精品解析：湖北省黄石市大冶市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．学生在答题前请仔细阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 5. 下列式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明是一位密码编译爱好者，他设置了如下密码：，，，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，中．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱中国 B. 爱中国 C. 我爱学 D. 中国数学 7. 如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 用9根同样长的木棒摆成一个三角形，最长的边最多可以由(　　)根木棒组成． A. 3根 B. 4根 C. 5根 D. 6根 9. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两．问牛、羊各直金几何?”小明对这个问题进行了改编：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊．买得牛、羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两?若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点P关于x轴对称的点的坐标是 __________． 12. 因式分解为________． 13. 从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 14. 在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是，那么阴影部分的面积是_______． 15. 在中，，平分，若，分别是，上的动点，，，当取得最小值时，则_______，与的数量关系为_______． 三、解答题（共9小题，6分+6分+6分+8分+8分+8分+10分+11分+12分，共75分） 16. 计算：． 17. 化简：． 18. 先化简，再从，，，中，选一个合适的值作为代入求值． 19. 如图，，，，求证：． 20. 如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 22. 项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； （2）完成任务二． 23. 综合探究 问题情境： 是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且，连接、． （1）如图，当点是的中点时， ；（填“”，“”或“”） （2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图，当点是边上任意一点时，点在上，若，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、的坐标分别为、、，且、满足． （1）直接写出点、、的坐标； （2）如图，若点为轴上一点，且，连接，过点作，且，求点的坐标； （3）如图，若点为轴正半轴上一动点，连接，分别以、为边作等边和等边，使点、都在第一象限内，连接并延长交轴于点，探究线段、与的关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．学生在答题前请仔细阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，掌握其概念，找出图形对称轴是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，求不等式的解集，理解分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项，底数相同，指数也相同，合并同类项时，字母及指数不变，系数相加或相减，由此即可求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 5. 下列式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，符合平方差公式； B、，不符合平方差公式； C、，不符合平方差公式； D、，不符合平方差公式； 故选：A． 6. 小明是一位密码编译爱好者，他设置了如下密码：，，，，，分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，中．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱中国 B. 爱中国 C. 我爱学 D. 中国数学 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．将给定式子利用提公因式和平方差公式进行因式分解，得到因子，，，，分别对应密码“我”、“国”、“中”、“爱”，组合后为“我爱中国”． 【详解】解：原式 ， 对应密码：→我，→国，→中，→爱， 密码信息为“我爱中国”． 故选：A． 7. 如图，中，，，的垂直平分线交于点，交边于点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，进而等量代换求解的周长即可． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为 ． 故选：D． 8. 用9根同样长的木棒摆成一个三角形，最长的边最多可以由(　　)根木棒组成． A. 3根 B. 4根 C. 5根 D. 6根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，设三角形的最长边由根木棒组成，则三角形的另两边的和由根木棒组成，由三角形三边关系定理得：，解不等式，即可求解． 【详解】解：设三角形的最长边由根木棒组成，则三角形的另两边的和由根木棒组成， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴三角形的最长边最多由根木棒组成． 故选：B． 9. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五、直金八两．问牛、羊各直金几何?”小明对这个问题进行了改编：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊．买得牛、羊的数量相等，则每头牛的价格为多少两?若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据买得牛、羊的数量相等这个等量关系式进行列分式方程即可． 【详解】设每头牛的价格为x两，则每头羊的价格为x-1两， 根据20两买牛，15两头羊，买得牛、羊的数量相等可列方程： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，能根据题意找出等量关系是解题的关键． 10. 如图，在中，，平分，过点作，垂足为，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线等分三角形面积，解题的关键是通过作辅助线，构造全等三角形，利用三角形中线等分三角形面积求解．延长交于点，过点作于点，证明，得到，，构造出与已知面积比相关的线段关系，再结合，求的长即可． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作于点， 平分， ， ， ， 又， ， ，， ，． ， ，即， ， ． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点P关于x轴对称的点的坐标是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答 【详解】解：点关于x轴对称时，横坐标不变，为；纵坐标互为相反数，即的相反数为，因此对称点的坐标是 12. 因式分解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式____________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式， ∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是，那么阴影部分的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由大正方形与小正方形的面积之差是得出，阴影部分的面积为，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形与小正方形的面积之差是， ， 阴影部分的面积为：， 故答案为： ． 15. 在中，，平分，若，分别是，上的动点，，，当取得最小值时，则_______，与的数量关系为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质、角平分线的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称解决线段和最小值是解题的关键．过点作于点，作点关于的对称点，则，取得最小值，根据三角形的面积公式可求得的长，由角平分线的性质和直角三角形的两锐角互余可得，进而推出，最后根据含角直角三角形的性质等量代换即可得解． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ，平分， ， 作点关于的对称点，则点在上，， 此时，取得最小值， ，， ， 即， ，即的最小值为， ∵，， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：，． 三、解答题（共9小题，6分+6分+6分+8分+8分+8分+10分+11分+12分，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握去括号和合并同类项的法则．先利用单项式乘多项式运算法则去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，以及多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式，将小括号展开，再根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再从，，，中，选一个合适的值作为代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的的值是解答本题的关键．先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定的值并代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ，，， ，，， 可以取， 当时，原式． 19. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 20. 如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：在中，边，的垂直平分线，相交于点， ，， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是灵活应用相关性质定理． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，即可得证； （2）根据等边对等角可得，，根据三角形内角和定理依次求得，的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， ， ， ． 21. 阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． （1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ； （2）解决问题：如果，，求的值； （3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】（1） （2）13 （3）这个长方形的面积为30 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式： （1）利用大正方形的两种面积表示方法，整体面积与分割后各部分面积之和相等得到等式； （2）用（1）中的公式变形，整体代入计算； （3）通过换元法，设，将问题转化为（1）中的已知公式，再利用完全平方公式变形求出长方形的面积． 【小问1详解】 解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ． 【小问3详解】 解：设，则该长方形的面积为， ， ， ． ∴这个长方形的面积为30． 22. 项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 （1）任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； （2）完成任务二． 【答案】（1）；每枝A种花卉的价格为a元 （2） 【解析】 【分析】（1）若设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，则每枝A种花卉的价格为元，每枝种花卉的价格为元，表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可求解； （2）单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，根据完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列方程．即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得． ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉的价格为元． 故答案为：；每枝A种花卉的价格为a元． 【小问2详解】 解：由题意得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 23. 综合探究 问题情境： 是等边三角形，点是上一点，点在的延长线上，且，连接、． （1）如图，当点是的中点时， ；（填“”，“”或“”） （2）若点为边上任意点时，同学们经讨论发现结论依然成立，并且可以通过构造一个三角形与全等来证明．以下是他们的部分证明过程： 证明：如图，过点作，交于点．（请完成余下的证明过程） 问题解决： （3）如图，当点是边上任意一点时，点在上，若，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：如图，过点作，交于点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （3）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，中点的性质，结合图形找准各边角之间的关系是解题关键． （1）由等边三角形的性质可得，，再根据中点的性质和“三线合一”可得，，然后等量代换结合等角对等边即可得证； （2）过点作，交于点，先证明是等边三角形，可得，进而得到，，证明，即可得证； （3）过点作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得证． 【详解】（1）解：当点是的中点时，，理由如下： 如图， 是等边三角形， ，， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）略 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、的坐标分别为、、，且、满足． （1）直接写出点、、的坐标； （2）如图，若点为轴上一点，且，连接，过点作，且，求点的坐标； （3）如图，若点为轴正半轴上一动点，连接，分别以、为边作等边和等边，使点、都在第一象限内，连接并延长交轴于点，探究线段、与的关系，并给出证明． 【答案】（1），， （2） （3） 解：， 证明：如图，在轴上截取， 和都是等边三角形， ，，， ，即， ，，， ， ，，， ， ， ， ，，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的性质，非负数的性质，解题的关键是通过作辅助线来构造全等三角形． （1）利用绝对值和平方的非负性求出，的值即可； （2）连接，易知，得到，进而证明，，证明，得到，，即可得解； （3）在轴上截取，先证明，得到，，，证明，得到，，是等边三角形，进而得到，通过线段的和差关系等量代换即可得证． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ，，； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，， ， ， ，， ， ， ，即， ，，， ， ，， ， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $