精品解析：河北省衡水市阜城县阜城实验中学2025-2026学年高三上学期1月月考数学试题

高三数学一月份月考试题 一、选择题(共40分) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 3. 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ）条 A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 7. 若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 39π C. 26π D. 13π 二、多项选择题(共18分) 9. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则向量在向量方向上的投影向量为 B. 两个非零向量，若，则与共线且反向 C. 若，则向量与的夹角为钝角 D. 若为的外心，，则为的垂心 三、填空题(共15分) 12. 直线与直线平行，则_________. 13. 如图，在正四棱台中，，且四棱锥的体积为48，则该四棱台的体积为___________. 14. 已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_________. 四、解答题(共77分) 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，为AC边的中点，求BD的长. 16. 已知点及圆． （1）若直线经过点，，求的方程； （2）若直线过点且截圆所得的弦长为6，求的方程． 17. 已知数列的前项和为，直线经过点，且与直线平行，若点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一月份月考试题 一、选择题(共40分) 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集运算即可求解. 【详解】因为或， 所以集合或， 故. 故选：D 2. 若，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得到再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 故选C． 3. 设复数，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求出的虚部. 【详解】因为， 所以， 所以的共轭复数的虚部为. 故选：D 4. 已知直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标以及半径，由等边三角形的性质可得到圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式列出方程求出的值即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 若直线与圆交于A，B两点，且为等边三角形， 则圆心到直线的距离， 又由点到直线的距离公式可得，解得， 故选：D. 5. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（ ）条 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，可得出结论. 【详解】将圆化为标准式，得圆心，半径； 圆化为标准式，得圆心，半径. 圆心距， 因为，即， 故两圆相交，则这两圆的公切线有条. 故选：B. 6. 已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数定义域关于原点对称得，再根据偶函数性质得，最后根据二次函数性质求最值. 【详解】解：∵是定义在上的偶函数，∴， 又，所以，∴ ∴， 所以， 故选：C． 7. 若函数存在极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，根据函数存在极值点，可得，进而求得实数的取值范围. 【详解】由函数，可得， 因为函数存在极值点，则满足， 即，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8. 已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 39π C. 26π D. 13π 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据题设中的条件求出外接球球心的坐标，求出半径即可得表面积. 【详解】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 二、多项选择题(共18分) 9. 已知函数，给出下列四个选项，正确的有（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数在区间上是减函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质判断A、B、C，根据三角函数的变换规则判断D. 【详解】 ， 所以函数的最小正周期是，故A正确； 当，， 又在上单调递减， 所以函数在区间上是减函数，故B正确； 因为，所以函数的图象不关于点对称，故C错误； 将的图象向左平移个单位得到， 再将向下平移个单位得到，故D正确． 故选：ABD． 10. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意列方程求得公比，可判断A;求出，利用等比数列定义可判断B；利用，可判断C；求出，可得的通项公式，判断D. 【详解】根据题意，等比数列中，，即， 又由，可得 或, 又由公比q为整数，则当时,有 ，当时, ，不合题意； 对于A，，A正确； 对于B，又由 ，则 ，则， 则，该比值不是常数，故数列不是等比数列，B错误， 对于C， ，则 ，C正确， 对于D，， 为等比数列，则 ， 故 ，数列是公差为的等差数列，D错误； 故选： ． 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则向量在向量方向上的投影向量为 B. 两个非零向量，若，则与共线且反向 C. 若，则向量与的夹角为钝角 D. 若为的外心，，则为的垂心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A根据已知坐标及投影向量的定义求投影向量的坐标；对于B应用向量数量积的运算律和定义化简条件得判断；对于C由向量数量积的定义确定夹角余弦值符号，即可判断；对于D根据已知得，再应用向量数量积的运算律和垂直表示得，同理有判断. 【详解】对于A：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，A正确； 对于B：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，B正确； 对于C：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，C错误； 对于D：因为为的外心，， 则， 所以， 所以，同理可得，故为的垂心，D正确. 故选：ABD 三、填空题(共15分) 12. 直线与直线平行，则_________. 【答案】－2 【解析】 【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果. 【详解】由，得到， 因为，所以，由，得到 所以，即，解得， 故答案为：. 13. 如图，在正四棱台中，，且四棱锥的体积为48，则该四棱台的体积为___________. 【答案】399 【解析】 【分析】方法一：设点到平面的距离为，根据的体积可得，再代入棱台的体积公式求解即可； 方法二：延长交于一点，设为，根据台体体积为锥体体积之差求解即可. 【详解】方法一：由题意，设点到平面的距离为，由四边形面积为， 得四棱锥的体积为，得. 所以棱台体积为. 方法二：由题意，设点到平面的距离为，由四边形面积为， 得四棱锥的体积为，得. 由棱台定义知，延长交于一点，设为，设棱锥的高为， 则棱锥的高为，由三角形相似可得，得， 于是棱台体积3）. 故答案为：399 14. 已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，进而得的定义域与单调性，从而得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题可设，因为函数过点， 所以，所以函数， 所以函数是定义在上的增函数， 所以若，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题(共77分) 15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，为AC边的中点，求BD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，求出； （2）由向量基本定理得到，两边平方，结合，求出，得到. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 由于， 故， 所以， 因为，所以，故，， 因为，所以； 【小问2详解】 为AC边的中点，故， 两边平方得， 又，，，所以，故. 16. 已知点及圆． （1）若直线经过点，，求的方程； （2）若直线过点且截圆所得的弦长为6，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出圆心坐标，用两点式写出直线方程； （2）讨论斜率不存在和斜率存在，斜率存在，写出直线方程，由垂径定理验证是否成立；斜率存在设出直线方程，由垂径定理求得斜率值，得到直线方程. 【小问1详解】 由题意得，， 所以的斜率， 所以的方程为，即． 【小问2详解】 圆的标准方程为， 圆心，半径， 因为擮圆所得弦长为6， 所以点到的距离为， 当的斜率不存在时，的方程为，符合题意， 当的斜率存在时，设的方程为，即， 所以，解得，的方程为， 所以的方程为或． 17. 已知数列的前项和为，直线经过点，且与直线平行，若点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出直线的方程，依题可得，在时，与两式作差可推得为等比数列，由等比数列的通项公式即可求解. （2）将数列的通项公式代入①，求出，再利用分组求和法求解即得. 【小问1详解】 因为直线经过点，且与直线平行， 设直线的方程为， 把代入方程得，故直线的方程为， 又点在直线上，即得①， 当时，，解得， 当时，②， 由①②，得， 整理得，故数列是首项为4，公比为3的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，将其代入①，可得，解得， 所以. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时，的递增区间为，无递减区间； 当时，的递增区间为，递减区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间； （3）问题化为在上存在实数解，利用导数求右侧表达式在上最小值，即可得范围. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，，故在处切线方程为， 所以. 【小问2详解】 由题设，且， 当时，，即的递增区间为，无递减区间； 当时，有，有， 此时的递增区间为，递减区间为. 【小问3详解】 原条件等价于在上存在实数解. 所以在上存在实数解， 令，则， 在上，得，故在上单调递增， 所以的最小值为，故时不等式在上存在实数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $