2026年中考数学重难点一轮复习：与圆有关的计算

与圆有关的位置关系 一、选择题（共7小题） 1．（2025•常州）如图，⊙O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则的长是（　　） A． B． C．π D．2π 2（2025•湖南）如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 3．（2025•云岩区一模）中华美食讲究色香味美，优雅的摆盘能让美食锦上添花．图①外围的每一个拼盘的形状都是扇形的一部分，图②是其中一个的示意图（阴影部分为拼盘）．测量得到AO＝13cm，CO＝3cm，∠AOB＝72°，则图②所示的拼盘面积为（　　） A． B． C．64πcm2 D．32πcm2 4．（2025•丹徒区一模）如图，平行四边形ABCD中，∠D＝60°，AD＝10，以BC为直径的⊙O交AB于点E，则的长为（　　） A．π B． C．5 D． 5．（2025•鄂尔多斯一模）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF，若AD＝4，则阴影部分的面积为（　　） A．8﹣π B．8﹣2π C．4﹣2π D．4﹣π 6．（2025•西双版纳一模）将一个底面半径为3cm的圆锥侧面展开后得到一个半径为9cm的扇形，这个扇形的面积为（　　） A．6πcm2 B．9πcm2 C．12πcm2 D．27πcm2 7．（2025•泰安模拟）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得π的估计值为（　　） A．3 B． C． D． 二、填空题（共7小题） 8．（2026•哈尔滨模拟）若一段圆弧的度数是120°，半径为6，则该圆弧的弧长是 　 　 ． 9．（2025•河南校级四模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 10．（2025•济宁一模）圆锥的底面半径r＝3，高h＝4，则圆锥的侧面积是 　 　 ． 11．（2025•盐城）已知圆锥的侧面积为15π，母线长为5，则圆锥的底面半径是　 　 ． 12．（2025•青岛）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝30°，OA＝2，点C在OB上，且OC＝AC．延长CB到D，使CD＝CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为　 　 （结果保留π）． 13．（2025•榆阳区校级模拟）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB长为半径画圆，M是⊙A上的任意一点，则∠FMB的度数为　 　 ． 14.（2025•浦东新区二模）如果一个正六边形的边心距为厘米，那么它的半径长为 　 　 厘米． 三、解答题（共5小题） 15．（2024•雁塔区校级一模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O． （1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数； （2）已知△ADF的面积为，求⊙O的面积． 16．（2025•宜兴市二模）如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E． （1）求证：∠D＝∠ABC； （2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 17．（2025•福州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C为的中点，连接AC，OC． （1）求证：OC∥AD； （2）若AB＝12，∠BAD＝50°，求弦AC，CD与围成的图形面积． 18．（2025•鼓楼区校级二模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为r，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为l，圆心角为120°的扇形． （1）探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长　 　 ；（填“相等”或“不相等”）若r＝2，则l＝　 　 ． （2）问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为r，侧面展开图会得到一个半径为l，圆心角为n°的扇形，请用含r，l的式子表示n． （3）拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，AB＝6cm，l＝6cm，C是线段PB中点，如今计划要从点A到点C再到点A之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为13cm的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 19．（2025•宁乡市一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG，∵M是的中点， ∴MA＝MC，又∵∠A＝∠C，∴△MAB≌△MCG，∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC，∴BD＝DG，∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA． （1）【理解运用】如图1，AB，BC是⊙O的两条弦，AB＝10，BC＝16，点M是的中点，MD⊥BC于点D，求BD的长； （2）【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD，BD，AB之间存在怎样的数量关系？