精品解析：广东广州市西关外国语学校2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试卷

2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义一一判断即可．轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠直线两旁的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形. 【详解】解：第一个图形是轴对称图形， 第二个图形是轴对称图形， 第三个图形是轴对称图形， 第四个图形不是轴对称图形， 故有3个轴对称图形． 故选：C． 2. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据已知两边长度，确定第三边的取值范围，再判断哪个选项不在该范围内． 【详解】解：设第三边长度为． ∵ 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴， 即． 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 3. 要使分式有意义，则的取值应该满足(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件（分母不为0）是解题的关键． 4. 因式分解时，应提取的公因式是（ ） A. 6a B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的. 多项式中，各项系数的最大公约数是2，各项都含有的相同因式是，且因式的指数最低是2，所以得出结果. 【详解】解：多项式分解因式， 6，4的最大公约数是2，各项都含有相同因式为， 故提出公因式. 故选：D. 5. 若对，则括号内应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据单项式乘单项式的运算法则进行运算即可． 【详解】解：∵， ∴括号里应填的代数式为：. 故选：C． 6. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的约分等知识点，掌握最简分式的概念是解题的关键． 根据“分子与分母没有非零次的公因式的分式叫最简分式”逐项判断即可． 【详解】解：A. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意； B. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；      C. 的分子分母没有有非零公因式，是最简分式，符合题意；      D. 的分子分母有非零公因式，不是最简分式，不符合题意；     故选：C． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式除以单项式，根据运算法则进行计算即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 8. 已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出，则即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方运算，解答的关键是对同底数幂的乘法的运算法则的掌握与灵活运用． 9. 已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，轴对称图形的对称轴的判断，解题的关键的掌握五个基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，过一点作已知直线的垂线，作角的角平分线，作线段的垂直平分线），据此分析即可作出判断． 【详解】解：①如图是作的角平分线，则该射线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； ②如图是过一点作线段所在直线的垂线，则该垂线不一定平分线段，即该垂线不一定是线段的垂直平分线，则该垂线不一定是线段的对称轴，故该作图符合题意； ③如图是作线段的垂直平分线，则该垂线所在的直线为的对称轴，故该作图不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中： ①； ②为等腰三角形； ③； ④， ⑤的最小值是； 正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】利用的性质证明，可得①符合题意；证明，可得，，再证明，可判断②符合题意；由，，可判断③符合题意；由，可得，可判断④符合题意；如图，过作于，过作于，而，平分，可得，则当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的，再求解的长度可判断⑤，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴，，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故②符合题意； ∵，， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴，故④符合题意； 如图，过作于，过作于，而，平分， ∴， ∴当，，关系，且时，最短，即最短，即图中的， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴的最小值为1；故⑤不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，数据0.00105用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照科学记数法的表示形式表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了把绝对值小于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值，，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数． 12. 把分解因式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握平方差公式是解本题的关键． 13. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过原式约分即可得到结果．此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，分母有理化．由折叠的性质知，利用等积法列式计算即可求解． 【详解】解：设点的对应点为点，连接， ∵正方形边长为1， ∴， 由折叠的性质知， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，的角平分线交于点，若，则的度数为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，外角和的性质，角平分线的定义，根据题意，如图所示，延长交于点，设交于点，根据角平分线的定义可得，根据三角形的内角和，外角和的性质可得，，然后①②得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，设交于点， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴①②得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 何老师请他的学生小弘做一个数字游戏： 第一步：取一个整数，计算得； 第二步：算出的各位数字之和得，计算得； 第三步：算出的各位数字之和得，计算得； 以此类推，请计算________ ，_______ ． 【答案】 ①. 122 ②. 65 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，数字的变化规律． 根据题意分别得出前几个代数式的值，再总结出其变化规律，即可解答． 【详解】解：题意可得： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ，， ，， …… ∴从开始，按照65、122、26的顺序开始循环， ∵， ∴是第675组的第一个，即， 故答案为：122；． 三．解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，提公因式，利用完全平方公式，平方差公式分解因式，掌握因式分解的方法与步骤是解题的关键． （）利用提公因式法提公因式后，再按照平方差公式分解即可； （）先进行单项式乘以多项式运算，然后提取公因数，再按照完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据． 已知：如图，在中，，且，于点．交的延长线于点． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， ∵（已知）， ∴_______（两直线平行，内错角相等）， ∴_______（_______）， ∴平分（_______）， ∵，（已知）， ∴（_______． 【答案】 等边对等角；；，等量代换；角平分线的定义；角平分线上的点到角两边的距离相等． 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 根据角平分线的定义，平行线的性质及角平分线的性质依次填空解答． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 20. 如图1，在中，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）如图2，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点E，交的延长线于点F．已知，求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、含的直角三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）根据含的直角三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后在中，运用含的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 21. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由图得； 故答案：； 【小问2详解】 解：，， ， 解得：． 22. 学校组织学生到距离为15千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，40分钟后，其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达．如果大巴的平均速度是自行车平均速度的3倍，那么自行车的平均速度是多少？ 【答案】自行车的平均速度是 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设自行车的平均速度为，则大巴车的平均速度为，根据题意找出等量关系“自行车的行驶时间大巴车的行驶时间=40分钟”，列出方程求解即可． 【详解】解：40分钟小时， 设自行车的平均速度为，则大巴车的平均速度为， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：自行车的平均速度是． 23. 如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． （1）①求证：； ②求的度数； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴； ② （2） 解：， 理由：过点作于点，如图所示： ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）①利用“”证明全等即可；②根据全等的性质，得，结合对顶角相等，可求出的度数； （2）过点作于点，证明，得到，再依次证明、，即可证出． 【小问1详解】 解：①略 ②解：∵， ∴， ∵， ∴， 故． 【小问2详解】 略 24. 某小区有一块休闲空地，其形状为直角，，米，米，米．社区计划在这块空地上种植花卉，为此设计了两种围三角形篱笆的方案．已知白色篱笆每米20元，金色篱笆每米30元． （1）先测算空地的基础数据，点到的距离为_____米； （2）方案一：若准备围出一块三角形区域种月季，如图1，分别在，边上取点，，围成，使得的面积为2平方米，且边用白色篱笆，边用金色篱笆，边不用篱笆，求该方案所需篱笆费用的最小值； 参考公式：对任意正实数，，有下列式子成立：；（当且仅当时取等号）． （3）方案二：若准备围出一块三角形区域种雏菊，如图2，分别在，，边上取点，，，围成，各边均使用白色篱笆，求该方案所需篱笆费用（元）的范围． 【答案】（1）米 （2）元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等面积法、不等式的应用、轴对称的应用等知识点，灵活运用轴对称的性质求最值是解题的关键． （1）直接运用等面积法求解即可； （2）由题意可得该方案所需篱笆费用，，即，再根据不等式的性质求解即可； （3）如图：作D关于的对称点，作D关于的对称点，连接，则的周长为，即当共线时，取最小值；进而求得，然后求费用的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设点到的距离为h， ∵的面积为， ∴，解得：米． ∴点到的距离为米． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设， 根据题意可得：该方案所需篱笆费用，，即， ∵， ∴， ∴该方案所需篱笆费用的最小值元． 【小问3详解】 解：如图：作D关于的对称点，作D关于的对称点，连接， ∴， ∴的周长为， ∴当共线时，取最小值， ∵， ∴点C在上，即共线， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合． 【答案】（1） 证明：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴． （2） （3） 证明：延长、交于点， 由（2）知，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此时的值最小， ∵点是直线上的动点， ∴当的值最小时，点与点重合． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路径问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）证明即可； （2）由，则，又因为，根据等腰三角形的性质即可求解； （3）延长、交于点，通过角度之间的等量代换，证得，即可得，则，故可证明此时点与点重合． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（ ） A. 10 B. 8 C. 7 D. 5 3. 要使分式有意义，则的取值应该满足(　　) A. B. C. D. 4. 因式分解时，应提取的公因式是（ ） A. 6a B. C. D. 5. 若对，则括号内应填的代数式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分式中，最简分式是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，那么x，y，z满足的等量关系是（ ） A. B. C. D. 9. 已知、线段、线段，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中为外任一点），则不一定正确的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ①和② 10. 如图，在等腰直角三角形中，，，平分交于点D，以为一条直角边作，其中交于点F，交于点G，线段上有一动点P，于点Q，连接，则下列结论中： ①； ②为等腰三角形； ③； ④， ⑤的最小值是； 正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为0.00105cm，数据0.00105用科学记数法表示为______． 12. 把分解因式为___________． 13. 计算：______． 14. 如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点A的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点E，那么的长是________． 15. 如图，的角平分线交于点，若，则的度数为_________． 16. 何老师请他的学生小弘做一个数字游戏： 第一步：取一个整数，计算得； 第二步：算出的各位数字之和得，计算得； 第三步：算出的各位数字之和得，计算得； 以此类推，请计算________ ，_______ ． 三．解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解 （1）； （2）． 18. 阅读下列推理过程，将空白部分补充完整，在括号中填写依据． 已知：如图，在中，，且，于点．交的延长线于点． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， ∵（已知）， ∴_______（两直线平行，内错角相等）， ∴_______（_______）， ∴平分（_______）， ∵，（已知）， ∴（_______． 19. 先化简，再求值：，其中 ． 20. 如图1，在中，，的平分线交于点D． （1）求的度数； （2）如图2，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点E，交的延长线于点F．已知，求的长． 21. “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用． 例1：如图1，可得等式：； 例2：由图2，可得等式：． （1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．从中你发现的结论用等式表示为__________． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知．求的值． 22. 学校组织学生到距离为15千米的公园参加露营活动，一部分同学骑自行车先走，40分钟后，其余同学乘坐大巴前往，结果他们同时到达．如果大巴的平均速度是自行车平均速度的3倍，那么自行车的平均速度是多少？ 23. 如图，在与中，，，且，过点作，垂足为，交于点，延长交于点，连接． （1）①求证：； ②求的度数； （2）猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． 24. 某小区有一块休闲空地，其形状为直角，，米，米，米．社区计划在这块空地上种植花卉，为此设计了两种围三角形篱笆的方案．已知白色篱笆每米20元，金色篱笆每米30元． （1）先测算空地的基础数据，点到的距离为_____米； （2）方案一：若准备围出一块三角形区域种月季，如图1，分别在，边上取点，，围成，使得的面积为2平方米，且边用白色篱笆，边用金色篱笆，边不用篱笆，求该方案所需篱笆费用的最小值； 参考公式：对任意正实数，，有下列式子成立：；（当且仅当时取等号）． （3）方案二：若准备围出一块三角形区域种雏菊，如图2，分别在，，边上取点，，，围成，各边均使用白色篱笆，求该方案所需篱笆费用（元）的范围． 25. 如图，已知，，． （1）求证：； （2）求的度数； （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $