精品解析：重庆江北区2025-2026学年上学期八年级期末考试数学试卷

2025－2026学年度上期八年级期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，“只有符号不同的两个数互为相反数”．根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：2的相反数是， 故选：B． 2. 下列图形中，属于轴对称图形的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A．不满足轴对称图形的概念，不符合题意； B．该图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，所以该图是轴对称图形，该选项符合题意． C．不满足轴对称图形的概念，不符合题意； D．不满足轴对称图形的概念，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除的计算法则，逐一判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 4. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么的值为（ ） A. 10 B. C. D. 10或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，完全平方公式的结构为：． 利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 或， 即的值为10或． 故选：D． 5. 照相机成像时，照相机镜头的焦距，物体到镜头的距离，胶片（像）到镜头的距离，满足．已知，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式加减运算，求解关键是能够根据题意，进行分式通分合并得到． 【详解】解：由题意可知，， 移项通分可得：， 已知， 等式两端取倒数得：． 故选：． 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和运算，平方根的估算；先通过展开化简原式，再估算其值． 【详解】解：， ∵，， ， ∴， ∴原式的值在3和4之间， 故选：B． 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★……按照这一规律，则第个图中★的个数是（ ） A. 52 B. 53 C. 68 D. 69 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据图形个数找规律，解题的关键是分析每个图案中★个数的规律，推导公式． 先分析前几个图中★个数的规律，进而推导第个图中★个数的公式，最后将代入公式计算． 【详解】解：设第个图中★的个数为，则： 根据规律求和可得： 因此， 将代入： 故选B． 8. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 9. 如图，在中，，为边上一点，连接，，将沿折叠至所在平面内的，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，证明为等边三角形，可得，即可证明，从而推出，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 将沿折叠至， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A 10. 已知关于的整式，其中，，，为自然数，与为正整数．若，下列说法： ①满足条件的整式中有且只有1个二次三项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③当为三次二项式时，所有满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式的次数与项数定义，准确理解“二次三项式”、“三次二项式”的定义并按条件枚举系数是解题的关键． 先根据“二次三项式、三次二项式”的定义确定多项式的次数和非零系数的个数，再结合 “自然数、正整数”的取值要求与平方和不超过的条件，分情况列出所有符合要求的系数组合，最后用这些组合逐一验证三个说法是否正确即可． 【详解】解：整式的系数满足，且，，，为自然数，与为正整数， ①∵二次三项式要求（二次），且，，（三项），是正整数，，是自然数， ∴，，， ∵，又， ∴ 仅，，满足条件，即，是唯一的二次三项式， ∴ ①正确， ② ∵， ∴且是正整数，，是自然数， 当时，，满足条件的系数组为，，，，对应整式为，，，； 当时，，满足条件的系数组合为，对应整式为； 当时，，无满足条件的系数组； ∵常数项和为，一次项和为，二次项和为， ∴所有整式的和为，而非， ∴②错误； ③ 当为三次二项式时，（三次），且仅两项系数非零（二项），，另一非零系数， ∴（其余系数为0）， 若，则， ∵为自然数且非零， ∴（，故排除）； 若，则， ∵为自然数且非零， ∴（，故排除）； 若，则， ∴（此时整式为单项式，不符合要求，排除）； 若，则，无满足条件的系数组； ∵有个位置（），时每个位置对应种，共种，时每个位置对应种，共种， ∴总组合数为种，即当为三次二项式时，所有满足条件的整式共有个，而非个， ∴ ③错误； 综上，正确的有①，共个． 故选：B． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 计算：_____． 【答案】 6 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算和立方根的运算，正确运用负整数指数幂的定义及立方根的性质是解题的关键． 先算乘方和开立方，再算加法即可． 【详解】解： ． 故答案为：6． 13. 平面直角坐标系中，点与关于轴对称，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的对称，关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是关键． 根据关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：点与关于轴对称， ， ， 故答案为：3． 14. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，分式的化简求值，整体代入是解题的关键，由已知条件可得，即，代入所求分式化简即可． 【详解】解：由，得，即， 所以， 则． 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，证明，，可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， ，且， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位和百位数字后得到的两位数，则称此数为“美好数”．例如：四位数2436，因为，所以2436是“美好数”：又如：四位数3572，因为，所以3572不是“美好数”．按照这个规定，最小的“美好数”是_____． 已知“美好数”，记，．当为整数，为完全平方数时，满足条件的“美好数”为_____． 【答案】 ①. 1425 ②. 1764 【解析】 【分析】本题考查新定义，因式分解，根据“美好数”定义有，据此代入计算即可． 【详解】解：“美好数”，根据“美好数”定义有，且互不相等且均不为0， 为求最小“美好数”，从开始尝试： 当、时，，不满足“美好数”； 当、时，，十位和千位重复，不满足“美好数”； 当、时，，即、，数字互异，满足“美好数”； ∴最小“美好数”为1425； ∵， ∴，， ∴， ∴当为整数时，是11的倍数或是11的倍数， ∵为两个不相等且不为0的数， ∴，则， ∴或 当时，，不合题意； ∴，即， ∴，， ∵为完全平方数， ∴， ∴， ∴， ∴当为整数，为完全平方数时，满足条件的“美好数”为1764， 故答案为：1425；1764． 三、解答题：（本大题共9小题，第17、18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先整理原式，再提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答． （2）先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1）b （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，分式的加减乘除混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理式子，再把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． （2）先通分括号内，再运算括号内的减法，然后把除法化为乘法，运用分式的乘法进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 化简求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运算单项式乘多项式，多项式乘多项式，通分括号内，再合并同类项以及把除法化为乘法，化简得，结合，计算得，最后代入计算，即可作答． 【详解】解： ， 则， 故． 21. 小明在学习了等腰三角形“三线合一”的性质定理后．继续探究，如图1，在中，平分交于点．当时，；当时，；当时，．通过测量小明提出了一个大胆的猜想：若是的角平分线，则．以下为小明证明的全过程，请按要求完成． 已知：如图2，中，平分交于点，于点． 求证：． （1）尺规作图：在图2中过点作的垂线，垂足为点．（不写作法保留作图痕迹） （2）证明：是的角平分线 ①_____ ，， ②_____ ③_____． 【答案】（1） 如图所示： （2）；； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作垂线，角平分线的性质，三角形面积公式，正确理解角平分线的性质是解题的关键． （1）根据作垂线的步骤，作出即可； （2）根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积法即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中类，类，类，类，类． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动采用的调查方式为_____； （2）本次调查活动中随机抽取了_____个豌豆荚，图中_____，_____； （3）同学们数了一下，这一批豌豆荚共有2000个，请估计这一批豌豆荚中豆子粒数大于等于6的豌豆荚个数． 【答案】（1）抽样调查 （2）100，40，35 （3）820个 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体，从直方图和扇形统计图上获得所需信息是解题的关键． （1）根据题意可得本次调查活动采用的调查方式为抽样调查； （2）先由类数量及其所占百分比可得总个数，总个数乘类对应百分比求出的值，再根据各类数量之和等于总数即可求得的值； （3）根据样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得本次调查活动采用的调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 解：本次调查活动中随机抽取豌豆荚个数为（个）， ， ， 故答案为：100，40，35； 【小问3详解】 解：（个）， 答：这一批豌豆荚中豆子粒数大于等于6的豌豆荚个数大约为820个． 23. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 24. 数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法．《整式的乘法》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图1，卡片①是边长为的正方形．卡片②是边长为的正方形．卡片③是长和宽分别为，的长方形． （1）若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取_____张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是_____（用含，的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形、若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：__________． 【探究二】如图3，该几何体由3个大小不同的长方体（如图4）组成，其中第一个长方体中，，．第二个长方体中，，第三个长方体中，． （3）若将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，则可验证等式：_____（将该等式表示为将一个多项式分解因式的形式）． （4）利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 【答案】（1）1，；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键． （1）根据即可得解； （2）图2中阴影部分的面积的两种表示方法，即可得解； （3）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积或3个长方体的体积之和，即可求解； （4）由，可得，根据，代入求值即可． 【详解】解：（1）， 若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取1张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是， 故答案为：1，； （2）图2中阴影部分的面积可看作是边长为的小正方形的面积，图2中阴影部分的面积也可看作是边长为的大正方形面积减去4个长方形的面积． 可以得一个多项式的因式分解为：， 故答案为：； （3）由几何体的体积为大正方体的体积减小正方体的体积得到的几何体的体积为， 由几何体的体积为3个长方体的体积之和，且3个长方体的高都可以看作，底面积分别看作、、， 体积为， ， 故答案为：； （4），， ， ， ． 25. 如图1，为等边三角形，、分别为、边上的点，且，连接、相交于点． （1）求的度数； （2）如图2，为射线上的一点，，连接交于点，求证：点为的中点． （3）如图3，在（2）的条件下，为的中点，为延长线上的一点，，连接、．当的值最小时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作的平行线，交于点，在线段上取一点，使得，设， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为的中点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，结合全等三角形的性质和三角形外角的性质，可求得； （2）过点作的平行线，交于点，在线段上取一点，使得，设，容易证明，则，．由平行线的性质可得，，进而证明．通过证明，从而证明点为的中点； （3）作，垂足为，设，由题干可知，，根据直角三角形的性质可计算出．通过勾股定理依次计算出，，，，则．在直角坐标系中，利用构造点，，以及动点，由勾股定理可得，，因此最小时，最小．根据线段公理，，当、、三点共线时，取得最小值，即最小，利用一次函数计算出此时的点的坐标，得到的值，从而求出的长． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为，设， ∵， ∴， ∵点为中点， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 下面计算的最小值， 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为轴上一个动点，连接，，， 由勾股定理可得，，， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即最小，此时点在点处， 设的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴的函数表达式为， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴当的值最小时，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，线段最值问题，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上期八年级期末考试 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列图形中，属于轴对称图形的是：（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么的值为（ ） A. 10 B. C. D. 10或 5. 照相机成像时，照相机镜头的焦距，物体到镜头的距离，胶片（像）到镜头的距离，满足．已知，，则（　　） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★，第个图中有个★……按照这一规律，则第个图中★的个数是（ ） A. 52 B. 53 C. 68 D. 69 8. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为边上一点，连接，，将沿折叠至所在平面内的，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中，，，为自然数，与为正整数．若，下列说法： ①满足条件的整式中有且只有1个二次三项式； ②当时，所有满足条件的整式的和为； ③当为三次二项式时，所有满足条件的整式共有9个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为________． 12. 计算：_____． 13. 平面直角坐标系中，点与关于轴对称，则的值为_____． 14. 若，则_____． 15. 如图，在等腰中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点．若，，则_____． 16. 一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位和百位数字后得到的两位数，则称此数为“美好数”．例如：四位数2436，因为，所以2436是“美好数”：又如：四位数3572，因为，所以3572不是“美好数”．按照这个规定，最小的“美好数”是_____． 已知“美好数”，记，．当为整数，为完全平方数时，满足条件的“美好数”为_____． 三、解答题：（本大题共9小题，第17、18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 分解因式 （1） （2） 18. 计算 （1） （2） 19. 计算 （1） （2） 20. 化简求值：，其中． 21. 小明在学习了等腰三角形“三线合一”的性质定理后．继续探究，如图1，在中，平分交于点．当时，；当时，；当时，．通过测量小明提出了一个大胆的猜想：若是的角平分线，则．以下为小明证明的全过程，请按要求完成． 已知：如图2，中，平分交于点，于点． 求证：． （1）尺规作图：在图2中过点作的垂线，垂足为点．（不写作法保留作图痕迹） （2）证明：是的角平分线 ①_____ ，， ②_____ ③_____． 22. 豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中类，类，类，类，类． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动采用的调查方式为_____； （2）本次调查活动中随机抽取了_____个豌豆荚，图中_____，_____； （3）同学们数了一下，这一批豌豆荚共有2000个，请估计这一批豌豆荚中豆子粒数大于等于6的豌豆荚个数． 23. 北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 24. 数形结合是一种将抽象的数学概念与直观的图形相结合，帮助理解和解决数学问题的重要思想方法．《整式的乘法》这一章中，我们利用数形结合思想，体验并理解了整式乘法法则、平方差公式及完全平方公式等的几何意义．年级数学兴趣小组的同学们课后继续进行了如下的探究： 【探究一】如图1，卡片①是边长为的正方形．卡片②是边长为的正方形．卡片③是长和宽分别为，的长方形． （1）若已经选取4张卡片①，4张卡片③，则还应选取_____张卡片②才能用它们拼成一个新的正方形，这个新正方形的边长是_____（用含，的式子表示）； （2）选取4张卡片③在纸上按图2的方式进行拼图，可以得到中间阴影部分为正方形、若将阴影部分正方形的面积用两种不同的方法表示，则可验证等式：__________． 【探究二】如图3，该几何体由3个大小不同的长方体（如图4）组成，其中第一个长方体中，，．第二个长方体中，，第三个长方体中，． （3）若将图3的几何体的体积用两种不同的方法表示，则可验证等式：_____（将该等式表示为将一个多项式分解因式的形式）． （4）利用上面的结论，解决问题： 已知，求的值． 25. 如图1，为等边三角形，、分别为、边上的点，且，连接、相交于点． （1）求的度数； （2）如图2，为射线上的一点，，连接交于点，求证：点为的中点． （3）如图3，在（2）的条件下，为的中点，为延长线上的一点，，连接、．当的值最小时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $