精品解析：广东省佛山市石门高级中学2025-2026学年高二上学期第二次统测数学试题

石门高级中学2025-2026学年第一学期高二年级数学科 第二次统测试题 （全卷共4页，供1-18班使用） 命题人：郭俊霞 审题人：吴婉娱 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的斜率等于，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可得到答案. 【详解】设该直线的倾斜角为，，则，. 故选：D. 2. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意可得， 故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则， 易知，故两圆内切. 故选：B 3. 将字母，，分别填入标号为，，的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率的运算公式进行求解即可. 【详解】将字母，，填入标号为，，的三个方格里有种不同的填法，这种情况发生的可能性是相等的 而每个方格的标号与所填的字母均不相同只有两种不同的填法 故所求概率． 故选：B 4. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，由为直角，得，然后由列式计算即可. 【详解】由题意，设点， 为直角，， 由， ， 解得或，所以点的坐标为或 故选：B 5. 椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆方程及焦点三角形的大小，应用余弦定理列方程求参数m即可. 【详解】由题设，，，故，， 在△中，则，又， 所以. 故选：C 6. 已知两点，，若沿轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后，两点间的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化平面坐标为空间坐标，利用空间距离公式求解即可 【详解】在平面直角坐标系中，，，将直角坐标平面沿轴折成直二面角，如下图， 线段在轴上，， 且，， 由且都在面内，则面， 而面，故， 则，两点间的距离为：． 故选：D 7. 曲线所表示的图形是（ ） A. 以为圆心1为半径的圆 B. 以为圆心1为半径的半圆 C. 以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D. 以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 【答案】C 【解析】 【分析】分和讨论，由圆的标准方程即可求解. 【详解】由题意有：当时，，表示以为圆心，半径为的圆； 当时，，表示以为圆心，半径为的圆， 故选：C. 8. 正四棱锥底面边长与侧棱长均为2，为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据，可得点在以为球心，以1为半径的球面上，且，从而可得线段长度的取值范围. 【详解】取底面正方形中心，中点，连接， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 易知， 因为，故，因此， 又易知平面，平面， 故，则， 则，设， 则， 因为，得， 所以点在以为球心，以为半径的球面上， 且， 则， 即线段长度的取值范围为． 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目条件分别求出概率即可判断． 【详解】由题意可得，故A正确； 当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生， 所以事件与事件不互斥，故B错误； 事件与事件同时发生的情况有共4种， 所以，又，所以， 故事件与事件相互独立，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD 10. 已知圆：和直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线被圆截得的弦长为 B. 存在实数，使得直线与圆相切 C. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 D. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用弦长公式求出弦长即可；对于B和C，利用直线与圆的位置关系，即可判断；对于D，由选项A知圆心到直线的距离，从而有，，数形结合，即可求解. 【详解】由题可知，圆，其圆心为，半径. 对于A：若，则直线，圆心到直线的距离， 则直线被圆截得的弦长为； 对于B：若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离等于半径，即， 解得或，故存在实数，使得直线与圆相切，故B正确； 对于C：若直线与圆相交，则有圆心到直线的距离小于半径，即， 即，得，故C正确； 对于D：由选项A知圆心到直线的距离， 又，则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为的点有个，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 为定值 C. 当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断C，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解D即可. 【详解】对于A，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故A正确； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于C，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故C错误； 对于D，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线关于轴对称的直线方程为______.（结果用一般式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得直线与坐标轴的交点为和，得出关于轴的对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线，令，可得，即直线与轴的交点为， 再令，可得，即直线过点， 易知点关于的对称点为， 又由，所以直线关于轴的对称直线为， 即. 故答案为：. 13. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设（），由对称性可知，由，两点的横坐标之积为解得点坐标，代入双曲线的方程，求得，进而求离心率即可. 【详解】由，两点在直线上，设（）， 由对称性可知，，两点关于原点对称，所以， 由，两点的横坐标之积为，得，解得， 所以，代入双曲线方程得，解得， 所以， 所以离心率为. 故答案为：. 14. 正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值. 【详解】 由题知四点共面，可设， 则， 又由题可知，，， 且， 所以有 整理可得，. 又不共面，所以有， 解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与双曲线所过点列出方程，解得，即可确定双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，写出韦达定理，再运用弦长公式，即可得解. 【小问1详解】 由题可知， ，解得， 则双曲线的方程为：. 【小问2详解】 由题可知，，因此经过，且斜率为的直线， 联立直线与双曲线，得，得， 设，由韦达定理得：， 则， 代入，， 得， 点到直线的距离， 则， 即的面积为. 16. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求四面体的体积； （3）求直线与平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标. （1）求出平面的法向量，再运用点到平面距离的向量公式，即可得解； （2）求出底面的面积，利用点到平面的距离作为三棱锥的高，最后利用三棱锥的体积公式计算即可； （3）求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 故有，即，取，则， 即， 则点到平面的距离. 【小问2详解】 易知在正方体中，， 故， 由（1）可知，点到平面的距离， 故四面体的体积. 【小问3详解】 由题可知，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则有，即，取，则， 即， 设直线与平面所成夹角为， 则， 即直线与平面所成夹角的正弦值为. 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由求得圆心坐标，进而可求解； （2）联立直线方程和圆的方程，结合韦达定理由，即可求解. 【小问1详解】 由圆心在直线上，设， 由题意可得， 即， 化简可得：，即， 则， 故圆的半径为， 则圆的方程为 【小问2详解】 设， 联立直线与圆方程， 得， 消去化简可得， 由韦达定理可得：， 因为以弦为直径的圆过点， 所以，即， ， 所以， 代入， 化简可得：， 代入韦达定理可得： ， 化简得：， 解得或 即直线方程为或， 故直线的斜率为或. 18. 如图甲，在矩形中，，E为线段的中点，将沿直线折起，使得平面平面，如图乙． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点H，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定H点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：取线段的中点O，连接， 在中，， ∴，又平面平面， 平面平面，平面 ∴平面，又平面，∴． 又，则，∴， 又，平面ADE，∴平面． （2）存在，点H是线段的靠近B点的三等分点 【解析】 【分析】(1) 取线段的中点O，连接，得到，根据面面垂直得到线面垂直，进而得到，然后利用勾股定理和线面垂直的判定即可求解； (2)建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，设，分别求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式和二面角的余弦值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过E作的平行线l，以E为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，平面的法向量， 设，则， 设平面的法向量为， 则,即， 令，则，∴ 由题意可知二面角为锐二面角， 所以，，解之得：，或（舍）， 所以，点H是线段的靠近B点的三等分点． 19. 已知，在椭圆（，）上． （1）求E的方程； （2）若M为E上一点（异于P，Q两点），求面积的最大值； （3）过点作两条直线分别与E交于另一点A，B，记直线NA，NB的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入即可求解得解， （2）联立直线与椭圆方程，根据相切得判别式为0，进而根据平行线间距离公式即可求解最值， （3）设直线方程，联立与椭圆方程，得到韦达定理，进而根据两点斜率公式，即可化简求解. 【小问1详解】 将，代入椭圆中可得 ，解得， 故椭圆方程为 【小问2详解】 由，可得， 设与平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立与可得， 故，解得， 当直线时，此时直线与直线的距离最大，故最大距离为， 因此的最大值为 【小问3详解】 设直线， 则，化简得， 设,, 则， 故, 故，即， 化简可得， 故， 化简可得，解得或， 当时，则，此时直线经过，与重合，不符合题意，舍去， 当，则，此时直线恒经过，符合题意， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石门高级中学2025-2026学年第一学期高二年级数学科 第二次统测试题 （全卷共4页，供1-18班使用） 命题人：郭俊霞 审题人：吴婉娱 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的斜率等于，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆与圆的位置关系为（ ）． A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 3. 将字母，，分别填入标号为，，的三个方格里，每格填上一个字母，则每个方格的标号与所填的字母均不相同的概率是（    ） A. B. C. D. 4. 已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知两点，，若沿轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后，两点间的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 7. 曲线所表示的图形是（ ） A. 以为圆心1为半径的圆 B. 以为圆心1为半径的半圆 C. 以为圆心1为半径的圆和以为圆心1为半径的圆 D. 以为圆心1为半径的半圆和以为圆心1为半径的半圆 8. 正四棱锥底面边长与侧棱长均为2，为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为 10. 已知圆：和直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线被圆截得的弦长为 B. 存在实数，使得直线与圆相切 C. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为 D. 当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 11. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 为定值 C. 当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线关于轴对称的直线方程为______.（结果用一般式表示） 13. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率为______． 14. 正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知双曲线：的渐近线方程为，且经过点. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积. 16. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点. （1）求点到平面的距离； （2）求四面体的体积； （3）求直线与平面所成夹角的正弦值. 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 18. 如图甲，在矩形中，，E为线段的中点，将沿直线折起，使得平面平面，如图乙． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点H，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定H点的位置；若不存在，说明理由． 19. 已知，在椭圆（，）上． （1）求E的方程； （2）若M为E上一点（异于P，Q两点），求面积的最大值； （3）过点作两条直线分别与E交于另一点A，B，记直线NA，NB的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $