精品解析：江苏省南菁高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

江苏省南菁高级中学2025-2026学年度第一学期 高一年级期末考试数学试卷 命题人：蔡成骐 审题人：刘斌政 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. （ ） A e B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数、对数的运算法则计算各项，再合并求解． 【详解】，，，， ，故C正确． 故选：C． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，可得，即，即充分性成立； 若，例如，则，不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得. 故选：B 4. 已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个向量共线的性质列方程可求得实数的值． 【详解】向量，不共线，且，，与共线， 所以存在实数，使得， 所以， 求得实数或． 故选：C． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式，将逐步转化到，利用倍角公式即可求解. 【详解】 ， 故选：A. 6. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，按函数为增函数和减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案． 【详解】因为在上是单调的， 当时，，不满足条件； 当时，若在上单调递增，则，解得， 当时，若在上单调递减，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 7. 函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数和的图象，根据函数图象得到答案. 【详解】画出函数和的图象，其中，如图， 由图可知，当时，，两函数图象没有交点， 当时，两函数图象有3个交点， 当时，，两函数图象没有交点， 综上，函数和图象有3个交点， 所以，函数零点的个数为3. 故选：D 8. 若定义在上的函数满足对任意的，，都有，则称函数具有性质破晓.已知函数具有性质破晓，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，在上单调性，结合函数定义域利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】函数满足对任意的，，都有， 设，则，，即，， 令，则当，，在上单调递减， 则两边同乘，得，即， ， 即得到，， 故，解得. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 已知集合，则集合的真子集个数是3 C. D. 若是第一象限角，则为第一象限角 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、集合真子集的个数、向量运算和象限角的知识，逐项判断即可. 【详解】由题意得，， 又，，，，即，故A错误. 解不等式，解得，又,，故集合的真子集个数，故B正确. ，故C正确. 若是第一象限角，则，则， 当为偶数时，为第一象限角；当为奇数时，为第三象限角，故D错误. 故选：BC. 10. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. ，的夹角为 B. C. 在上投影向量为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量的运算依次判断选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，在上的投影向量为，故C错误； 对于D，，所以当时，取得最小值，，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（ ） A. ，都有 B 当时， C. 是减函数 D. 若，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，即可求出；令，计算可判断A；根据题意，当时，，可得，可判断B；利用单调性定义结合题意证明单调性，即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数的单调性解不等式即可判断D. 【详解】令，则，即， 令，所以，即，故A错误. 当时，，所以， 由，得，.故B正确： 任取,且，则 ， 因为，所以，所以， 又当时，，当时，，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减，故C正确： 因为，又， ， 所以，由不等式， 得， 又在上单调递减，所以，即，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 函数的单调减区间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 解得或， 所以函数的定义域为， 令， 所以函数的单调递减区间为， 又因为为增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 13. 已知函数，则当时，函数的值域为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式得到，利用整体思想得到的值域. 【详解】， ，，，，故的值域为. 故答案为：. 14. 我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.函数，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的对称性和单调性即可求解. 【详解】由， 所以有，则， 又由幂函数单调性可知在上单调递减，也在上单调递减， 所以在上单调递减， 则由可得：， 解得或， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由集合的运算，得到两个集合的关系，再分和两种情况讨论，最后取两种情况的并集； （2）先由是的充分不必要条件，得到是的真子集，再根据集合的关系列不等式组求解． 【小问1详解】 因为，所以， 当时，此时满足，则，解得； 当且，则，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，且不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 16. （1）若，求； （2）已知，且为锐角，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，结合两角差的正切公式计算即可求解； （2）利用同角的三角函数关系求出，根据二倍角公式求出，由两角和余弦公式计算可得，结合角的范围即可求解. 【详解】（1）∵， ∴； . （2）因为，且为锐角，所以， 因为，且为锐角，所以， 那么， ， 所以－， 因为，所以． 所以，故. 17. 函数的部分图象如下： （1）求函数的解析式，并写出定义域为时的增区间. （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，再将所得函数图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.在区间内，恰存在3个实数，使. （ⅰ）求函数的解析式，并直接写出实数的取值范围； （ⅱ）求的值. 【答案】（1），定义域为时的增区间为和 （2），； 【解析】 【分析】（1）根据图象可知的最大值、最小正周期、最大值点，可依次得到，从而可得的解析式，整体法可得上的单调递增区间.（2）（ⅰ）根据图象变换先得到的解析式，根据在上的图象可得实数的取值范围；（ⅱ）换元法可得与的三个交点，根据交点的对称性可得. 【小问1详解】 由图象可知的最大值为3，最小正周期为， 所以，解得， 所以， 将点的坐标代入上式得， 所以，解得， 又，所以，所以. 方法一：当时，， 而在上的单调递增区间为和， 令，解得；令，解得， 所以定义域为时的增区间为和. 方法二：令，解得， 当时，，可得在上的增区间为； 当时，，可得在上的增区间为， 综上，定义域为时的增区间为和. 【小问2详解】 （ⅰ）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，可得函数的图象， 再将所得函数图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象， 所以. 当时，. 令，若恰存在3个实数，使， 则的图象与直线恰有3个交点，如图， 由图可知，实数的取值范围是. （ⅱ）3个实数分别对应图中的， 因为关于直线对称，所以，即， 所以. 因为关于直线对称，所以，即， 所以. 综上，. 18. 已知函数. （1）讨论函数的奇偶性，说明理由； （2）若. （Ⅰ）用定义证明是增函数，并求解使不等式恒成立时实数的取值范围； （Ⅱ），函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）答案见解析 （2）（Ⅰ）证明见解析；实数的取值范围为.（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义判断即可. （2）（Ⅰ）当时，由（1）知为奇函数，用定义法可证明函数是增函数，将转化为在上恒成立问题，计算即可. （Ⅱ）由题意可得，令，利用换元法构造函数，分类讨论求最小值即可. 【小问1详解】 ，定义域为，关于原点对称，又， 当时，，所以为偶函数； 当时，，所以为奇函数； 当时，，，所以为非奇非偶函数. 综上所述：当时，为偶函数；当时，为奇函数； 当时，为非奇非偶函数. 【小问2详解】 （Ⅰ）当时，， 任取,且， ， 因为，所以，即，又因为，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增， 由，可得， 所以，，整理得：， 因为不等式在上恒成立， 所以，解得：，所以实数的取值范围为. （Ⅱ）， 由，得：， 由（Ⅰ）知为上的单调递增函数， 令，又，所以， 令， 若，当时，，解得； 若时，当时，，解得：（舍去）， 综上，． 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0或1； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得； （2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解； （3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即可得到，换元得到，参变分离，结合函数的单调性，计算可得. 【小问1详解】 当时，由可得，， 令，则，解得或， 即或，解得或， 的“准不动点”为0或1； 【小问2详解】 由得，， 即在上有解， 令，由可得，则在上有解， 故，当时，在上单调递增，，则，解得， 的取值范围； 【小问3详解】 由得，， 即，则， 又由指数函数的性质可知在上单调递增，，则， 即， 令，则，从而，则， 又在上均为增函数，则，， ，即，所以实数的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南菁高级中学2025-2026学年度第一学期 高一年级期末考试数学试卷 命题人：蔡成骐 审题人：刘斌政 本试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1 （ ） A e B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 7. 函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若定义在上的函数满足对任意的，，都有，则称函数具有性质破晓.已知函数具有性质破晓，则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡相应位置上） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 已知集合，则集合的真子集个数是3 C. D. 若是第一象限角，则为第一象限角 10. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. ，的夹角为 B. C. 在上的投影向量为 D. 的最小值为 11. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（ ） A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若，则不等式的解集为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 12. 函数的单调减区间是_________． 13. 已知函数，则当时，函数的值域为_____________． 14. 我们知道，设函数的定义域为，如果对任意，都有，，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形.函数，若，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本大题共6小题，共计77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合． （1）若，求实数取值范围； （2）已知，若是充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. （1）若，求； （2）已知，且为锐角，求的大小. 17. 函数的部分图象如下： （1）求函数解析式，并写出定义域为时的增区间. （2）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，再将所得函数图象上所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.在区间内，恰存在3个实数，使. （ⅰ）求函数的解析式，并直接写出实数的取值范围； （ⅱ）求的值. 18. 已知函数. （1）讨论函数的奇偶性，说明理由； （2）若. （Ⅰ）用定义证明是增函数，并求解使不等式恒成立时实数的取值范围； （Ⅱ），函数在上的最小值为，求实数的值. 19. 设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数 （1）若，求的“准不动点”： （2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围： （3）设函数若使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $