间都进行一场比赛， ∴总比赛场数为， ∵总共比赛45场， ∴． 故选：B． 【变式9-3】甬道问题 （2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值， 与之间的函数为反比例函数， 设， 把，代入可得， ， 解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得，经检验分式成立， ， 故不符合题意，设计不合理． 【变式9-4】易错点02：让利顾客问题 （2024·福建龙岩·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 【变式9-5】难点11：篱笆问题 （2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． （2）解：设矩形围栏的面积为． 则有 当时．有最大值 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2026·广西柳州·一模）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵原价为144元，连续两次降价，每次降价的百分率为x， ∴第一次降价后价格为元， 第二次降价后价格为元， 根据题意，第二次降价后售价为121元， ∴列方程为． 故选A． 2．（2026·陕西西安·一模）周至水街位于陕西省西安市，是一条集休闲、娱乐、观光为一体的特色水街．这里以水为魂，融合了自然风光与人文景观，是游客体验关中风情的好去处．该景区推出一款文创产品深受消费者喜爱．已知该文创产品7月份的销量为1000件，9月份的销量为1690件，设该文创产品的销量月平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设月平均增长率为x，则8月份销量为件，9月份销量为件，因此方程为， 故答案为． 3．（2025·陕西西安·一模）如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    【详解】解：设花圃的边的长为米， 依题意，得， ∵花圃的面积刚好为60平方米， ∴， 解得或， 当时，则（舍去）； 当时，则， ∴此时花圃的边的长为米． 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 【详解】解：设每件玩具应降价元． 根据题意得，， 整理得，，即， 解得． 答：每件玩具应降价元． 5．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 6．（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示） (2)若饲养场的面积为，求的值． 【详解】（1）解：由题意得，饲养场的长米， 故答案为：米； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； ∴的值为． 7．（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【详解】（1）解：若养鸡场的宽为， 由题意可得：改良后养鸡场的长，即． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解之得：， 当宽为5，，长分别为55，20，均符合题意． 所以养鸡场的长和宽分别为55，5或者20，． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式（组） （9大题型11难点1新考法2易错，题型清单） 题型一：一元一次方程的实际应用 购买销售问题 生产配套问题 比赛、积分问题 分段计费问题 难点01：工程问题 难点02：行程问题 题型二：二元一次方程组的实际应用 利润问题 和差倍分问题 几何图形问题 方案问题 题型三：不等式组的特殊解问题 难点03：不等式组与方程组结合，确定参数 新考法01：满足条件的结论开放题 题型四：一元一次不等式的实际应用 最多可购买多少问题 难点04：确定最优方案问题 题型五：分式方程的解 分式方程的特殊解问题 难点05：分式方程的增根问题 易错点01：分式方程的无解问题 题型六：分式方程的实际应用 行程问题 难点06：购买销售问题 难点07：工程问题 题型七：一元二次方程根的判断 难点08：结合根的情况求参数的范围 难点09：根的情况与函数的综合应用 题型八：一元二次方程根与系数的关系 难点10：利用根与系数的关系求代数式的值 题型九：一元二次方程的实际应用 变化率问题 循环问题 甬道问题 易错点02：让利顾客问题 难点11：篱笆问题 题型一：一元一次方程的实际应用 1.购买、销售问题 常见的等量关系: 售价=标价×折扣,利润=售价-进价, 销售额=商品售价×销售数量, 总费用=A 商品单价×数量+B 商品单价×数量 2.工程问题 工作量=工作效率×工作时间； 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量； 一般情况下，把总工作量设为1. 3.行程问题 路程=速度×时间； 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）； 快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 4.配套问题 识别含有"配套"含义的关键词和其中的数量关系,如"一个螺栓配两个螺母""一张桌子由1个桌面和4个桌腿组成""2个圆形铁片和1个长方形铁片可围成一个圆桶""2个大齿轮和3个小齿轮配成一套"等,根据各部分总量之比等于配套比例列方程求解. 5.比赛积分问题 常用等量关系: 答对题(胜场)的分数+答错或不答题(负场)的分数=得分; 答对题数(胜场数)+答错或不答题数(负场数)=总题数(总场数). 【中考母题溯源·学方法】 【典例1】（2025·天津·中考真题）《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】购买销售问题 （2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（   ） A．350元 B．320元 C．270元 D．220元 【变式1-2】生产配套问题 （2025·陕西汉中·一模）某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【变式1-3】比赛、积分问题 （2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 1 B 4 C 7 D E 0 (1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分； (2)参赛者得分，他答对了几道题？ (3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明． 【变式1-4】分段计费问题 （2025·河南信阳·二模）学科实践： 近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对，两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示． 名称 充电桩领 服务费 充电费 充电速度 充电站 直流式 免费 1.5元 每小时充电 充电站 直流式 前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元 1.2元 每小时充电 问题解决： (1)若汽车充电的总电量为， ①在充电站所需支付的费用（元）与的关系表达式为_____； ②请分别写出当和时，在充电站需要支付的费用（元）与的关系表达式． (2)出租车司机小李和小王分别在，两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少． 【变式1-5】难点01 工程问题 （2025·陕西咸阳·模拟预测）中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展，提高了人们的生活水平．某市招标建设一段长为14千米的无桥梁高速公路路基，现有A，B两家公司竞标了这项工程，已知A公司每天能修建路基0.5千米，B公司每天能修建路基1千米，若由A，B两家公司合作完成任务，且B公司的工作时间比A公司工作时间的2倍多4天，则A公司的工作时间为多少天？ 【变式1-6】难点02 行程问题 （2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行车的方式沿步道行进（视为直线），小苏步行速度为，小州骑自行车速度为． (1)小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过________小时首次追上小苏，此时两人距起点________千米． (2)若小苏提前出发15分钟（即0.25小时），小州才从起点追赶，求小州出发后多少分钟首次追上小苏？ (3)由于景区调度，小州需在距起点6千米的李公堤站或距起点8千米的东方之门站接听电话（两站点均在路径上）．若小苏提前出发10分钟（即小时），小州需选择其中一站停车通话1分钟（即小时）后再继续追赶，小州应选择哪一站通话，才能确保通话后追上小苏所用时间最少？请通过计算说明理由． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套?设生产茶杯的工人有人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽黄山·三模）某同学在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为32，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为 ． 7．（2025·陕西西安·三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？ 8．（2025·河南·一模）用A，B两种规格的长方形纸板（如图①所示）无重合、无缝隙地拼接成如图②所示的周长为的正方形，已知A种长方形的宽为，则B种长方形纸板的面积为多少？ 9．（2025·陕西咸阳·一模）月日是植树节，许多家庭积极参与植树活动，为建设美丽中国，共同谱写人与自然和谐共生的中国式现代化新篇章．在一次家庭植树活动中，甲组家庭植树的棵数比乙组家庭多，乙组家庭植树的棵数比甲组家庭的一半多棵，求甲、乙两组家庭共植树多少棵． 10． （2025·陕西宝鸡·一模）今年植树节，某地开展“植树造林添新绿，乡村振兴展新颜”的植树活动，张村和李村共同植树500棵，张村所植的树比李村所植的树的2倍多20棵，求此次植树活动中张村和李村各植树多少棵？ 11．（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为． (1)请用含的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除； (2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出的值． 题型二：二元一次方程组的实际应用 1.和差倍分问题 抓关键字:审题时抓"多、少、大、小、几分之几"或"增加、减小、缩小"等体现等量关系的词语; 利用好等量关系式列方程组:各部分数量之和-全部数量；较大量=较小量+多余量. 2.几何图形问题 将图形的已知长度(如长方形的长或宽)拆分成各线段的和建立等量关系,列方程组求解. 3.方案问题的解题步骤 第一步：设出两个未知量 第二步：结合题目条件，找等量关系，列二元一次方程 第三步：用一个未知量表示另外一个量，根据实际意义确定两个未知量需满足的条件，如个数必须是整数等 第四步：结合实际情况罗列满足的方案 4.利润问题 总花费=进价×购进数量 总花费=甲进价×甲购进数量+乙进价×乙购进数量; 单个利润=售价-成本; 总利润=单个利润x售出数量 总利润=甲利润×甲售出数量+乙利润×乙售出数量 总利润=(甲售价-甲成本)×甲售出数量+(乙售价-乙成本)×乙售出数量. 【中考母题溯源·学方法】 【典例2】（2025·山东滨州·中考真题）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解． 【变式2-1】利润问题 23．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【变式2-2】和差倍分问题 27．（2025·安徽马鞍山·三模）某运输队接到运送物资的任务，该运输队有A，B两种型号卡车，已知每辆卡车每天可运送物资的次数为：A型卡车10次，B型卡车8次．且1辆A型卡车和2辆B型卡车每天可运送物资188吨，2辆A型卡车和3辆B型卡车每天可运送物资312吨．每辆A，B型卡车每次可运送物资各多少吨？ 【变式2-3】几何图形问题 （2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度． 【变式2-4】方案问题 31．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出，两款帆布袋，深受该校广大师生喜爱．已知购买2个款帆布袋和3个款帆布袋共需31元，购买3个款帆布袋和2个款帆布袋共需34元． (1)求，两款帆布袋的单价分别为多少元． (2)某老师决定购买，两款帆布袋共12个，且购进款帆布袋的数量不少于款帆布袋数量的．当购买，两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？ 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·河北沧州·二模）如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则 ． 2．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 3．（2025·河北邯郸·二模）如图-1，边长为的大正方形内有两个边长分别为的小正方形，此时阴影部分的面积为12．将图-1中大正方形的边长减少1个单位后，边长分别为的两个小正方形按图-2位置放置，此时阴影部分的面积为4．则 ． 4．（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 5．（2025·山西长治·二模）黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元． (1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？ 7．（2025·江西宜春·三模）中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 题型三：不等式组的特殊解问题 1.求不等式组的整数解及整数解的和与个数:先解不等式组,再根据解集判断求解; 2.已知不等式组有(无)解,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等式组中各不等式的解集，再根据不等式组有(无)解构造关于参数的不等式(组)求解; 3.已知不等式组的整数解个数,求参数的取值范围:先用含参数的式子表示不等式组的解集,结合特殊解的个数，确定具体的特殊解,再列不等式(组)求解. 【中考母题溯源·学方法】 【典例3】（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【变式3-1】难点03：不等式组与方程组结合，确定参数 （2025·四川广元·三模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】新考法01：满足条件的结论开放题 （2025·宁夏银川·三模）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： ＝…第一步 ＝…第二步 ＝…第三步 ＝…第四步 ＝…第五步 任务一：填空： （1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是________． A．