6.3.5平面向量数量积的坐标表示（3知识点+6题型+随堂练习）-2024-2025学年寒假预习课程同步讲练（人教A版2019必修第二册）

6.3.5平面向量数量积的坐标表示 明确学习目标 课标要求 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 重点难点 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 平面向量数量积的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a·b=x1x2+y1y2. 知识点2 平面向量的模 1.若a=(x，y)，则|a|2=x2+y2或|a|=. 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=. 知识点3 平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是a与b的夹角. (1)cos θ==. (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 提升学科能力 题型一 数量积的坐标表示 例1．已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用向量的坐标运算求解. 【详解】，， ， . 故选：B. 跟踪训练 1．已知向量，则 . 【答案】 【分析】由向量运算的坐标表示及数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以，所以 故答案为： 2．已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算即可. 【详解】易知. 故答案为： 3．已知向量，，则 . 【答案】 【分析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以， 故答案为： 题型二 向量垂直的坐标表示 例2．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据向量垂直列方程，结合向量的数量积运算来求得的值. 【详解】因为，所以，即， 即，则． 故选：A 跟踪训练 1．已知向量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据向量的数量积，通过用坐标表示平面向量垂直的条件计算求解即可. 【详解】因为， 所以，解得． 故选：A. 2．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 【答案】A 【分析】由题意可得，利用向量的坐标运算可得，求解即可. 【详解】由题意可知.因为，， 所以，整理得，解得或. 故选：A. 3．已知，，向量与垂直，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】向量，，则，， 由向量与垂直，得，所以. 故答案为： 题型三 模的坐标表示 例3．设，向量，，且，则（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量加法和模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为，所以，即，所以， 则，所以， 故选：C 跟踪训练 1．已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】直接利用平面向量的坐标运算求出，再求模. 【详解】因为，， 所以，则． 故选：B． 2．已知向量，，则= 【答案】5 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 3．已知，，则 . 【答案】10 【分析】根据题意，由向量模长的坐标表示代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以. 故答案为： 题型四 夹角的坐标表示 例4．已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量，再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得，所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为． 故选：A. 跟踪训练 1．已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，计算的值，再根据平面向量夹角公式求值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 则，解得，则， 所以， 又，所以. 故选：B. 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角余弦的计算公式即可求得的值. 【详解】， 故选：A. 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量夹角坐标形式公式可得答案. 【详解】由题， 则. 故选：C 题型五 投影向量的坐标表示 例5．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则向量在向量方向上. 故选：A 跟踪训练 1．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求得未知向量的坐标，根据投影向量的计算公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：D. 2．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由题得，所以， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 3．已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的夹角公式计算即可. （2）利用投影向量的定义求解即得. （3）根据向量垂直关系的坐标表示列式求解即可. 【详解】（1）由，得，， 因此，而， 所以向量与的夹角. （2）向量在向量上的投影向量为. （3）依题意，，，由向量与垂直， 得，所以. 题型六 数量积坐标表示的参数问题 例6．已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）因为向量 则，， 又因为，则， 可得，解得或， 且，则，则，， 所以. （2）由，则， 由，可得，解得，即， 可得，，， 则， 且，所以向量与的夹角. 跟踪训练 1．已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】由，有，求出的值，得的坐标，可求. 【详解】向量，， 若，则，解得，所以， 可得，. 故选：D. 2．已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】根据向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于0且两向量不平行，可求的值. 【详解】由， 由. 所以向量与夹角为钝角时，且. 故选：B 3．已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 质量检测评价 一、单选题 1．设向量，，则等于 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由向量数量积的坐标公式直接代入求得. 【详解】解： 故选：B 【点睛】本题考查向量数量积的坐标公式应用，属于容易题. 2．设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，结合向量模的坐标表示计算得解. 【详解】由，，得，所以. 故选：B 3．已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积运算列方程，化简求得的值. 【详解】. 故选：D 4．直线上单位向量为，直线上有，两点，，若，则的值为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义求，由条件结合向量垂直的坐标表示求. 【详解】因为为直线上的单位向量， 所以， 所以或， 因为，为直线上两点，， 所以，故， 因为，所以， 当时，， 当时，， 故选：D. 5．已知向量，满足，，且， 则= （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用向量的坐标运算，及模的坐标表示列出方程组求解即得. 【详解】设，而，则，又且， 因此，解得， 所以. 故选：B 6．若向量，，则在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量. 故选：B. 二、多选题 7．向量则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，在上的投影向量为 D．当时，的夹角为钝角 【答案】BC 【分析】由向量平行和垂直的冲要条件可得A错误，B正确；由投影向量的计算可得C正确；举反例可得D错误； 【详解】对于A，当时，因，则两向量不平行，故A错误； 对于B，当时，， 又，所以，故B正确； 对于C，当时， 则在上的投影向量为，故C正确； 对于D，当时，反向共线，故D错误； 故选：BC. 8．已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【分析】根据向量坐标运算及模的定义判断A，根据向量平行可得坐标关系判断B，根据垂直向量的数量积为0判断C，根据投影向量的概念判断D. 【详解】对A，，，，所以，故A错误； 对B，，，当时，，即，故B正确； 对C，，由可得，即，故C正确； 对D，在的投影向量为，故D错误. 故选：BC 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．若，则t的值为2 C．若与的夹角为45°，则或 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 【答案】AB 【分析】利用向量模的坐标表示求解判断AB；利用夹角公式求解判断CD. 【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，则，解得，B正确； 对于C，，解得或，而，无解，C错误； 对于D，由与的夹角为钝角，得且与不共线，则，且， 解得且，D错误. 故选：AB 三、填空题 10．已知向量，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】由向量垂直可得其数量积为，再借助向量数量积公式计算即可得. 【详解】， 由，则有，解得. 故答案为：. 11．已知向量，，，则 . 【答案】 【分析】首先需要求出向量和的坐标，然后根据向量夹角余弦值公式来计算. 【详解】已知，，则. 已知，，则. . ，. . 故答案为：. 四、解答题 12．已知，. (1)求向量的坐标； (2)求向量，的夹角； 【答案】(1)； (2). 【分析】运用向量的坐标运算,结合夹角公式进行计算即可. 【详解】（1）因为，，所以. （2）由题得. 因为，所以向量，的夹角. 13．已知． (1)若， 求与的夹角的余弦值； (2)若， 求实数的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）直接得到，根据向量夹角的余弦的坐标公式计算即可； （2）通过转换得，解方程即可得解. 【详解】（1）若，则， 所以； （2）因为，， 所以， 解得. 14．已知，. (1)设向量，的夹角为，求的值； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若和互相垂直，求k的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据条件计算，和，利用可得结果. （2）利用投影向量的公式计算可得结果. （3）根据两向量垂直可得，利用数量积的坐标运算可得结果. 【详解】（1）∵，， ∴，，， ∴. （2）向量在向量上的投影向量为. （3）由题意得，，， ∵和互相垂直， ∴，即， 解得或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 明确学习目标 课标要求 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 重点难点 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. 知晓结构体系 夯实必备知识 知识点1 平面向量数量积的坐标表示 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则a·b=x1x2+y1y2. 知识点2 平面向量的模 1.若a=(x，y)，则|a|2=x2+y2或|a|=. 2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=. 知识点3 平面向量的夹角、垂直问题 设a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是a与b的夹角. (1)cos θ==. (2)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 提升学科能力 题型一 数量积的坐标表示 例1．已知向量，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 跟踪训练 1．已知向量，则 . 2．已知向量，，则 ． 3．已知向量，，则 . 题型二 向量垂直的坐标表示 例2．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D．0 跟踪训练 1．已知向量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 2．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 3．已知，，向量与垂直，则实数的值为 . 题型三 模的坐标表示 例3．设，向量，，且，则（   ） A． B． C． D．10 跟踪训练 1．已知，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知向量，，则= 3．已知，，则 . 题型四 夹角的坐标表示 例4．已知向量，若，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知向量且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．若，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 题型五 投影向量的坐标表示 例5．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 2．已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 3．已知向量，满足. (1)求向量与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若向量与垂直，求实数的值. 题型六 数量积坐标表示的参数问题 例6．已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 跟踪训练 1．已知向量，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 质量检测评价 一、单选题 1．设向量，，则等于 A．1 B．2 C．3 D．4 2．设平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，若则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 4．直线上单位向量为，直线上有，两点，，若，则的值为（    ） A．或 B． C． D．或 5．已知向量，满足，，且， 则= （    ） A． B． C． D． 6．若向量，，则在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．向量则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，在上的投影向量为 D．当时，的夹角为钝角 8．已知向量，，满足，，，则（    ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．若，则t的值为2 C．若与的夹角为45°，则或 D．若与的夹角为钝角，则t的取值范围是 三、填空题 10．已知向量，，若，则 ． 11．已知向量，，，则 . 四、解答题 12．已知，. (1)求向量的坐标； (2)求向量，的夹角； 13．已知． (1)若， 求与的夹角的余弦值； (2)若， 求实数的值． 14．已知，. (1)设向量，的夹角为，求的值； (2)求向量在向量上的投影向量； (3)若和互相垂直，求k的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$