四川省巴中市2026届高三一诊考试数学试题

巴中市普通高中2023级“一诊”数学试题 参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 B D C D C A B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 题号 12 13 14 答案 120 9 (-o0,1] 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解：(1)在△ABC中，由余弦定理得 2=a2+c2-2 accosB=9+2-2X3×V2×2 2 =5,所以b=√5…3分 又由正弦定理得. b sinA-sin∠ABC' 3W2 则sinA=asin/ABC 2 3w10 √5 10 …6分 (②)在△ABC中，D为线段AC上一点，且84巴=，设点D到AB,BC的距离 SACBD 3 分别为h,h 则D= 交ABh 2h= SACBD 3h2 3 ,所以ha=h2: C.h2 2 则BD为∠ABC的角平分线…9分 所以SAac=SAAD+SAa,则分AB,BCsin-号=号AB·BDsin若+号BD· BCsin香 即：号×2x3x=号×2-BDx号+号x3BDx 2 …12分 2 2 所以BD=9W6-6W3 …13分 1 16.(15分) 解：（①）设操作3次后箱中黑色小球剩余0个的概率为P, 由题意知P=号×号×日=品s 6 …2分 (2)由题意可知，X的所有取值为0,1,2,3 则P(X=0)=125 6 P(X=1)=3x3 ,2 3 ,2 + 4 + 2 2-54 5 5 5 5 5 125' PX==号× ,3 + + X 3 3 57 5 125 PX=)=号×号 8 号=2 所以X的分布列为： X 0 2 3 P 6 54 57 8 125 125 125 125 所以E(x)=0×品s+1×葛+2×既+3×盒=器： 9分 (3)记A=事件第1次取到红色小球，事件B=再操作4次恰好完成置换， 由题意得，则P(A)=号 ……10分 第1次取到取到红色小球，则再操作4次，须将箱中黑色小球全部置换为红色小球， ①若第二次也取出红色小球，则第三次、第四次、第五次均须取出黑色小球， 其概率为号×号×号×号×行-=兰 ②若第二次取出黑色小球，则第三次取出红色小球，第四次和第五次均须取出黑色 小球，其概率为号×号×号×号×吉= ③若第二次取出黑色小球，则第三次取出黑色小球，第四次取出红色小球，第五次 取出黑色小球，其概率为号×号×号×号×号=祭， 综上所述，P代A=待+曾+号= 55 …13分 55 55 108 所以P(BA)= P(AB) 55 54 P(A) 54 即在第1次取到红色小球的条件下，再操作4次恰好完成置换的概率为5415分 54 17.(15分) (I)证明：因为在图②中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点， 所以EF∥AC,GH∥AC,FG∥BD,EH∥BD,即EF∥GH且FG∥BD 则四边形EFGH为平行四边形2分 又因为四边形ABCD是正方形，所以在图①中有OD⊥AC,OB⊥AC, 折叠后在图②中ODL AC,OB⊥AC且OB∩OD=O,所以AC⊥平面OBD, 又因为BDC平面OBD,所以AC⊥BD,则EF⊥FG…5分 综上可知：四边形EFGH为矩形…6分 (2)解：因为OB⊥OA,则以O为空间直角坐标系原点，分别以OB,OA方向为x 轴，y轴. 设二面角D-CA-B为0，由题意得，O(0,0,0),A(0,1,0),B(1,0,0), C(0,-1,0)D(cos8,0,sin8), 所以AB=(1,-1,0),BD=(-1+cos0,0,sin8),BC=(-1,-1,0), 设平面BCD的法向量元=(x,y,2), 则-1+o6+n9=0,令2=1，得元=1，-1,1器2 …9分 BC元=-x-y=0 所以点A到平面BCD距离 d=成A 2 2 刻 V2+(2T /2+1-cos809 sin20 即：d= 2 2 ,(因为1-c0s0≠0)…11分 (1-cos8)2 1-c0s20 V2+1-cos 1+cos 令t=c0s0,因为9∈[管，]，则e[-合，]令y=2++=1+异 易知函数到=1+异在[-号，]上的单调递减适数，…13分 所以当t=合时，=子，dx=局=24A 7 √W21 7 3 综上可知，点A到平面BCD距离的最大值为22豇 …15分 7 18.(17分) 解：(1)f(x)=5(cosx-cos5c)… 1分 f爱）=5eos经-os7）=5x(号+2)=5反m…2分 又f()=5sn置-i血经=5×9+ -=32 3分 所以切线方程为：g-32=5W2(-),即：gy=5r+122-5 …4分 4 (②)令f()=0,co8x=cos5,又x∈[0，号]，x= 6分 3 0≤x<号时，f(四>0，f儿单调递增： 号<x≤受时，f儿<0，儿单调递减.8分 所以函数y=孔)在[0，]上的最大值为： faaf得)=5n号-m警=59+9 2 2 =3W3…10分 )令=中[哈小，则=名-1， ne-1 令h(因=int-千6+1，号≤t≤1，下i证：h(因m≥0n12分 2 则N0=aat+a令g0=hg则g间=-nrt (1+)<0 4 故g间=h(囵在分<t≤1上单调递减…4分 又N(2)=0os5+ 2 +2 =8>0,N0)=c0x+子y=-x+号<0 (1+1 即存在6∈（侵，，使N()=0, 所以n()在号≤t≤上单调递增，在≤t≤1上单调递减： n(因m=minh号），h(}=min{号，0}=0-16分 故：0≤<1,siz开千2… …17分 19.(17分) 解折)宜己知，有：匹-2十子=9，化简得：装+号=1…2分 -4纠 2 即点C的轨迹E为：以原点为中心，以2√2为长半轴，以2为短半轴的椭圆. 且椭图方程为：号+等 =1…4分 (2)由题意，直线MN斜率不能为0； 设直线MN:x=my+1,M(,1),N(c2,) 联立2+2y-8=0,消得，(m+2+2mg-7=0, x=my+1 +h=-2m 由于点P(1,0)在E内部，△>0恒成立，得： m2+2 7 6分 y2=- m2+2 直线AM的方程：y= 西+2√2(x+2W2)= m+1+2W2(c+2W②)令x=1, 得： 1 yB= mgh+1+2W21+2W2) 同理：yD= V2 m%十1t2/2（1+2/2）………………8分 IPBl·lPDl=lyEUDl= m+1+251+2w②m+25+2w② yi y2 (1+2W2)2yy2 m2y2+(1+2W2)m(+y2)+(1+2W2)2 +2-(n42) n-(nm42++2w②m(a)+(+2w@ 7(1+2W2)2 7m2+21+2W②)m2-(1+2W2)2(m2+2) =子（定值）l0分 (3)若直线OM,ON其中一个斜率不存在， 则易知：0M+0=22+号=2+2 1 …11分 4 直线OM,ON斜率均存在，设直线OM方程：y=k,M(,h) 联立牛2g-8=0,消y得，(2心+1)2=8，解得：，= 12V2 y=kc √2k2+1 同理，设直线ON方程：y=一名，N,,解得：= |2W2A √+2 则有：OM=+1l=2√2v1+ √2k2+1 oNM=V1+志= |2W2W1+2 √+2 所以 .1 1+2k2 k2+2=3. /D2+1g=。12+81+2813分 设=年a0,六=g 又1o∈[2,2w21,号<cos9≤5，而9≤cos9 1-tan20 ≤ 1+tan2号 3 v5-厄≤a号<622，令t=an号∈[wg-反，6≥2] 2 2 +dN=9(ag+sn0=项 1-tan2号 2tan号 4 +amr吗 1+an2号 =6.-+2=5.1-+=6.(2 4 1+2 4 1+2 4 1+2 -1 (计1+-2 -1…15分 令f)= 4 t++a2-2621 由复合函数单调性可知，f()在[√3-√2，√2-1]上单调递增，在 [2-1,6,巨上单调递减 2 fs=f2-=9. f0m=mim3-②f(622}=2+2 4 综上所述： 1 1 loMI loNI 的最大值与最小值分别为：5,2+2 2 4 …17分 巴中市普通高中 2023 级 “一诊”数学试题 参考答案 一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 题号 9 10 11 答案 三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 题号 12 13 14 答案 120 9 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13 分) 解: (1) 在 中,由余弦定理得 ,所以 ...........3 分 又由正弦定理得 , 则 ............6 分 (2)在 中， 为线段 上一点，且 ，设点 到 ， 的距离分别为 . 则 ，所以 ， 则 为 的角平分线 ............9 分 所以 ,则 . 即: · ...........12 分 所以 ·...........13 分 16.(15 分) 解:(1)设操作 3 次后箱中黑色小球剩余 0 个的概率为 ， 由题意知 ...........2分 (2)由题意可知， 的所有取值为0,1,2,3 则 , 所以 的分布列为: 0 1 2 3 54 8 125 所以 ; ·...........9分 (3)记 事件第 1 次取到红色小球，事件 再操作 4 次恰好完成置换， 由题意得,则 ...........10 分 第1次取到取到红色小球, 则再操作 4 次, 须将箱中黑色小球全部置换为红色小球, ①若第二次也取出红色小球，则第三次、第四次、第五次均须取出黑色小球， 其概率为 , ②若第二次取出黑色小球，则第三次取出红色小球，第四次和第五次均须取出黑色小球,其概率为 , ③若第二次取出黑色小球，则第三次取出黑色小球，第四次取出红色小球，第五次取出黑色小球,其概率为 , 综上所述， ............13 分 所以 , 即在第 1 次取到红色小球的条件下,再操作 4 次恰好完成置换的概率为 分 17.(15 分) (1)证明:因为在图②中，点 ， ， ， 分别为 的中点， 所以 ,即 且 则四边形 为平行四边形........... 2 分 又因为四边形 是正方形,所以在图①中有 , 折叠后在图②中 且 ,所以 平面 , 又因为 平面 ,所以 ,则 ...........5 分 综上可知:四边形 为矩形 ...........6 分 (2)解:因为 ，则以 为空间直角坐标系原点，分别以 ， 方向为 轴, 轴. 设二面角 为 ,由题意得, , 所以 , 设平面 的法向量 , 则 ,令 ,得 ...........9 分 所以点 到平面 距离 即: ,(因为 ) ...........11 分 令 ,因为 ,则 令 , 易知函数 在 上的单调递减函数, ............13 分 所以当 时, , 综上可知,点 到平面 距离的最大值为 ...........15 分 18.(17 分) 解: ...........1 分 ...........2 分 又 . ...........3 分 所以切线方程为: ,即: ...........4 分 (2)令 ,又 ...........6 分 时, 单调递增; 时, 单调递减 ............8 分 所以函数 在 上的最大值为: ...........10 分 (3) 令 ,则 , 则原不等式转化为: 令 ,下证: ·........... 12 分 则 ,令 ,则 故 在 上单调递减........... 14 分 又 即存在 ,使 , 所以 在 上单调递增,在 上单调递减; ...........16 分 故: ...........17 分 19.(17 分) 解析 (1) 由已知,有: ,化简得: ...........2 分 即点 的轨迹 为: 以原点为中心,以 为长半轴,以 2 为短半轴的椭圆. 且椭圆方程为: ...........4 分 (2)由题意，直线 斜率不能为 0 ； 设直线 联立 ,消 得, , 由于点 在 内部, 恒成立,得: ...........6 分 直线 的方程: 令 , 得: 同理: ...........8 分 (定值) ...........·10 分 (3)若直线 ， 其中一个斜率不存在， 则易知: ...........11 分 直线 斜率均存在,设直线 方程: 联立 ,消 得, ,解得: 同理,设直线 方程: ,解得: 则有: , 所以 ...........13 分 设 又 ,而 , 令 . ...........15 分 令 由复合函数单调性可知, 在 上单调递增,在 上单调递减; 综上所述: 的最大值与最小值分别为: ...........17 分 学科网（北京）股份有限公司 $巴中市普通高中2023级“一诊”考试 数学试题 (满分150分120分钟完卷) 注意事项：· 1.答题前，考生务必将自已的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置。 2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须 用0.5毫米，黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题 无效，在试题卷上答题无效。 3.考试结束后，考生将答题卡交回。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x∈NI0≤x≤3}，B={xx2-x-6<0},则A∩B= A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{-1,0,1,2} 2.已知复数z满足(1+i)z=2,则z= A.1-i B.-1+i C.-1-i D.1+i 3.若e,e2是夹角120的单位向量，a=2c1+E,则a上 A.V5 B.2 C.V3 D.V2 4.欧拉函数p(n)(n∈N)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互素的正整数 的个数，例p(1)=1,p(3)=2,则p(10)= A.4 B.5 C.6 D.7 5.两直线y=:和y=-x分别与抛物线)y=4相交于不同于原点的A、B两点， 则直线AB恒过的点是 A.（1,0) B.（2,0) C.(3,0) D.（4,0) 6.设s,是等比数列{a,}的前n项之和，S,S,S,成等差数列，则a+a= a, A B C.2 D.3 7.已知正四而体A-BCD,M为AD之中点，N为BC之中点，则异面直线CM与AN 所成角的余仫值为 A号 c D 3 数学·第1页（共4页) 8.若定义在R上的函数∫(x)满足∫(3x-1)为奇函数，∫(2x+1)为偶函数，且 2 f(1)=1,则∑f(2n-1)= 月a A.-1 B.0 C.1 D.2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分) 9.若P(AB)=子，P()=行，P(B)=方，则关于事件A、B的关系正确的是 A、事件A与B互斥 B.事件A与B不互斥 C.事件A与B不相互独立 D.事件A与B相互独立 10.在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC的中点，将△AED, △BEF,△DCF分别沿DE,EF,DF折起，使A,B,C三点重合于点P,则 A.PD⊥EF 。三棱锥P-EFD的体积为1 C.三棱锥P-EFD的外接球的表面积为6π D.点P到平面EFD的距离为号 已知双曲线。=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为，4，P为双曲线，上e ·点，则 A.b越大，则双曲线的离心率越大 B.过点P与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C.点P到两渐近线的距离之积为定值 D.过点P作双曲线的切线交惭近线于M,N两点，则P为MN的中点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.一个火车站有8股岔道，如果每股岔道只能停放1列火车，现要停放4列不同的 火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有种. 13.若直线X+士=11≥0，b>0)是圆r+y2-2x-2y-7=0的一条对称轴，则 h 4a+b的最小值是 14.若不等式e-1-a-ln(x-1)≥lnr+a恒成立，则a的取值范围 数学·第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=V2 ()若LABC=不，求siM的值： 2置乙ABC=D为线段4C上一点，且2，求BD的 16.（15分)有6个红色小球和4个黑色小球（除颜色不同外，其余都相同），将其中 2个红色小球和3个黑色小球放人一个不透明的箱子中，剩余的4个红色小球和1 个黑色小球放在箱外.现从箱子中随机取出1个小球，若取出红色小球，则把它 放回箱子中；若取出黑色小球，则该黑色小球不再放回，并将箱子外1个红色小 球放人箱中.按此操作若干次，直到将箱中的黑色小球全部置换为红色小球为 止 (1)求在操作3次后箱中黑色小球剩余0个的概率； (2)记在操作3次后箱中黑色小球的个数为随机变量X,求X的分布列及数学期望； (3)在第1次取到红色小球的条件下，求再操作4次恰好完成置换的概率。 17.(15分)如图①所示将边长为V2的正方形ABCD,沿AC翻折如图②所示，点 E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，在折叠过程中，二面角D-CA-B的范 围为 2π 33 D I个 图② (1)求证：四边形EFGH为矩形； (2)求点A到平而BCD距离的最大值. 数学·第3页（共4页） 18.(17分)函数∫(x)=5sinr-sin5x, (1)求曲线y=∫(x)在点（牙f(工）》处的切线方程： (2)求函数=(x)在0写]北的最大值： (3)设0≤x≤1.求证：n本2 19.（17分)已知动点C(x,)与定点F(2,0)的距离和C到定直线/：x=4的距离之 比是常数 (1)求点C的轨迹E; (2)M,N为轨迹E上不同的两，点， ①若直线MN斜率存在且过点P(1,0),A(-2V2,0),直线x=1分别与直线AM, AN交于点B,D,PBPD是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理 由. ②若OM1ON,求，1+1 的最大值与最小值， OM ON 数学·第4页（共4页) 巴中市普通高中2023级“一诊”考试 数学试题 一、选择题(本题共8小题，每小题 5 分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 ，则 A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 ,则 A. B. C. D. 3. 若 是夹角 的单位向量, ,则 A. B. 2 C. D. 4. 欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ,且与 互素的正整数的个数,例 ,则 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点, 则直线 恒过的点是 A. B. C. D. 6. 设 是等比数列 的前 项之和, 成等差数列,则 A. B. C. 2 D. 3 7. 已知正四面体 为 之中点， 为 之中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 8. 若定义在 上的函数 满足 为奇函数， 为偶函数，且 ,则 A. -1 B. 0 C. 1 D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题 6 分，共18 分. 在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 () 分) 9. 若 ,则关于事件 的关系正确的是 A. 事件 与 互斥 B. 事件 与 不互斥 C. 事件 与 不相互独立 D. 事件 与 相互独立 10. 在边长为 2 的正方形 中, 是 的中点, 是 的中点,将 , 分别沿 , 折起,使 三点重合于点 ,则 A. B. 三棱锥 的体积为 C. 三棱锥 的外接球的表面积为 D. 点 到平面 的距离为 11. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一 . 点,则 A. 越大，则双曲线的离心率越大 B. 过点 与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C. 点 到两渐近线的距离之积为定值 D. 过点 作双曲线的切线交渐近线于 两点,则 为 的中点 三、填空题(本大题共3小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 一个火车站有 8 股岔道，如果每股岔道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有_____种。 13. 若直线 是圆 的一条对称轴,则 的最小值是_____. 14. 若不等式 恒成立，则 的取值范围_____、 四、解答题 (本题共5 小题, 共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在 中，角 的对边分别为 ，已知 . (1)若 ，求 的值； (2)若 为线段 上一点，且 ，求 的值. 16.(15分)有6个红色小球和4个黑色小球(除颜色不同外，其余都相同)，将其中 2 个红色小球和 3 个黑色小球放入一个不透明的箱子中，剩余的 4 个红色小球和 1 个黑色小球放在箱外. 现从箱子中随机取出 1 个小球，若取出红色小球，则把它放回箱子中；若取出黑色小球，则该黑色小球不再放回，并将箱子外 1 个红色小球放入箱中. 按此操作若干次, 直到将箱中的黑色小球全部置换为红色小球为止. (1)求在操作 3 次后箱中黑色小球剩余 0 个的概率； (2)记在操作 3 次后箱中黑色小球的个数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望； (3)在第 1 次取到红色小球的条件下，求再操作 4 次恰好完成置换的概率. 17. (15 分) 如图①所示将边长为 的正方形 ,沿 翻折如图②所示,点 分别为 的中点,在折叠过程中. 二面角 的范围为 . 图1 图2 (1)求证:四边形 EFGH为矩形； (2)求点 到平面 距离的最大值. 18.(17分)函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求函数 在 上的最大值； (3)设 ，求证: . 19.(17分)已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离之比是常数 . (1)求点 的轨迹 ； (2) 、 为轨迹 上不同的两点， ①若直线 斜率存在且过点 ， ，直线 分别与直线 ， 交于点 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. ②若 ，求 的最大值与最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $