2025-2026学年第一学期期末学业水平测试高二数学试题（乙卷）

2025学年第一学期期末学业水平测试 高二数学试题卷（乙卷） 考生须知： 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟； 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域 的作答无效！ 3.考试结束，只需上交答题卷， 选择题部分（共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知复数z=2+3i,1为虚数单位，则z·z= A.13 B.5 C.-5 D.-5i 2.抛物线y=2x2的焦点坐标是 A.(0) B.(g0) C.(0,) D.(0,日) 3.已知空间向量，，为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是 A.@+b,B+cc+a B.a-b,B-cc-d C.ab,a+b+c D.ab+cc+a 4.2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点.2008年，西湖绸伞 制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如 图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为48cm的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平 面的圆心到伞柄底端距离为64cm,当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆 形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率= 7777777777777777 第4题 A. B. C. D.2 高二数学（乙卷)第1页（共4页） 5.设Sn为等差数列{an的前n项和，则“{an}是递增数列”是“Sn}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.设直线的方程为x-ysin0+2=0,则直线的倾斜角的范围是 A.[0,π] B.[] C.,] D.[穿)U(,1 7.已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，则6100的十进制位数是 A.76 B.77 C.78 D.79 8.已知正项数列a,的前n项和为S,且4Sn=a,2+2a,若bn=一， an 则数列bn}的前 120项和为 A.5V2 B.11V2 C.11v2 2 D.11√2+4V15 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某高中100位学生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)， [70,80),[80,90),[90,100).则根据直方图可得 频率 组距 A.a=0.005 0.04 0.03 B.估计这100名学生成绩的平均分为73 0.02 C.估计这组数据的第80百分位数为85 a叶“ D.若采用样本量比例分配的分层随机抽样从[70,80)，[80,90) 05060708090100成绩 第9题 两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取1人，则此人成 绩在区间[80,90)的概率为号 10.设函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),则 A.f(x)的最小正周期是π B.f(x)是偶函数 C.f(x)的最大值是V2+1 D.f)在区间(0，习)上单调递减 11.设抛物线y2=2px(p>0)过点P(1,2),点An(abn)(n∈N)在抛物线上，且b1=1,直线 AnAn+1的斜率构成首项为1，公比为的等比数列，直线0An的斜率为kn,则 A.抛物线方程为y2=4x B.数列{an}是等比数列 C.k2= D.k1+k2+…+k>6-9 高二数学（乙卷）第2页（共4页） 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.己知函数y=f(x),x∈R,部分数据如下表： X 0 1 2 f(x) 2 2.4 2.88 则函数y=f(x)的一个解析式为 13.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上， 且AP⊥平面MBD1,则线段AP长度的最小值为. 14.已知双曲线C号-苦=1，过点P(4-2无，)有且仅有2条直线与双曲线C有1个公共点，则 3 实数t的取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分) 已知△ABC的角A,B,C的对边是a,b,C,b=√2c,CD=2DB,∠CAD=2LBAD. (1)求A; (2)求号 16.(本小题满分15分) 已知直线：kx-y+2-k=0与圆C:x2+y2=16交于A,B两点. (1)求弦长AB的取值范围； (2)求△OAB面积的最大值，并求此时k的值； (3)若圆C在点A,B处的两条切线交于点P,求点P的轨迹方程， 高二数学（乙卷）第3页（共4页） 17.(本小题满分15分) 已知四棱锥B-ACC1A1,AA1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,BA⊥AC,AB=AC=CC1=2AA1: (1)证明：平面A1BC1⊥平面BCC1: (2)设C关于平面A1BC1的对称点为P,求直线AP与平面A1BC1 所成角的正弦值. 18.（本小题满分17分) 第17题 己如平行四边形ABCD内接于椭圆三+y2=1,且平行四边形ABCD的面积为号直线AB,AD 的方程分别为y=k1x+t1,y=k2x+t2· (1)若k1=1,求直线AB的方程； (2)证明：k1k2为定值； (3)求t好+t的最小值. 19.（本小题满分17分) 在数列的任意相邻两项之间插入这两项的和，称为对数列进行一次“和生长”，插入这两 项的积，称为对数列进行一次“积生长”.现对数列1,4分别进行两种操作：进行一次“和 生长”得到数列1,5,4，两次“和生长”得到数列1,6,5,9,4；进行一次“积生长”得到数列 1,4,4,两次“积生长”得到数列1,4,4,16,4.进行n次和生长”后得到的数列为1，x1,x2,,xk,4, 进行n次“积生长”后得到的数列为1，y1,y2,y,4.记an=1+x1+x2++xk+4,bn= l0g4(1·y1y2yk·4) (1)当n=4时，求k的值； (2)证明：数列{a-}为等比数列； (3)求数列{n(a+bn)}的前n项和. 高二数学（乙卷）第4页（共4页）2025学年第一学期期末学业水平测试 高二数学（乙卷）参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B B D C C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ABD 10.BC 11.ACD 11题解析：将点P(1,2)代入抛物线y2=2px得抛物线方程为y2=4x;由直线AnAn+1的斜率 4 1得b+1=_1.b b bn+bn+12n-7得 号=二+1，所以bm=2，故a,与 3 数列a,不是等比数 列，一云2m所以k子所心>品 4 12 2=6 6 故选ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 √ 12.y=2×1.2xy=0.04x2+0.36x+2也对) 13. 2 .13 14.(-∞，1)U54u(3,+o) 解折：将点P(4-2红，0代入双前线C兮-号-1解得：=1或-号将点P(4-2x)代入渐 x2 y2 近线方程写-号-0解得：=4碳一专故实数：的取值范用是(-0,1)u专4付u(台+四。 13 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) BD 6 CD (1)由正弦定理得 由∠CAD=2∠BAD,sim∠ADB= sinzADB sinzBAD'sinADC sinzCAD nA0C.=V26D=250可得aBAD=号所以A-3AD手 …8分 (2)由余弦定理得2=2c2+C2+2V2c,7=5c2,故0、V10 …13分 b2 16.(15分) (1)由直线l:kx-y+2-k=0过定点Q(1,2)可得圆C到直线的距离的取值范围为d∈[0，√⑤]， 故弦长AB的取值范围为[2V11,8]. …5分 2)因为圆C到直线的距离d<V5<2W2.故当CQL时A04B面积取到最大值V55,k三号 …9分 第1页（共3页） (3)设点P(x,yo),则切点弦AB的方程为xox+yoy=16,故 6《子，解得点P的轨迹方程 yo 16k-2 为x+2y-16=0. …15分 17.(15分) (1)取BC1,BC中点分别为M,N,联结A1M,MN,AN. 1 1 ~AA1ICC1且AA1=2CC1,MN ICC1且MN=2CC, AA1IMN且AA1=MN,四边形A1MNA为平行四边形，.A1MIAN. AB=AC,.AN⊥BC,又~AN⊥CC1,且BCnCC1=C, ·.AN⊥平面BCC1,故A1M1平面BCC1, 平面A1BC11平面BCC1· …6分 (2)过C作CQ1BC1且CQnBC1=Q. 不妨设AB=AC=CC1=2AA1=2,以A为原点，分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐 标系，则B(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),A1(0,0,1) 提S780写的.版g号 428、 OB 428 BA=(-2,01),A1G=(0,21),2=(533). 由A·=0得平面A8C,的法向量元=口，-1,2， (A1C1·元=0 设AP与平面A1BC所成的角为0，则sin0=|cos<AP,元>= 3vW14 14 六直线AP与平面A,BC,所成角的正弦值为3 14 …15分 18.(17分) (I)由椭圆的对称性可得ACOBD=0,故AAB0的面积5= 3 联y=x+i多+y2=1得x2+2tx+好-1三0) 数行系6a明告-号解-士1成2 故直线AB的方程为y=x士1或y=x士V2 …6分 (2)由B,D关于原点对称可设A(x1,y1),B(x2,y2),D(-x2,-y2). kk2=1-丝.1+丝=星- …10分 X1-X2x1+X2x1-x2 1 3)联y=kx+t与+y2=1得C飞2+)2+2ktx+t-10 放好1+依.V纸+2-2 t川 2 t22 t24 1 k2+2 V1+k2 3解得 1=3或 k+立 ,1=3 2+ 第2页（共3页） 不防设好-行-名好-程-子 3 由好利存+号3，所以好+的最小值为3+ 1.12 3 …17分 19.(本题满分17分) (1)当n=4时，k=15; …3分 5 5 5 (2)证明：a一2=1+为+x2++x%+4-2为+2++%+ 5 a+1-2=1+1+x+x+为+x2++x1++k+X+4+4-2 15 5 =3(x1+x2++xk1+x)+2=3(am2).而a1=10, 一包一引是以为首项，3为公比的等比数列 …8分 （3）bn=log4(1·y1y2yk·4),bm+1=log4(1·y1y1y1y2y2yk-1 VkVkYk·4.4)=log4(1 y13y23yk3.4.49=log4 3y23-3.4）-3og40y2yk9-1=3b-1 4 n73-名b,-2收-引是以为尚项3为公t的等比微列， 6,-3号6102)可得a-531复2c10 3 .55 n(an+bn)=n(3m+1+3)=n3n+1+3n, 记Tn=132+2·33+…+n3+1,则3Tn=133+234+…+n3n+2 27=3+3+3*+…+31-n-342-980,)-3+2, 2 ∴7n=90-39n」 4 +23+2, 数列a+b》的前项知，-0,9+分3e-(0)321 4+2 2 3n(n+1),9 2+4 …17分 2 第3页（共3页）