山西运城市2025-2026学年第一学期期末调研测试高三数学试题

秘密★启用前 运城市2025一2026学年第一学期期末调研测试 高三数学试题 2026.02 本试题满分150分，考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上。 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上 的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.已知集合A={x2x-4>0},B={xx2-3x-4>0},则A∩CB= A.{x-2<x<4} B.{xl-2<x≤4} C.{2<x<4} D.{xl2<x≤4} 2.已知{a}为等差数列，{b}为等比数列，若a1=b,=1,a2=b2=2,则a4-b。= A.-12 B.-4 C.4 D.12 3.如图，AB是圆0的直径，PA垂直于圆O所在的平面，PA=AB=2,点C是弧AB的中 点，则三棱锥P-ABC的体积为 B号 0 c D.1 (第3题图) 4.已知复数z满足(1-i)(1-)=-2i,则川z= A.1 B.V2 C.V3 D.2 数学试题第1页（共4页） 5.甲、乙、丙、丁、戊、己共6个班参加元旦合唱比赛，决出第1名到第6名的名次.甲、乙 两个班的学生去询问成绩，评审老师对甲班学生说：“很遗憾，你们班和乙班都不是第 1名.”对乙班学生说：“你们班当然不会是最后1名.”从这两个回答分析，6个班的名 次排列可能的不同情况种数为 A.480 B.384 C.360 D.288 6.以F(0,1)为焦点，直线y=-2为准线的抛物线的方程为 A.x2=-6y+3B.x2=-6y-3 C.x2=6y+3 D.x2=6y-3 7.已知a=1ogo,0.5,b=1g60.5,c=0.34,则 A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 8已知椭圆C+I@>b>0的左右焦点分别为P,上，点P,M,N在椭圆C上，且 满足所=A双，所=“，若精国C的商心单：，则A+私的取值范西是 A.(3,14] B.(2,14] C.(3,15] D.(2,15] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已知函数f国=子nor- 4 -coswx(w>0)的最小正周期是π，则 A.0=2 B.f(x)在 上的最大值是号 Cx一招是因的一条对你错 D.f(x)在 TT 123 上单调递增 10.如图，在△ABC中，AM=MC,AN=2NB,BM交CN于点E,且 BE·CE=0,则 AE=-号丽+C B.CE-48-3AC C.cosA的最大值为 2 D.cosA的最小值为 2 (第10题图) 数学试题第2页（共4页） 11.已知函数f(x)的定义域为R,定义集合M.={xf(x)<f(a)},则 A.Va∈R,M。≠R B.若3aeR,M。=O,则f(x)存在最小值 C.若Va∈R,Mn=(-∞，a),则f(x)是增函数 D.若Va>0,M。=(-a,a),则f(x)是偶函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.随机变量X-N(3,σ2)，且P(X≥1+σ2)=0.7，则P(X>5-σ）=△ 13.已知函数o)2十2则/)+f0-):人 14已知数列a的前n项和为9者a,=4。-a≥2，neN,则S△ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcosA+√3 asin B-a-c=0. (1)求B; (2)设点D为边AC的中点，BD=V3,△ABC的面积为V3,求a,c 16.(15分) 如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,△ABC为以B 为顶角的等腰三角形，M为PC的中点，N为BM的中点， PA=1,PB=V3,PC =V5. (1)证明：点M为三棱锥P-ABC的外接球球心； (2)求AN与平面PBC所成角的正弦值 (第16题图)》 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 在新能源电动汽车的电池质量考核中，“典型里程衰减”是一个重要的指标，某公司 的质检员甲从某型号电池的A批次产品中随机获取了一个容量为8的样本进行测试，并 记录每个样本点在其性能衰减至初始值的80%时，汽车所行驶的总公里数，得到如下数 据（单位：万公里）：24,23,26,22,24,23,26,28. (1)求样本的第40百分位数，平均数和方差； (2)若行驶的总公里数超过24万公里，则认为该电池为优等品.用样本数据估计总 体数据，现从A批次电池中随机抽取3个电池进行检测，求这3个电池中优等品的个数 不少于2个的概率； (3)该公司的质检员乙同时测试了该型号电池的B批次产品，得到的样本平均数为 24.4,方差为1.若A,B两个批次电池质量按照“高均值”和“低波动性”进行选择，你认为 应选择哪个批次的电池？请说明你的理由， 18.(17分) 已知双曲线C的渐近线方程为y=±V3x,且该双曲线过点P(-7,12), (1)求双曲线C的标准方程； (2)设A(1,0),B(1,-2),过点B的直线1交双曲线C于点M,N,直线AM,AN的斜率分 别为k1,k2 ()证明：k,+k2为定值； (i)过M作x轴的垂线分别交直线AW,AP于点Q,T证明：M,T,Q三点纵坐标成等 差数列 19.(17分) 已知函数f(x)=[(a-1)x-a]e+x+a. (1)若f(x)在区间(0，+∞)上单调，求实数a的取值范围； (2)设a,=1,a.1=ln(a.+1),n∈N',证明： 0a.3n 2 (i)an+an+1+…+a2>2ln2. 数学试题第4页（共4页）秘密★启用前 运城市2025一2026学年第一学期期末调研测试 高三数学参考答案详解及评分说明 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.D 【解析】由已知可得A={xx>2头，B={xx>4或x<-1},所以CB={x-1≤x≤4；，所以A∩CB={x2<x≤4 2.B 【解析】易知an=n,bn=2m-l,a4-b4=4-8=-4. 3.C 【解析1由题易知.AC1BC,且AC=BC=V2,所以Sa度=)×AC×BC=1,则三棱锥P-ABC的体积为V=号 S版×PA=号 4.A 【解析】设x=a+i,则：=a-bi,所以(1-i)[(1-a)+bi]=-2(a+bi)i, 即(1-a+b)+(a+b-1)i=2b-2ai, 即-a+6=2次解得a=0,6=1,即：=i,所以小=1 (a+b-1=-2a, 5.B 【解析】分步乘法原理，分三步完成.第1名只能是丙、丁、戊、己这4个班，有A}=4种可能；乙班的名次只可能是 第2,3,4,5名，有A:=4种可能；剩余4个班的名次有A4=24种可能.所以6个班的名次排列有4×4×24=384 种不同情况 6.c 【解析设P(x,y)为抛物线上任意一点， 根据抛物线的定义可得√x2+(0-1)=y+2, 即x2+(6-1)=(y+2), 化简得x2=6y+3. 7.A 【解析】易知0<logo0.7<loga0.6<1,故1og,0.5>logo60.5>1,即a>b>1,又c=0.34<0.3°=1，故c<b<a. 8.B 【解析】解法一：设M(x1y),V(x2,y2),P(xoyo), (o+w1=-c, 1+入 PF=入FM, y0+y1=0. 1+入 x02y =1, 又 2x12,X2y12 a21+入1-入 1-A=，=+g, +.-=1→--4 a2+ 数学试题答案第1页（共6页） x0+入x1=-c-c入， 今2x,:4+c+-cA -入 c c 所以A+u= 2(a2+c2）_2(1+e2） a2-c2 1-e2 所以入+u∈(2,14]， 解法二： 因为P瓦=AFM,所以1 又 1 +1=2(二级结论)，所以1+)2故A=2P℉-1 F MPF.ep PF ep 同理=F1以A*(P小+p-2=品x2-2招-2= 4 ep ep 62 -d-2-1-0 -2. 由ea罗可得+ue24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9.ACD 【解扬】由题得-方nor写引T-二=，所以w=21=方-写引数A选项正确：当 [引时，2号[要寻当-号时取到袋大位分故运项说：当：=侣时， x∈44 2x-号=号此时函数)取到妆大值，所以x=行是西函数倒的对称辅，敬C选顶正确：当=（引时， 2-36L77) 骨-（引y=m在）》上单调递增，故D选项正确。 10.ABD 【解析】如图，取CN的中点H,连接MH,则MH∥AB,且MH=方AN,所以MH∥BN,且 M=N,所以△服Ne△Em,所以BE=EM,NE=E,即E=.死-Cm 对于A,成=丽=i-丽=行C-丽=C-孤，敬A选项正确： 对干B.C正=C-(瓜-G)=孤-d=西-c故B选项正确： (第10题答图) 由疏-证=0，可得得c-小2丽-子4C0, 数学试题答案第2页（共6页） 即-1-3C+丽c=0, 4 16 星C4女之 1 ≥、 8 -V3 2 AB·AC AB·AC 2 当仅当44C,即8=94C时 2 m4取得益小值为故C远项错误，D选项正璃 11.ABC 【解析Ha∈R,aM,所以M。≠R,故A选项正确；若a∈R,M。=☑，则x∈Rf(x)≥f(a),故f(x)存在最小 值为f(a),故B选项正确；Hx1x2∈R,且x1<2,可知x1∈M,=(-o,x2)={xf(x)<f(x2},即f(x)<f(x),故 f)是增函数，故C选项正确：对于函数f=,-1<≤1 可以验证a>0,M。=(-a,a),但f(x)不 x+1,x≤-1或x>1, 是偶函数，故D选项错误， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.0.3 【解析】因为X~N(3,o2),即u=3,(1+σ2)+(5-σ2)=6=2，所以P(X≤5-)=P(X≥1+o)=0.7,则 P(X>5-σ2)=1-P(X≤5-σ2)=0.3. 12*-1 【解析1(2-)=2g+22+2 故f()+f(2-)=。1 +21=1+21=1 2+22+2-2+22 14.(n+1)2 馏1当2时8号-8小安形得=12故u子= n 2为公比的等比数列，所以÷2，S=n+2.当n=1时，S,=0+)×2=4=a (n+1)2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1).bcosA+V3 asin B-a-c=0, .sin BcosA+V3 sin Asin B-sinA-sinC=0,…l分 .'sin BcosA V3 sin Asin B-sin A-sin(A B)=0, .'V3 sin Asin B-sin A sin Acos B =0........................... …2分 :A∈(0，T),.sinA≠0， 数学试题答案第3页（共6页） 4分 又Be(0,m,.B- B-君B= …6分 (2)由题得2BD=BM+BC,… …7分 .4BD'BA'BC+2BA.BC, .a2+c2+2acc0sB=12.… 8分 又B=子d++c=2,① 9分 由S=号acsin B=V3,得ac=4,② 11分 由①②得a=2,c=2.…。 13分 16.(1)证明：因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC.… …1分 又因为PA=1,PB=V3,PC=V5,所以AB=V√PB2-P=V2,AC=VPC2-P2=2 又因为△ABC为以B为顶角的等腰三角形，所以BC=AB=V2,…3分 则PB2+BC=PC,所以PB⊥BC, 又M为PC的中点，所以在Rt△PBC中，MB=MP=MC.… …5分 同理，在Rt△PAC中，MA=MP=MC, 所以MP=MA=MB=MC,则点M为三棱锥P-ABC的外接球球心.…7分 (2)解：如图，以A为坐标原点，过点A且垂直于平面PAC的直线为x轴，AC, AP所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1), 所以.1》传1》 8分 所以N=付1)历=.1.-0.元=02.- …10分 (第16题答图) n·PB=x+y-z=0, 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则 n·PC=2y-z=0, 取y=1,解得x=1,2=2,则n=(1,1,2), 12分 1 n2+1+2 所以cos<A下，n> 4V14 14分 21 4 故AW与平面PBC所成角的正弦值为4yI4 21 15分 数学试题答案第4页（共6页） 17.解：(1)把样本数据按从小到大的顺序排列：22,23,23,24,24,26,26,28. 因为8×40%=3.2，所以样本的第40百分位数取第4个数据，为24.…3分 样本的平均数为：=日×2+23+23+24+24+26+26+29)=245， …5分 方差为g2=8×[-25)+(15)+(15)+(-05y+(-05)°+15+15+3.5]=35， …7分 (②样本数报中插过4的有3个，故从样本中随机描取1个电池.该电池为优等品的餐率为。用样本致据估计 总体数据，所以从4批次电池中随机抽取1个电池，该电池为优等品的概率为 P …9分 做床车为P=G×食月×-引+×得=8奶 ……12分 (3)虽然B批次产品的平均值比A批次降低了245：244041%，但B批次产品的方差比A批次降低了 24.5 3.5-1 3.5 ≈71.43%，说明B批次电池的质量更好， (没有定量计算平均值和方差降低的百分比，只定性比较平均值和方差的降低量，也同样得分.)…14分 所以应选择B批次的电池。…。 15分 18.(1)解：因为双曲线C的渐近线方程为y=±V3x,所以可设双曲线C的方程为x- 3=A(a￥0)， 由点P(-712)在双曲线C上，所以49-14=，即A=1, 所以双曲线C的标准方程为-二=1，…4分 3 (说明：若直接设双曲线的方程为。-。三1，扣2分) (2)证明：()当直线l的斜率不存在时，直线l与双曲线C只有一个公共点A,不满足条件，…5分 故设ly=kx+m,M(x1y),N(x2y2) 直线l过点B,所以k+m=-2.… …7分 (y =hx m, -号=得(6-92-2m-m-3=0. 联立 31 3-尽名s-m2+3 易知k*±V3,故，+，=2m 3-k2’ …8分 所以6名+ (x+m)(x,-1)+(kx,+m)(x-) 十 x2-1 (x1-1)(x2-1) -6(k+m) 2hx1x2+(m-)(x1+x2）-2m 3-k2 6 =-3. …11分 x1x2-(x1+x2)+1 -(G+m)2 k+m 3-k2 (ii)设Q(xyo),T(xy), 数学试题答案第5页（共6页） A,N,Q三点共线，所以，=， x1-1’ …12分 A,P,T三点共线，所以力，=0-12.-3 x1-11+7 2 …14分 由()可知k,+k,=y 品高 即 所以y1+y0=2y,得证。 …17分 19.(1)解：f'(x)=[(a-1)x-1]e+1,f"(x)=[(a-1)x+a-2]e. …2分 ①当a≤1时，若x>0,则f"(x)<0,f'(x)在(0，+∞)上单调递减， ∴.f'(x)<f'(0)=0, .∫(x)在区间(0+∞)上单调递减，符合题意；… …3分 ②当1<a<2时，易知6)在02二}上单调通减，在2-片+上羊调港增， xe0是二）时<@)=0.f在到0名-上单调递减 又)-10存在，e仔-行使得/)=0， x∈(x,+∞)时，f'(x)>f(x)=0,f(x)在(，+∞)上单调递增，不符合题意；…5分 ③当a≥2时，若x>0,则f"(x)>0,f'(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴f'(x)>f'(0)=0, f(x)在(0，+∞)上单调递增，符合题意.…6分 综上，实数a的取值范围是（∞，1]U[2,+∞）. …7分 (2)证明：(i)若an>0,则an+1=n(an+1)>0.又a1=1>0,故n∈N,a。>0.…8分 由(1)知当a=2时，f()=(x-2)e+x+2在(0，+∞)上单调递增，故f(a)>f(0)=0,…9分 即(a1-2列e+a1+2=(a-2a.+1)+a1+2>0,变形得1-1< …11分 故+民》…+日+" 2 n+1 …12分 (ii)由(1)知当a=1时，f(x)=-e+x+1在(0，+∞)上单调递减， 13分 故fkf(0)=0,… 14分 +n+1+1<0,变形得、】 即-e+1 *i>m力+2 n+1 15分 04a7故a>2h号 n+1’ 16分 o+a..+..+d>2n+2+In n+1 n+2 +…+2n+2) 2n+1 =2ln2. …17分 数学试题答案第6页（共6页）