并加以证明． （3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，BC是⊙O的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝12，⊙O的半径为10，求AD长． 参考答案 一、选择题（共7小题） 1．【答案】C 【分析】先利用直径AB、CD互相垂直，得出∠BOC＝90°，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：∵直径AB、CD互相垂直， ∴∠BOC＝90°， ∴BC弧的长为， 故选：C． 2．【答案】C 【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵∠AOC＝40°，∠BOC＝15°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝40°﹣15°＝25°， ∴2πRπR（千米）． ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米． 故选：C． 3．【答案】D 【分析】根据S阴影部分＝S大扇形﹣S小扇形进行计算即可． 【解答】解：S阴影部分＝S大扇形﹣S小扇形 ＝32π（cm2）， 故选：D． 4．【答案】D 【分析】先根据平行四边形的性质得出BC的长，再连接EO求出∠BOE的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝10，∠D＝60°， ∴BC＝AD＝10，∠ABC＝60°． 连接EO， ∵BO＝EO， ∴△BOE是等边三角形， ∴∠BOE＝60°． 又∵BO， ∴． 故选：D． 5．【答案】A 【分析】依题意得BC＝CD＝AD＝AB＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，S正方形ABCD＝16，CF＝CE＝DF＝BE＝2，进而得S扇形ECF＝π，S△ABE＝4，S△ADF＝4，由此即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AD＝4，∴BC＝CD＝AD＝AB＝4，∠B＝∠C＝∠D＝90°，S正方形ABCD＝AD2＝16， ∵点E是BC的中点， ∴CE＝BEBC＝2， ∵以点C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F， ∴CF＝CE＝2， ∴DF＝CD﹣CF＝2， ∴S扇形ECFπ，S△ABEAB•BD4×2＝4，S△ADFAD•DF4×2＝4， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S扇形ECF＝16﹣4﹣4﹣π＝8﹣π． 故选：A． 6【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【解答】解：∵一个底面半径为3cm的圆锥侧面展开后得到一个半径为9cm的扇形 ∴圆锥的侧面积为π×3×9＝27π（cm2）． 即这个扇形的面积为27πcm2， 故选：D． 7【答案】B 【分析】连接OB、OC，作OG⊥BC于G，利用正多边形的性质得∠BOC＝60°，再根据等边三角形的判定及性质得∠BOD＝30°，BC＝BO＝1，进而可得，再利用割补法求得正六边形的面积，进而可求解． 【解答】解：连接OB、OC，作OG⊥BC于G，如图： ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC60°， ∵OB＝OC，OG⊥BC， ∴∠BOG＝30°，BC＝BO， ∵BO＝1， ∴BC＝BO＝1，， ∴， ∴， ∴， ∴π的估计值为， 故选：B． 二、填空题（共7小题） 8．【答案】4π． 【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：扇形的弧长4π． 故答案为：4π． 9．【答案】． 【分析】作出辅助线证明△MOH≌△NOD（ASA），则可得S四边形ONDM＝S△DOH，再利用扇形面积公式即可求得阴影部分面积． 【解答】解：如图，连接OD，OF，OE交AD，DC于点M，N，过点O作OH∥DC交AD于点H， 由条件可知∠DAB＝∠DCB＝60°，∠ADC＝120°，AD＝DC＝2， ∴∠DAC＝∠DCA＝30°， 由条件可知DO⊥AC，， ∴， ∴， ∵OH∥DC， ∴∠MHO＝∠NDO＝∠DOH＝60°， ∴△DOH为等边三角形， ∴DO＝HO＝1， 由条件可知∠MOH＝∠NOH＝60°＝∠DOM， ∴△MOH≌△NOD（ASA）， ∴S四边形ONDM＝S△NDO+S△DOM＝S△MHO+S△DOM＝S△DOH， 过点D作DG⊥HO交于点G， ∴∠GDO＝30°， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．【答案】15π 【分析】先求圆锥的母线，再根据公式求侧面积． 【解答】解：由勾股定理得：母线l5， ∴S侧•2πr•l＝πrl＝π×3×5＝15π． 故答案为：15π． 11．【答案】3 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积2πR×5＝15π， ∴R＝3， 故答案为：3． 12．【答案】3π． 【分析】根据直角三角形的边角关系，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥OD于点H， ∵∠AOB＝30°，OA＝2， ∴AHOA， ∵OC＝AC， ∴∠OAC＝∠AOB＝30°， ∴∠ACB＝30°+30°＝60°， 设CH＝x，则AC＝2x， 在△ACH中，由勾股定理得， x2+（）2＝（2x）2， 解得x＝1（取正值）， 即CH＝1，AC＝2， ∴CD＝CA＝OC＝2， ∴S阴影部分＝S△AOC+S▱ACDE﹣S扇形OAB 22 2π ＝3π． 故答案为：3π． 13．【答案】60° 或120°． 【分析】根据正多边形内角和的计算方法求出每个内角的度数，再根据圆周角定理进行计算即可． 【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF120°， 如图1，当点M在优弧 上时， ∠BMF∠BAF＝60°， 如图2，当点M在劣弧 上时， ∠BMF（360°﹣∠BAF）＝120°， 故答案为：60° 或120°． 14．【答案】2 【分析】根据题意画出图形，先求出∠AOB的度数，再根据三角函数求出OA的长即可． 【解答】解：如图所示， ∵图中是正六边形， ∴∠AOB60°． ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形． ∵OD⊥AB，OD， ∴OA2； 故答案为：2． 三、解答题（共5小题） 15．【答案】（1）60°； （2）4π． 【分析】（1）在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO，利用弦和圆周角的关系即可求出∠BPF的值； （2）①证明△AOF是等边三角形即可求出；②利用三角函数求出，AD＝2AF，再根据△ADF的面积为，求出半径即可求出． 【解答】解：（1）如图所示，在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AF＝AB，， ∴， ∵AF＝AB， ∴∠APB＝∠APF＝30°， ∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝60°； （2）∵∠A0F＝60°，AO＝FO， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠DAF＝60°； ∴，AD＝2AF， ∴， ∴AF＝2，即⊙O的半径为2， ∴⊙O的面积＝π×22＝4π． 16．【答案】（1）证明见解析； （2）π． 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∴∠A+∠ABC＝90° ∵DO⊥AB， ∴∠A+∠D＝90° ∴∠D＝∠ABC； （2）解：设∠B＝α，则∠BCO＝α， ∵OE＝CE， ∴∠EOC＝∠BCO＝α， 在△BCO中，α+α+90°+α＝180°， ∴α＝30° ∴∠A＝60°， ∵OAAB＝3， ∴OC＝OA＝3，OD＝3，OA边上的高为， ∴S3×3π． 17．【答案】（1）见解析； （2）8π． 【分析】（1）根据圆周角定理求得∠BAD＝∠BOC，从而利用平行线的判定方法进行判定； （2）连接OD，根据OC∥AD，可得所求的面积等于扇形AOD的面积，根据扇形的面积公式即可得到答案． 【解答】（1）证明：C为的中点， ∴， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴∠BAD＝2∠BAC， ∵∠BOC＝2∠BAC， ∴∠BAD＝∠BOC， ∴OC∥AD； （2）如图，连接OD， ∵OC∥AD， ∴S△AOD＝S△ACD， ∴弦AC，CD与围成的图形面积等于扇形AOD的面积， ∵∠BAD＝50°，OA＝OD， ∴∠ODA＝∠BAD＝50°， ∴∠AOD＝80°， ∴扇形AOD的面积为8π， ∴弦AC，CD与围成的图形面积为8π． 18．【答案】（1）相等，6； （2）； （3）不够长；理由见解析． 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由r＝2，则解答即可． （2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为2πr，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可． （3）根据（2）得，得到A′P⊥PC，计算最短，继而得到，比较解答即可． 【解答】解：（1）根据圆锥侧面展开图的意义得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由r＝2，则， 解得l＝6， 故答案为：相等，6． （2）圆锥底面圆的周长为2πr，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论得：， 解得． （3）由条件可知r＝3， ∴， ∴A′P⊥PC， ∴， ∴， ∴2A′C＝6， ∵136， ∴不够长． 19．【答案】（1）3； （2）DB＝CD+BA，理由见解析； （3）AD的长14为或2． 【分析】（1）由“问题”呈现结论即可求解； （2）在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，证明△MAB≌△MGB（SAS）可得MA＝MG，由等腰三角形的性质可得DG＝DC，可得结论； （3）分两种情况讨论，由（1）结论可求解． 【解答】解：（1）由题意得：CD＝BD+BA，即CD＝BC﹣CD+AB， ∴CD＝16﹣CD+10， ∴CD＝13， ∴BD＝BC﹣CD＝16﹣13＝3； （2）DB＝CD+BA， 证明：在DB上截取BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，如图3， ∵M是弧AC的中点， ∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG， 又∵MB＝MB， ∴△MAB≌△MGB（SAS）， 又∵DM⊥BC， ∴DC＝DG， ∴AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA； （3）如图4，当点D1在BC下方时，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，连接AD1， ∵BC是圆的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝12，圆的半径为10， ∴BC＝20， ∴AC16， ∵∠D1AC＝45°， ∴CG1+AB＝AG1， ∴14， ∴， 当点D2在BC上方时，∠D2AC＝45°， 同理得， 综上所述：AD的长为14或2． 学科网（北京）股份有限公司 $