第27章相似 -模型探究（三）2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 模型探究（三） 模型探究8 一线三等角型相似(二)一般型 图形：如图，点C，O，D在同一直线上，∠AOB=∠1=∠2. 结论:△ACO∽△ODB. 同侧型 异侧型 类型一 直接利用一线三等角型相似 1.【问题背景】(1)如图,点 B,C,D 在同一直线上,∠B=∠ACE=∠D.求证:△ABC∽△CDE; 【问题探究】(2)在(1)的条件下，若C 为BD 的中点，求证： D 类型二 构造一线三等角型相似 2.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,点D,E 分别在边AC,BC上,且∠BDE=120°. (1)求证:∠CDE=∠ABD; (2)若 求 AD 的长. 3.如图,∠BAC=∠ADB=45°,CE∥BD 交AD 于点E,AE=2,BD=3,求 的值. 模型探究9旋转型相似 图形：如图， 结论： ③△BAD∽△CAE. 类型一 直接利用旋转型相似 1.如图,在 中， 将 绕点C 旋转得到 点A 的对应点D 落在边AB 上,连接BE. (1)求证: (2)当BC=2,AC=1时,求 BE 的长. 类型二 构造旋转型相似 2.如图,在正方形ADBC中,P 是边BC 上一点,PA 绕点 P 顺时针旋转 得到 PE,连接AE,Q为AE 的中点,连接CQ. (1)求证: (2)若 求正方形ADBC 的边长. 模型探究10十字架型相似 图形:如图,已知矩形 ABCD,于点G. 结论： ①△DCF∽△ADE∽△GCD∽△GDF; 1.如图,E,G,F,H 分别是矩形ABCD 四条边上的一点,且 若AB=2,BC=3,求AB=2,BC=3, 的值. 2.如图，四边形ABCD 为矩形，以AD 为边向上作等边 ,连接BE,过点C 作 交AB 于点H ,交 BE 于点G,若AE=2,求 BE·BG 的值. 3.如图，在 中， D为AC 的中点，过点 A 作 交 BC 于点F.求 的值. C 模型探究8 一线三等角型相似(二)一般型 1.证明:(1)∵∠ACD=∠B+∠BAC,∠ACE=∠B, ∴∠BAC=∠ECD. ∵∠B=∠D, ∴△ABC∽△CDE; (2)∵△ABC∽△CDE, 又∵CD=BC, 又∵∠B=∠ACE, ∴△ABC∽△ACE, 2.解:(1)∵∠ABD+∠A=∠BDC=∠CDE+∠BDE, 且∠A=∠BDE=120°, ∴∠CDE=∠ABD; (2)过点E 作EF⊥BC交AC 于点 F. ∵∠BAC=120°,AB=AC, 在Rt△CEF中, 设AD=x,则DF=11-x, ∵∠ABD=∠CDE,∠A=∠DFE, ∴△BAD∽△DFE, 解得x=5或6, ∴AD 的长为5或6. 3.解:过点 B 作BF⊥BD交AD 于点 F, ∵∠ADB=45°, ∴BF=BD=3,∠AFB=135°, ∵CE∥BD, ∴∠CED=∠ADB=45°, 又∵∠CED=∠C+∠CAE, ∴∠C+∠CAE=45°=∠BAC=∠CAE+∠BAF, ∴∠C=∠BAF, 又∵∠AEC=∠AFB=135°, ∴△AEC∽△BFA, 模型探究9 旋转型相似 1.解:(1)由旋转可得AC=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, ∴△BCE∽△ACD; (2)∵BC=2,AC=1,∠ACB=90°, 过点C作CH⊥AB 于点H,则AD=2AH. 由 CH,得 ∵△BCE∽△ACD, 2.解:(1)连接AB,PQ. 由旋转得△APE 为等腰直角三角形. ∵四边形ADBC 是正方形,Q 为AE的中点， ∠PAQ=∠BAC=45°, ∴∠BAP=∠CAQ, ∴△ABP∽△ACQ, ∴BP=2, 设PC=x,则BC=AC=2+x, 在 Rt△APC 中, 即 解得 (舍去), ∴正方形ADBC 的边长为2+1=3. 模型探究 10 十字架型相似 1.解:过点 H 作HM⊥BC 于点 M,过点 E 作EN⊥CD 于点 N, ∴∠HMG=∠ENF=90°. ∵EF⊥GH, +∠HGM, ∴∠EFC=∠HGM, ∴△MHG∽△NEF, 2.解:过点 E 作EM⊥AB 交BA 的延长线于点M. ∵四边形ABCD 为矩形,△ADE 为等边三角形， ∴∠EAM=30°, BC=AD=AE=2. ∵∠ABC=90°,CH⊥BE, ∴∠MBE +∠GBC = ∠GBC +∠GCB=90°, ∴∠MBE=∠GCB, 又∵∠M=∠CGB=90°, ∴△EMB∽△BGC, ∴BE·BG=EM·BC=1×2=2. 3.解:过点 F 作FG⊥AC 于点G. ∵AF⊥BD, ∴∠AFG +∠FAG = ∠FAG +∠BDA=90°, ∴∠AFG=∠BDA, ∴△AFG∽△BDA, 设AD=2a, 则 由△CFG∽△CBA,得 学科网（北京）股份有限公司 $