精品解析：山西省大同市第二中学2025-2026学年高一上学期期末测试数学试题

山西省大同市第二中学2025-2026学年高一上学期期末测试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题；本题共8小题，每小题6分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合的元素，再由交集定义求解即得. 【详解】因表示奇数集，而， 故. 故选：D. 2. “”是“幂函数在区间上单调递减”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义求出的值，再结合函数单调性判断条件. 【详解】是幂函数，则，求解得，， 时，在区间上单调递减，充分性成立， 时，在区间上单调递增，故舍去， 若幂函数在区间上单调递减，则，必要性成立， 因此“”是“幂函数在区间上单调递减”的充要条件， 故选：A 3. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数的单调性可得.再由的单调性可得.从而可得选项. 【详解】因为在R上递减，且，所以 .又因为 在R上递增，且，所以 .所以. 故选：D. 【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用之比较指数式的大小，属于中档题. 4. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如图的扇形，已知该扇形面积，其圆心角为，在直角坐标系中，以为的顶点，轴正半轴为的始边，此时终边与单位圆交点，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正切函数定义可得，然后利用扇形面积公式求得，进而代入弧长公式求解即可. 【详解】因为终边与单位圆交于点，所以， 因为，所以， 设扇形的半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为． 故选：C． 5. 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切函数性质计算即可得. 【详解】令，解得， 故函数图象的对称中心的坐标为. 故选：A. 6. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用分段函数性质和正弦函数计算即可. 【详解】因为，所以利用多次递推， 则， ， ，， 此时符合， 代入得， 故选： 7. 已知实数a，b满足，则a2 + b2的最小值为（     ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析，可得，代入a2 + b2可得到一个关于的二次函数，从而得到最小值． 【详解】由，. 此式成立的条件是与异号（或至少一个为0），且， 即.综合符号关系可知, 故 根据二次函数的图象与性质可得， 当时，的最小值为2. 故选：B 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，确定函数为奇函数和减函数，变换，得到，解得答案. 【详解】令 ，定义域为， ， 所以由指数函数与对数函数性质得在 上单调递减， ， 故 为奇函数， 在 上单调递减， 原不等式可化为, 即, 得，解得， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下面结论正确的有（ ） A. -690°化成的形式是 B. 若，则 C. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D. 命题“，”的否定是， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据终边相同的角判断A，根据不等式性质判断B，根据象限角的定义判断C，根据特称命题的否定判断D. 【详解】因为，故可化为，故A正确； 因为，所以，即，故B错误； 因为是第二象限角，所以， 所以，当时，， 故是第一象限角；当时，， 则是第三象限角，综上，是第一象限角或第三象限角，故C正确； 由特称命题的否定知，命题“”的否定是，故D正确. 故选：ACD 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将平方，根据题意结合同角的三角函数关系以及正弦二倍角公式可求，判断AB；求出的值后，结合余弦的二倍角公式可求，判断CD. 【详解】由题意知，且，则 即，故， 所以，故A错误，B正确； 又，结合，所以，， 所以， 所以，故C正确，D错误． 故选：BC． 11. 已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 当时， C. 在单调递减 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法结合抽象函数的性质一一分析选项即可. 【详解】对于A，令，则， 令，则， 再令，则，即A正确； 对于B，令，则有，即时，， 结合奇函数性质知时，，即B错误； 对于C，取，令，则 由上知时，，则， 所以，则在单调递减，故C正确； 对于D，取，则有， 若，显然，故D正确； 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共8小题，每小题6分，共15分 12. 已知向右平移个单位长度后为奇函数，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，求得，由为奇函数，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】将函数向右平移个单位长度， 可得，定义域为R， 因为为奇函数，可得，即， 因为，可得， 则或或，解得或或， 又当时，，为奇函数， 故的最小值为 故答案为： 13. 艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则________；（，） 【答案】7 【解析】 【分析】根据指数函数模型列不等式求解． 【详解】由题意，，， ， ，又， 所以的最大值是7. 故答案为：7. 14. 函数，若关于的方程有6个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析已知函数的值域，把关于的方程的零点个数转化为在值域内解的个数，结合给定零点个数求出相应，进而求出的取值范围． 【详解】， 当时，单调递增，值域为， 对任意，有1个解；或时无解； 当时，，值域为， 对任意，有2个解；时有1个解； 的解的个数为： 时，； 时，（时有1个，时有2个）； 时，； 时，； 令，， 有6个零点，即， 仅当且时，，此时， 设，需满足： 或， 对称轴， 端点值， 综上可得，， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为实数集 ，集合 ，. （1）求集合 、 ； （2）求 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数函数、对数函数单调性求解不等式即可. （2）利用补集、并集的定义求解. 