整式乘法B．因式分解 （2）以上化简步骤中，第________步是进行分式的通分，通分的依据：________． （3）第________步开始出现错误，这一步错误的原因：________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组的解集中选择一个合适的整数作为x的值，代入求值； 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 4．（2025·四川绵阳·二模）不等式组的整数解均满足不等式组，则的取值范围是 ． 5．（2025·贵州黔南·一模）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：___________；（直接写出结果） (2)已知，求的取值范围． 6．（2025·广西·三模）（1）对于整数x，规定，例如：，求：的值． （2）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解． 题型四：一元一次不等式的实际应用 1.最多可以购买多少问题 找到题中的不等关系,常考的有:数量不超过( ≤),利润不少于(≥),预算不超过(≤)等题中已知 A,8的总数量及A的数量不多于B的数量,则直接用数量表示不等关系1.题中已知 A.B的总数量、单价及花费不超过多少钱,则用数量和单价表示总花费,再列2.不等式求解. 注:计算结果需要符合实际意义,如个数不能为分数 2.方案问题 一般是先将实际问题中的不等关系抽离出来,联系实际背景,转化为求不等式的非负整数解问题,利用不等式的非负整数解的个数去确定方案的个数,进而去设计方案 【中考母题溯源·学方法】 【典例4】（2025·山东淄博·中考真题）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【变式4-1】最多可购买多少问题 （2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【变式4-2】难点04：确定最优方案问题 （2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示． (1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克； 清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克） 蛋白质（克） 16 15 脂肪（克） 8 14 (2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？ 2．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元． (1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？ (2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？ 3．（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 4．（2025·云南玉溪·三模）随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． (1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ (2)现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 5．（2025·北京石景山·二模）某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品 个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为 万元． 6．（2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 7．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 题型五：分式方程的解 1.增根问题的解题关键 分式方程有增根是指解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式. 口诀助记 去分母,化整式,分母为零找增根;增根代入求参数,验根还原定解存. 2.无解问题的解题关键 分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等. 它包含两种情形: （1）原方程化去分母后的整式方程无解; （2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而原方程无解. 口诀助记 去分母，化整式,整式无解直接定;若有解则验分母，全为增根亦无解。 3.特殊解问题的解题思路 分式方程的特殊解是指题中已知解为负数或非负数等,通常先将解用含参数的代数式表示出来,再根据解为特殊解求解参数的范围,注意分式方程的解不能使分母为零. 【中考母题溯源·学方法】 【典例5】（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【变式5-1】分式方程的特殊解问题 64．（2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【变式5-2】难点05：分式方程的增根问题 （2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【变式5-3】易错点01：分式方程的无解问题 （2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 3．（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 4．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 5．（2025·四川凉山·中考真题）若关于x的分式方程无解，则 ． 6．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 题型六：分式方程的实际应用 1.购买问题 解决购买销售问题的关键是找到题中的等量关系,若题中已知A,B的花费金额和单价关系,则分别表示出 A,B的数量列方程;若题中已知 A,B的花费金额和数量关系,则分别表示出 A,B的单价列方程. 2.工程问题 题中一般已知工作总量,若未知,则把工作总量看作1,然后用工作效率表示时间或者用工作时间表示效率,再根据完成工程的时间关系或者效率倍数关系列方程. 3.行程问题 题中一般已知总路程,若未知,则把总路程看作1,然后用速度表示行驶时间或者用行驶时间表示速度,再根据提前到、晚到的时间关系或者速度倍数关系列方程。 【中考母题溯源·学方法】 【典例6】（2025·江苏无锡·中考真题）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】行程问题 （2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【变式6-2】难点06：购买销售问题 （2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【变式6-3】难点07：工程问题 （2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·模拟预测）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节等，日期在每年农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某小区开展“包粽子，庆端午”活动，活动期间，计划每小时包相同数量的粽子．该活动开始后，实际比原计划每小时多包100个，实际包1200个所需时间与原计划包1000个所需时间相同．设实际每小时包个，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（    ） A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨 4．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 5.（2025·江苏常州·中考真题）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍．问浇水方式改进后平均每天用水多少吨？ 6．（2025·黑龙江大庆·中考真题）某公司开发了两款模型，分别为模型A和模型B．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理数据，模型B处理数据的时间与模型A处理数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少数据？（备注：为数据的存储单位） 7．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 9．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案． 题型七：一元二次方程根的判断 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 【中考母题溯源·学方法】 【典例7】（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式7-1】难点08：结合根的情况求参数的范围 （2025·四川绵阳·一模）若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【变式7-2】难点09：根的情况与函数的综合应用 （2025·陕西渭南·一模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若点、均在反比例函数的图象上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2025·四川成都·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为 ． 3．（2025·贵州遵义·一模）新定义：，例如：． 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围为 ． 4．（2026·四川成都·一模）从2，3，4，5四个数中随机选取一个数，记为a，放回后再随机选取一个数，记为c．则a，c的取值使得关于x的一元二次方程有实数解的概率为 ． 题型八：一元二次方程根与系数的关系 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 【中考母题溯源·学方法】 【典例8】（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-1】难点10：利用根与系数的关系求代数式的值 （2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2026·湖北·模拟预测）一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北·模拟预测）若一元二次方程的两根之和为，则a的值为（   ） A． B．1 C． D． 3．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程的两根，则的值为 ． 4．（2025·福建·中考真题）设，是方程的两个根，那么的值为 ． 5．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 6.（2026·四川成都·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 7．（2026·山东临沂·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则 ． 8．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 题型九：一元二次方程的实际应用 1.增长率问题 增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． 2.利润问题 常见的情况有提价减销量和降价增销量两种, 3.甬道问题 甬道问题常利用平行移动,将复杂的甬道结构转化为矩形,其面积大小不变,再结合甬道面积和总面积的关系列一元二次方程求解. 4.篱笆问题 解决篱笆问题的核心是用篱笆总长度和围成矩形的长表示宽(或宽表示长),若围栏有门,则需要加上门的宽度,再结合矩形面积列一元二次方程求解. 5.循环问题 循环问题分为单循环类型和双循环类型. 单循环类型:以比赛为例,即每两队之间比赛一次,胜者晋级、败者淘汰,则共有场比赛 双循环类型:指所有参加比赛的队伍均能相遇两次,最后按各队在两个循环的全部比赛中的积分、得失分率排列名次,则共有n(n-1)场比赛 解决此类问题的关键是判断循环类型,如握手、多边形对角线条数等均为单循环类型:互送卡片、互赠礼物等均为双循环类型. 【中考母题溯源·学方法】 【典例9】（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】变化率问题 （2025·山东滨州·中考真题）某市大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年初，全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】循环问题 37．（2025·四川雅安·一模）篮球比赛中，要求每两队之间都进行一场比赛，总共比赛45场，问有多少个队参加比赛？设有x个队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】甬道问题 （2025·山西朔州·一模）如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，． (1)求与之间的函数关系． (2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由． 【变式9-4】易错点02：让利顾客问题 （2024·福建龙岩·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【变式9-5】难点11：篱笆问题 （2025·四川巴中·中考真题）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【中考模拟闯关·练提分】 1．（2026·广西柳州·一模）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·一模）周至水街位于陕西省西安市，是一条集休闲、娱乐、观光为一体的特色水街．这里以水为魂，融合了自然风光与人文景观，是游客体验关中风情的好去处．该景区推出一款文创产品深受消费者喜爱．已知该文创产品7月份的销量为1000件，9月份的销量为1690件，设该文创产品的销量月平均增长率为，根据题意可列方程为 ． 3．（2025·陕西西安·一模）如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 5．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 6．（2025·河南郑州·一模）某农场要建一个饲养场（长方形），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长米，设饲养场（长方形）的宽为米． (1)饲养场的长__________．（用含的代数式表示） (2)若饲养场的面积为，求的值． 7．（2025·四川成都·一模）在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $