普通高中2025-2026学年上学期高一年级期末考试数学试题（北师大版）

秘密★启用前 普通高中2025一2026学年（上）高一年级期末考试 数学（北师大版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 C 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 装 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知a为实数，集合A={xx2-4x十a=0}中有且仅有一个元素，则a= A.3 B.4 C.6 D.9 2.若a是第一象限角，3a是第三象限角，则a构成的集合为 订 A{a2kx<a<+2kxk∈2) B包|晋+2x<a<5+2x∈z☑ c|肾+2x<a<受+2x∈z) 班 级 线 D.a2kx<a<+2kx(h∈z) 3.样本数据210,224,201,244的60%分位数为 A.224 B.210 C.217 D.238 姓 名 4.现某人随机进行二进制码0,1的输人，输人结果如下：0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,0,0,0， 0,1,0,1,用频率估计概率，记其输人1的概率为p,则p= A哥 A话 c惜 Dis 5.已知函数f(x)在[1,2]上有定义，设甲：f(x)在[1,2]上单调递增，乙：f(2)>f(1),则 A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 数学（北师大版）试题第1页（共4页） 6,伯努利原理是流体力学中的基本定律之-，其数学表达式为P=一2一gh十C,其 中p为压强（单位：帕斯卡），ρ为密度（单位：千克每立方米），g为重力加速度（取10米 每二次方秒)，C为常数（单位：帕斯卡），v为速度（单位：米每秒），h为高度（单位：米）. 现对某液体增压，使其在空中匀速下降，此时h=,C=10,t为运动时间（单位：秒）. 若当运动时间为2秒时，在v∈[0,1]时，函数p(v)有且仅有1个零点，则该液体密度的 最小值是 A贵 R碧 30 41 D引 7.某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9人平均分成三组， 则小蓝和小黄不在同一组的概率为 A号 B吉 c号 8.已知函数f(x)=3-+x,函数g(x)=x十logx,设a=f(2026),b=g(3225),则 A8∈1,2) B号∈(2,3) c8e(3,4) D后∈4， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1,2,3,4，记其投出后落地与水平面接触 的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为X,第二次得到的点数为Y,记事件 A=“X十Y为偶数”，事件B=“X十Y为奇数”，事件C=“XY为偶数”，则下列正确的有 A.A与B互斥 B.A与B相互独立 C.A与C相互独立 D.P(BC)=P(B) 10.定义在R上的函数f(红)满足Y1>,都有f,)-fz>5,设函数g(x)= x1一x2 f(x)一5x,若f(0)>0,则下列正确的有 A.g(x)单调递减 B.f(10)>50 C.g(x)在[0，十∞)上无零点 D.f(20)<100 11.已知样本数据x1,x2,x3的方差为6，则下列正确的有 A.该组样本数据的平均数无最值 B.数据x1一x2,x2一x3,x3一x1的方差为9 C,该组样本数据极差的最大值为6 D.该组样本数据极差的最小值为3√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知某扇形的面积为S,弧长为1，若S=32,则该扇形的圆心角对应的弧度数 为 数学（北师大版）试题第2页（共4页） 13.设函数∫(x)=ax3-x2-ax十1(a为实数)，则曲线y=f(x)经过的所有定点的坐标 为 2 14.若0<b<2<a,4+(a+6-4)(a-b)=2p十(a-2)6-25则a+6= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、(13分) sin(2a-2026π)cos 3 (1)化简： 2-a cos(+2a） (2)借助单位圆，讨论函数u=cosa在 一）上的单调性 16.(15分) 无土栽培是未来太空探索所必需的技术，现用相同的种子分别在无土环境与土壤环境 中种植，将两种环境下生长的植株各分成五组，分别计算各组植株的平均高度（单位： cm),得到如下表格： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 无土环境 12.8 13.2 13.1 12.9 13.0 土壤环境 15.2 16.4 14.9 17.3 16.2 规定：记第i组中无土环境生长植株的平均高度为d:,土壤环境生长植株的平均高度 为若号习 d,一h,|<3,则称两种环境下植株生长差异较小，否则称两种环境下 植株生长差异较大， (1)求土壤环境中5组植株平均高度的中位数和极差； (2)证明：两种环境下植株生长差异较大， 数学（北师大版）试题第3页（共4页） 17.(15分) x十a,x<0, 已知函数f(x)=b,x=0,是奇函数，且a,b,c均为实数. cx+2,x>0 (1)求a+b+c的值； (2)若f(-x)<f(2一m)当且仅当x>2时成立，求m的值. 装 18.(17分) 已知函数f(x)=x-是 (1)用定义法证明：f(x)在(0，+∞)上单调递增. (2)设函数g(x)=f(x)十2lnx. （1)证明：g(1)+g(2)+…+g(2026)<-2026g(2026: 订 (i)证明：当x>0时，e-ex+2x>0. 注意清点有无漏印或缺页， 19.(17分) 已知a为实数，且函数f(x)=log2(4+1)十ax为偶函数. 若有要及时更换 (1)求a的值， (2)已知m∈R,若方程f(x)=m有两个不相等的实数根x1,x2,且以2,2， 线 2为 边长能构成三角形。 (1)求m的取值范围； (‖)若该三角形恰为直角三角形，求m的值. 数学（北师大版）试题第4页（共4页）普通高中2025一2026学年（上）高一年级期末考试 数学（北师大版）评分细则 12. 设x>0,则f(x)十f(一x)=cx+2十(-x)十 a=(c-1)x+a+2=0, (4分) 13.（-1,0),(0,1),(1,0)(表述合理即给分) 解得a=-2,c=1, (6分) 14.4 于是a十b+c=-1. (7分) 15.解：(1)由诱导公式可得 x-2,x<0, sin(2a-2026元)cos2-a 3π (2)此时f(x)=0,x=0,易知f(x)是增函 x+2,x>0, cos(+2a 数， (8分) 元 sin 2acos(-2-a) 可知f(-x)<f(2-m)等价于-x<2-m,即 (3分) 2+x-m>0, (10分) sin 2a 由“当且仅当x>2时成立”知(2，十∞)为该不等 =-os(受+) (5分) 式的解集， (12分) =sin a. (6分) 而显然函数g(x)=22十x一m为增函数， (2)作出单位圆， (13分) 于是只能g(2)=0,即4+2-m=0,解得m=6. (15分) 18.证明：(1)设0<x1<x2,f(x2)-f(x1)=x2 人1十=x2一x1+21>0, (4分) x2 x1 3x1x2 (9分) 于是f(x)在(0，+∞)上单调递增， (5分) 可知u=c0sa在[一0上单调递增，(1分) 2)i)显然g（x)=x-+2nx单调递增， 在0，石)上单调递减。 (13分) (6分) 16.解：(1)将土壤环境中5组植株平均高度按照从小 8(）=-x+2n=-(-+2nx) 到大的顺序排列为14.9,15.2,16.2,16.4,17.3， g(x), (9分) (2分) 易得其中位数为16.2， (4分) 于是一g2026) /1 =g(2026), (11分) 其极差为17.3-14.9=2.4. (6分) 由g(x)是增函数，知g(1)十g(2)十…十g(2026)< (2)证明：易得a-号（12.8+18.2+18.1+ 2026g(2026), 原命题成立 (13分) 12.9+13.0)=13.0, (9分) (i)注意到g(1)=1-1十0=0， (15分) 万=号15.2+16.4+14.9+1.3+16.2)=16.0， 故当x>0时，0=g(1)<g(e)=e-ex+2x. (12分) (17分) 故号2d-k=160-1a0=8≥8 19.解：(1)因为函数f(x)为偶函数，所以对于任意 x∈R,都有f(一x)=f(x).由函数解析式可得 (14分) f(-x)=log2(4x+1)+a(-x)=log2(4+1) 故两种环境下植株生长差异较大。 (15分) 2x-ax. (1分) 17.解：(1)由奇函数的性质知b=f(0)=0,(2分) 令f(-x)=f(x),即log2(42+1)-2x-ax= ·数学（北师大版）评分细则（第1页，共2页)· log2(4+1)+ax.化简得2ax=-2x,该式对任 1.故m的取值范围是(1，log431一1).(10分) 意x∈R恒成立，所以2a=-2,解得a=-1. √15 (3分) （)若以2,2为边长构成直角三角形，分 经检验，当a=-1时，f(x)=log2(4+1)-x= 两种情况讨论：若以固定边为斜边，则有勾股 log2(2+2-x),满足f(-x)=f(x),故a=-1. (4分) 定理得片+=（西），即十)P-24: (2)由(1)知a=-1,方程f(x)=m等价于 15 1o:(4+1D-x=0,即16g:(2）=m,放得 年，代入玉+2=2m和1t2=1可得4”=，解 2十2x=2m. 3 得m=1og44 =log423一1.检验满足条件，符合 令t=2,因为x为实数，所以t>0, (1)中m的范围 (13分) 方程化为叶}=2，整理得关于：的一元二次方 若以t1(或t2)为斜边，不妨设t1为斜边，根据勾 程t2一2mt+1=0.因为原方程有两个不相等的实 股定理可得号+（西）=行，即行-疗- 4 数根x1,x2,所以上述关于t的方程有两个不相 (t1-t2)(t1+t2)= 1 等的正数根t1,t2: ,也即(6，-t2)2(十t2)2- 由韦达定理得t1+t2=2m,t1t2=1,且△= (-2m)2-4>0,解得m>1. (7分) (5),即[e,+)-a+-2代 15 入t1十t2=2m和t1t2=1,可得(4m一4)× 此时三角形的三边长分别为t1,t2, 2 426 16 （1)由于1+g=2”>2且 2 <2,故t1+t2> 令X=4",代入得(X一4)X=225 恒成立 16, (8分) 化简得16X2-64X-225=0,即(4X-25)(4X+ 16-41⑤ ,他即，-)<界则a十 9》=0,解得X=华或X=-号（合去）.即4” 26 -,<只，代人得(2)P-4<5,则4”< ,解得m-lcg,5-1og5一1.检验满足条作， 符合(1)中m的范围. 31 41 (9分) 综上所述，实数m的值为log423-1或1og25-1. 又4>4，可得4<4<，解得1<m<10g,31- (17分) ·数学（北师大版）评分细则（第2页，共2页)·普通高中2025一2026学年（上）高一年级期末考试 数学（北师大版）参考答案 1.B【解析】由条件知△=(-4)2-4a=4×(4-a)= 0,解得a=4. 8.B【解析】注意到8(3)=3十x=f(),故号 故选B. f(2026) g2m+202632026+2025X3=3,且 f(2025)32o25+2025 、32025+2025 2.C【解析】记k∈Z,则2π<a<受+2kx,可知 32026+2026 2·32025+32025十2026 32025+2025 6x<3a<3经十6快，由第三象限角知 32025+2025 2.3295+2×2025=2. 32025+2025 6kr十元<3a<3+6x,于是。构成的集合为 故选B o智+2r<a<受+2xeD. 9.AD【解析】对于A选项，显然A,B不会同时发 生，故二者互斥，A正确； 故选C. 对于B选项，此时P(AB)=0≠P(A)P(B),B 3.A【解析】数据从小到大排列为201,210,224， 错误； 244.由题意可知4×0.6=2.4不为整数，易得样本 对于C选项，A:(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2, 数据的60%分位数为224. 故选A. 2.2,4.(4,2).(4,4,放P(A)=-2 4.B【解析】经统计得共有18个结果，其中共有7个 1,可得频率为品，由颜率估计概率，得P= 7 C:1,D,1.30.3,1D.3,3,故P(C=1- ,而AC:(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),P(AC)= 3 故选B. 5.A【解析】对于充分性，由单调递增性质显然有 1 3 4≠8=P(A)P(C),C错误； f(2)>f(1),充分性成立，对于必要性，考虑 f(x)=2x2-5x,此时f(2)=-2>-3=f(1), 对于D选项，若X十Y为奇数，显然X,Y一奇一 但其在[1,2]上不是单调递增的，必要性不成立. 偶，此时XY为偶数，显然P(BC)=P(B), 故选A D正确. 故选AD. 6.C【解标】由条件知此时p(o)=一2m-p× 10.BC 【解析】因为f(x)满足）-fx》5, 2pw2-2000十10，注意到p(0)= 1 x1一x2 10×20+10=- 即g(x1)=f(x1)-5x1>g(x2)=f(x2)-5.x2, 10>0,故由零点存在定理知p(1)=一 2p-20p+ 由函数单调性的定义可知函数g(x)单调递增，故 A错误； 10--41 20 -2p+10≤0，可得p≥ 11 令x1=10,x2=0易得f(10)-f(0)>50,因为 故选C. f(0)>0,则f(10)>50,故B正确； 易得g(0)=f(0)>0,且g(x)单调递增，故C 7.D【解析】先固定小蓝，则剩余8个空位，若小黄 选择除小蓝组的2个空位的其余6个空位，则小黄 正确； 与小蓝不为一组；若小黄选择小蓝所在组剩余的2 令x1=20,x2=0易得f(20)-f(0)>100,则 f(20)>100,故D错误， 个空位，则小黄与小蓝为一组，故由古典概型计算 故选BC 可知小蓝和小黄不在一组的概率P二名=名. 11.ACD【解析】由方差的性质可知数据x1,x2,xa 故选D. 的方差与数据x1十k,x2十，x3十的方差相同. ·数学（北师大版）答案（第1页，共4页）· 由的任意性，所以数据x1,x2,x3的平均数无 最值，故A正确； 2-b且a-2>0,2-6>0.显然函数f(x)= 1 设数据x1,x2,x3的平均数为x1,方差为D1,数 2+x2-在(0，+∞)上单调递增，故由f(a 据x1一x2,x2一x3,x3一x1的平均数为x2,方差 2)=f(2-b)得a-2=2-b,即a+b=4. 为D2 15.解：(1)由诱导公式可得 即x,-4十十，=0，D,=++x道 3 3 sin(2a-2026mcos经-a） z=x1-x)P+(xz)2+(x,-x) 9 os经+2a） D=-+6+6x)-= sin2aeos(--a） 3 (3分) -sin 2a (x1-x2)2+(x2-xa)2+(x1-x3)2 3 =3D1 =-cos(经+a） (5分) 由D1=6,所以D2=3D1=18,故B错误； =sin a. (6分) 不妨设x1≥x2≥x3,所以x1一x3是数据x1,x2, (2)作出单位圆， xg的极差.根据2(a2+b2)≥(a+b)2可得2[(x1 y x2)2+(x2-x3)2]≥(x1-x3)2, 2(x1-x3) 所以D1≥ (x1-x) 9 6,即x1 x3≤√6D1=6,当且仅当x1十x3=2x2时取等 (9分) 号，故C正确； 又a≥0，b≥0时，有a2+b2≤(a+b)2,由x1一 可知&-08在[-号0)上单周递摊，（1分 x2≥0，x2-x3≥0，所以(x1-x2)2+(x2-x3)2≤ 在[0，)上单调递减。 (13分) x)2,所以D,≤2(，x) 9 ,即x1一x3≥ 16.解：(1)将土壤环境中5组植株平均高度按照从小 到大的顺序排列为14.9,15.2,16.2,16.4,17.3， D=3V3,当x1=x:或x,=x时取等号， V (2分) 故D正确. 易得其中位数为16.2， (4分) 故选ACD. 其极差为17.3-14.9=2.4. (6分) 12.后【解析】记扇形的圆心角为e,半径为7，显然 (2②)证明：易得a=号12.8+13.2+13.1+ a,l=a于是7r=3%y,易知or≠0， S=1 12.9+13.0)=13.0, (9分) 6-1(15.2+16,4+14.9+17.3+16.2)=16.0, 于是a=合 (12分) 13.(-1,0),(0,1),(1,0)(表述合理即给分) |d:-h:=16.0-13.0=3≥3， 【解析】f(x)=a(x3-x)-x2+1,令x3-x=0, (14分) 得x=-1,0,1,则f(-1)=f(1)=0,f(0)=1. 14.4【解析】注意到2a-2+a2-b2-4a+4b+4 故两种环境下植株生长差异较大. (15分) 4=22-6+11 17.解：(1)由奇函数的性质知b=f(0)=0,(2分) a-22-b 设x>0,则f(x)+f(-x)=cx+2十（一x)+ 即2+a-2°-2=g+2-6) a=(c-1)x+a+2=0, (4分) 解得a=-2,c=1, (6分) ·数学（北师大版）答案（第2页，共4页）· 于是a+b+c=一1. (7分) 16g:4+1D一x-m,即1o:(）-m,放符 x一2，x<0， (2)此时f(x)= 0,x=0, 易知f(x)是增函 2十22=2m. x+2,x>0, 令t=2,因为x为实数，所以t>0, 数， (8分) 方程化为t+}=2”,整理得关于t的一元二次方 t 可知f(-x)<f(2一m)等价于一x<2:-m,即 2x+x-m>0, (10分) 程t2一2mt十1=0.因为原方程有两个不相等的实 由“当且仅当x>2时成立”知(2，十∞)为该不等 数根x1,x2,所以上述关于t的方程有两个不相 式的解集， (12分) 等的正数根t1,t2: 而显然函数g(x)=2x十x一m为增函数， 由韦达定理得t1十t2=2m,t1t2=1,且△= (13分) (-2m)2-4>0,解得m>1. (7分) 于是只能g(2)=0,即4+2-m=0,解得m=6. 此时三角形的三边长分别为，2,5 (15分) 18.证明：(1)设0<x1<x2,f(x2)-f(x1)=x2 1)由于t+t2=2>2且以5 <2,故t1+t2> -1+=-x1+44>0, x1一E21 (4分) T1x2 √1 于是f(x)在(0，十∞)上单调递增 (5分) 2恒成立. (8分) (2)(1)显然g(x)=x-1+21nx单调递增， x 罗也即a-)<识，则，+ (6分) 8份）-是-x+2n=-(e-士+2h) )-,<5代入得(2)yr-4<,则4< 31 (9分) -g(x), (9分) 4 1 于是-8(2026)=g(2026), (11分) 又4>4，可得4K4<解得1<m<10g31- 由g(x)是增函数，知g(1)十g(2)十…+g(2026)< 1.故m的取值范围是(1，log431一1). (10分) 2026g(2026), 原命题成立 (13分) (i)若以tt2,2 为边长构成直角三角形，分 (i)注意到g(1)=1-1+0=0, (15分) 故当x>0时，0=g(1)<g(e)=e-e+2x. 两种情况讨论：若以固定边为斜边，则有勾股 (17分) 19.解：(1)因为函数f(x)为偶函数，所以对于任意 定理得片+8=（心否，即6，十-2 x∈R,都有f(-x)=f(x).由函数解析式可得 f(-x)=log2(4-x+1)+a(-x)=log2(4+1) ,代人t十t2=2”和tt2=1可得40=23， 1 2x-ax. (1分) 23 得m=log:名=1og,23-1.检验满足条件，符合 令f(-x)=f(x),即log2(4+1)-2x-ax= (1)中m的范围， (13分) log2(4+1)+ax.化简得2ax=-2x,该式对任 意x∈R恒成立，所以2a=-2,解得a=-1. 若以t1(或t2)为斜边，不妨设t1为斜边，根据勾 (3分) 殷定理可得庄+（公》-，即好-店-， 经检验，当a=-1时，f(x)=log2(4+1)-x= 15 log2(2x十2-)，满足f(-x)=f(x),故a=-1. (i-t2)(1十t2)=,也即(a-t)P(+2)= (4分) (2)由(1)知a=-1,方程f(x)=m等价于 (》,即a+)-6a+-需，代 ·数学（北师大版）答案（第3页，共4页）· 人t1十t2=2m和t1t2=1,可得(4m一4)× 2行，解得m-1og,5-1og5-1.检验清足条件， -, 符合(i)中m的范围， 令X=4,代入得(X-4)X=225 综上所述，实数m的值为log423-1或log25-1. 16 (17分) 化简得16X2-64X-225=0,即(4X-25)(4X+ 9)=0:解得X-至或X=-号（余去).即4= ·数学（北师大版）答案（第4页，共4页）·