【小问1详解】 解不等式，得，即，解得，即， 解不等式，得，解得或，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 16. 已知. （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）若，求的值域． 【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为（）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数表达式进行化简，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和对称轴方程即可； （2）结合正弦函数的图像与性质求解即可. 【小问1详解】 ． 函数的最小正周期为， 令（），得，（）， 则的最小正周期,对称轴方程为（）. 【小问2详解】 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在取最大值1，在取最小值， ，所以． 17. 已知函数，. （1）解不等式：； （2）求值：（i）；（ii）. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先根据函数化简不等式，再令，得一元二次不等式，解一元二次不等式进而可得相应的对数不等式，解简单的对数不等式可得； （2）（i）直接根据函数化简计算可得；（ii）根据（i）计算得，再给k赋值，最后相加可得. 【小问1详解】 由，，， 所以，令，则，即， 解得或，即或，所以或. 故不等式的解集为. 【小问2详解】 （i）因为，所以 . 故. （ii）因为，由（i）知，所以， 所以，，，. 所以. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合函数的性质，确定的值，可得函数的解析式； （2）结合函数的单调性，求函数的单调区间. （3）先利用函数图象变换，得到函数的解析式，再利用三角函数在给定区间上的值域求函数再区间的最值，最后利用求的取值范围. 【小问1详解】 设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，即， 又，所以，所以. 【小问2详解】 令，解得， 即的单调递减区间为. 【小问3详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当， 所以， 若对任意的，都有，则， 解得，即的取值范围是. 19. 已知函数，. （1）若，对，使得成立，求实数的取值范围； （2）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意将问题转化为，使得恒成立，只需要成立，即可求解；（2）由（1）知函数与的图像有且只有一个公共点，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，进而求解. 【小问1详解】 ，即， 若，使得成立，只需要成立. 因为， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，，则， 因为，令，分离参数可得， 令，其中， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故，. 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）可得， 由题意知，方程有且只有一个实根， 即方程有且只有一个实根， 令，则方程有且只有一个正根， 即方程有且只有一个正根，构造函数. ①当时，，令，解得，不合乎题意； ②当时，则，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ， 由于，要使得方程有且只有一个正根， 则，解得； ③当时，则， 设方程的两根分别为，， 由韦达定理可得，，则方程有且只有一个正根. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省大同市第二中学2025-2026学年高一上学期期末测试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题；本题共8小题，每小题6分，共40分，每小题只有一个选项符合要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“幂函数在区间上单调递减”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如图的扇形，已知该扇形面积，其圆心角为，在直角坐标系中，以为的顶点，轴正半轴为的始边，此时终边与单位圆交点，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 函数图象的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数a，b满足，则a2 + b2的最小值为（     ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下面结论正确的有（ ） A. -690°化成的形式是 B. 若，则 C. 若是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角 D. 命题“，”的否定是， 10. 已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在的函数满足且当时，.则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 当时， C. 在单调递减 D. 当时， 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共8小题，每小题6分，共15分 12. 已知向右平移个单位长度后为奇函数，则的最小值为________. 13. 艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律.基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的20%.为使得所记忆的内容不低于，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则________；（，） 14. 函数，若关于的方程有6个零点，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知全集为实数集 ，集合 ，. （1）求集合 、 ； （2）求 16. 已知. （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）若，求的值域． 17. 已知函数，. （1）解不等式：； （2）求值：（i）；（ii）. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，都有，求实数的取值范围. 19. 已知函数，. （1）若，对，使得成立，求实数的取值范围； （2）若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $