2026年中考数学重难点一轮复习：圆的有关性质

圆的有关性质 一、选择题（共7小题） 1．（2025•怒江州校级一模）如图，若AB是⊙O的直径，∠AOC＝68°，则∠ABC度数为（　　） A．22° B．32° C．34° D．68° 2．（2025•怒江州校级一模）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，设AB＝6，CD＝1，则⊙O的半径长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025•广东模拟）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝35°，∠APD＝80°，那么∠B度数为（　　） A．55° B．60° C．65° D．45° 4．（2025•十堰校级模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC．若∠AOC＝130°，则∠ABC的度数为（　　） A．100° B．110° C．130° D．115° 5．（2025•浙江模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　） A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360° 6．（2025•新疆）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC＝30°，则∠BOC＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．（2025•芜湖一模）图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧杯下半部分的平面示意图，若D为的中点，∠AOB＝100°，则∠AOD＝（　　） A．100° B．60° C．50° D．40° 二、填空题（共8小题） 8．（2025•涟水县一模）已知，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为　 　 ． 9．（2026•周至县一模）如图，AB是⊙O的直径，BC、BD是⊙O的两条弦，连接CD，∠DCB＝45°，BC平分∠ABD，则∠CBD的度数为　 　 ． 10．（2025秋•泉山区校级期中）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于 　 　 ． 11．（2025•射洪市校级二模）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点D，CD＝1寸，AB＝1尺（10寸），则圆的直径长度是　 　 ． 12．（2025•衡阳校级一模）如图，AC是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的两条弦，且，则所对的圆周角＝　 　 °． 13．（2025•衢州模拟）车辆止退器的主要作用在汽车停车时，置于车轮与地面之间，能有效防止汽车打滑后退，如图所示是某品牌止退器的实物和示意图，已知止退器的高AB＝9cm，长BC＝27cm，求货车轮胎半径为 　 　 cm． 14．（2025•泗洪县二模）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝30°，则∠AOB＝ 　 　 °． 15．（2025•牡丹江模拟）在半径为2的ʘO中，弦AB长为，点C在ʘO上，若∠BAC＝30°，则弦AC的长为　 　 ． 三、解答题（共5小题） 16．（2025•旌阳区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF． （1）求证：∠CFD＝∠C； （2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数． 17．（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°． （1）求证：OC∥AD； （2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 18．（2025•灌南县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长． 19．（2025•淮南模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D，连接AC，BC．作∠ACD的平分线，交AB于点E，交⊙O于点F． （1）求证：BC＝BE． （2）若DE＝4，CD＝6，求BD的长． 20．（2025•青龙县一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点O为喷泉中心，AB是喷泉边缘的一条弦，AB＝8米，D是弦AB的中点，连接OD并延长，交劣弧AB于点C，CD＝2米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题： （1）求喷泉的半径； （2）要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（π取3.14，结果保留整数） 参考答案 一、选择题（共7小题） 1．【答案】C 【分析】根据，计算求解即可． 【解答】解：∵， ∴， 故选：C． 2．【答案】C 【分析】连接OA，由垂径定理可得，设OA＝OC＝r，则OD＝OC﹣CD＝r﹣1，再由勾股定理计算即可得解． 【解答】解：如图，连接OA， 设OA＝OC＝r，则OD＝OC﹣CD＝r﹣1， ∵AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB， ∴， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣1）2+32， ∴r＝5， 故选：C． 3．【答案】D 【分析】根据圆周角定理求出∠D的度数，再由三角形外角的性质求出∠B的度数即可． 【解答】解：∵∠A＝35°， ∴∠D＝∠A＝35°， ∵∠APD＝80°， ∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣35°＝45°． 故选：D． 4．【答案】D 【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理，求得∠ADC的度数，然后由圆的内接四边形的性质，可求得∠ABC的度数． 【解答】解：如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC． 在优弧AC上取点D，连接AD，CD， ∵∠AOC＝130°， ∴∠ADC＝65°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝115°． 故选：D． 5．【答案】C 【分析】依题意得∠BAD＝α+β，根据AB＝AC及三角形内角和定理得∠ACB＝90°α，再根据AB∥CD得∠ACD＝∠BAC＝α，进而得∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°α，然后根据圆内接四边形的性质得∠BAD+∠BCD＝180°，则90°α+α+β＝180°，由此即可得出答案． 【解答】解：∵∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝α+β， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 由三角形内角和定理得：∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2∠ACB+α＝180°， ∴∠ACB＝90°α， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝α， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°α+α＝90°α， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴90°α+α+β＝180°， 整理得：3α+2β＝180°． 故选：C． 6．【答案】C 【分析】先根据垂径定理得到∠ADC＝∠BDC＝30°，再根据圆周角定理即可得到∠BOC＝60°． 【解答】解：连接BD， ∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD， ∴∠ADC＝∠BDC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BDC＝60°， 故选：C． 7．【答案】C 【分析】根据即可得出答案． 【解答】解：由题意可得：， ∴， ∵∠AOB＝100°， ∴， 故答案为：C． 二、填空题（共8小题） 8．【答案】8或2 【分析】连接OA，先根据⊙O的直径CD＝10求出半径OA的长，再根据垂径定理求出AM的长，然后根据勾股定理求出OM的长，分两种情况求出DM即可． 【解答】解：①连接OA，如图所示： ∵⊙O的直径CD＝10， ∴OA＝5， ∵弦AB＝8，AB⊥CD， ∴AMAB8＝4， 在Rt△AOM中，由勾股定理得：OM3， ∴DM＝OD+OM＝5+3＝8； ②连接OA，如图所示： 同①得：OM＝3， ∴DM＝OD﹣OM＝5﹣3＝2； 综上所述，DM的长为8或2， 故答案为：8或2． 9．【答案】22.5°． 【分析】根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：如图，连接AD， ∵，∠DCB＝45°， ∴∠DCB＝∠BAD＝45°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣45°＝45° ∵BC平分∠ABD， ∴， 故答案为：22.5°． 10．【答案】64° 【分析】根据圆周角定理先求出∠ABC＝64°，再根据圆内接四边形的性质求解． 【解答】解：∵∠AOC＝128°， ∴∠ABC＝64°， ∴∠CDE＝∠ABC＝64°． 故答案为：64°． 11．【答案】26寸． 【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长． 【解答】解：连接OA， 设⊙O的半径是r寸， ∵弦AB⊥CD，垂足为点D， ∴寸， ∵CD＝1寸， ∴OD＝（r﹣1）寸， ∵OA2＝OD2+AD2， ∴r2＝（r﹣1）2+52， ∴r＝13， ∴直径的长度为2r＝26寸． 故答案为：26寸． 12．【答案】90 【分析】连接BC，如图，根据圆周角定理，由AC是⊙O的直径得∠ABC＝90°，则∠A+∠ACB＝90°，再根据圆周角定理，由得到∠ACD＝∠A，则∠BCD＝90°，于是可判断所对的圆周角为90°． 【解答】解：连接BC，如图， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵， ∴∠ACD＝∠A， ∴∠ACB+∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°， ∴所对的圆周角为90°． 故答案为90． 13．【答案】55． 【分析】如图，连接OC，过点A作AH⊥OC于点H，则四边形ABCH是矩形，设OA＝OC＝rcm．利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：如图，连接OC，过点A作AH⊥OC于点H，则四边形ABCH是矩形，设OA＝OC＝rcm． ∴AB＝CH＝9cm，AH＝BC＝27cm， 在Rt△AOH中，则有r2＝272+（r﹣9）2， 解得r＝55． 故答案为：55． 14．【答案】60 【分析】根据圆周角定理即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACB∠AOB，∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝2×30°＝60°． 故答案为：60． 15．【答案】2或4． 【分析】本题可先根据圆的半径和弦AB的长求出圆心O到弦AB的距离，再结合∠BAC＝30°，分情况讨论点C的位置，进而求出弦AC的长． 【解答】解：过O作OD⊥AB于D，连接OA，OB． 由条件可知，OA＝2． ，， ∴∠OAD＝∠OBD＝30°． ∴∠AOD＝∠BOD＝60°， 情况一：当点C在劣弧AB上时， 由条件可知∠BOC＝2∠BAC＝60°＝∠BOD， ∴点O、D、C三点共线， ∵∠OAD＝30°， ∴∠OAC＝∠BAC+∠OAD＝60°． ∵OA＝OC＝2， ∴△AOC是等边三角形， ∴AC＝2． 情况二：当点C在优弧AB上时， 由条件可知点O、A、C三点共线， ∴AC＝2OA＝4． 综上，弦AC的长为2或4． 故答案为：2或4． 三、解答题（共5小题） 16．【答案】（1）证明：连接BF，如图， ∵AB为⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点， ∴∠AFB＝90°， ∴∠CFB＝180°﹣∠AFB＝90°， ∴DFBC， ∵BD＝CD， ∴CD＝DF＝BD， ∴∠C＝∠CFD； （2）100°． 【分析】（1）连接BF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，求出∠CFB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出∴CD＝DF＝BD，求出∠C＝∠CFD即可； （2）先求出∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，根据三角形的外角性质求出答案即可． 【解答】（1）证明：连接BF，如图， ∵AB为⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点， ∴∠AFB＝90°， ∴∠CFB＝180°﹣∠AFB＝90°， ∴DFBC， ∵BD＝CD， ∴CD＝DF＝BD， ∴∠C＝∠CFD； （2）解：∵∠E+∠AFD＝180°，∠CFD+∠AFD＝180°，∠E＝50°， ∴∠E＝∠CFD， ∴∠C＝∠CFD＝∠E＝50°， ∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝50°+50°＝100°． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠AOC＝2∠ABC，从而可得∠DAB+∠AOC＝180°，然后利用同旁内角互补，两直线平行即可解答； （2）连接BD，交OC于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用平行线分线段成比例可得EB＝DE，从而可得OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得，最后设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1，分别在Rt△OEB和Rt△CEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°． ∴∠DAB+∠AOC＝180°， ∴OC∥AD． （2）解：连接BD，交OC于点E， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥AD， ∴， ∵OA＝OB， ∴EB＝DE， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， ∴， 设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1， 在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1， 在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2， 即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2， 解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去）， 故AB＝2r＝6． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用垂径定理证明∠A＝∠2，再证明∠A＝∠1即可解决问题； （2）设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2，利用勾股定理构建方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴， ∴∠A＝∠2， 又∵OA＝OC， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝6， ∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3， 设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2， 在Rt△OEC中，R2＝（R﹣2）2+32， 解得：， ∴⊙O的半径是． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先由直径得到∠ACB＝90°，然后等量代换得到∠BCE＝∠BEC，即可推出BC＝BE； （2）设BD＝x，则BC＝BE＝DE+DB＝x+4，根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠BCE＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠DCE+∠CEB＝90°， 由条件可知∠ACE＝∠DCE， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴BC＝BE； （2）解：设BD＝x，则BC＝BE＝DE+DB＝x+4， 由条件可知BD2+CD2＝BC2， ∴x2+62＝（x+4）2， ∴， ∴， 20．【答案】（1）喷泉的半径为5米； （2）大约需要安装25盏景观灯． 【分析】（1）连接OA，设喷泉的半径为r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【解答】解：（1）连接OA，设喷泉的半径为r，则：OA＝OC＝r， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 由条件可知OC平分弦AB，， ∴OC⊥AB， ∴OA2＝AD2+OD2， ∴r2＝42+（r﹣2）2， ∴r＝5米； 答：喷泉的半径为5米； （2）由题意得：R＝6米， 2×6×3.14÷1.5≈25（盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 学科网（北京）股份有限公司 $