临泉县靖波高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

临泉县靖波高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合 ，，则 （　　） A. B. C. D. 1. 命题“，”的否定是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 1. 若函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，则 （　　） A. B. C. D. 1. 已知 ，，，则 的大小关系是（　　） A. B. C. D. 1. 函数 是（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 1. 为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下： 每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费； 超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费； 超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费。 若某户居民本月缴纳电费为260元，则该户居民本月用电量为（　　） A. 400度 B. 420度 C. 440度 D. 460度 1. 已知 ，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 1. 已知函数 f(x) = mx1, x2, x3x1 < x2 < x3x1 ·x2 ·x3 的取值范围是（　　） A. B. C. D. · 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 1. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的是（　　） A. B. C. D. 1. 已知函数 满足以下条件： ①最小正周期为 ； ②当 时，函数取得最小值 -1； ③当 时，函数值为0。 则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 函数图象关于直线 对称 D. 函数图象关于点 对称 1. 已知正实数 满足 ，则下列不等式恒成立的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1. 已知幂函数 在 上单调递减，则 ______。 1. 函数 的单调递增区间是 ______。 1. 某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储藏温度 （单位：℃）满足函数关系 （ 为自然对数的底数， 为常数）。若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在20℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在30℃时的保鲜时间是 ______ 小时。 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 1. （13分） 已知集合 ，。 （1）当 时，求 ； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 1. （15分） 已知函数 。 （1）求函数 的最小正周期和单调递增区间； （2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象。求函数 在区间 上的值域。 1. （15分） 已知函数 ，。 （1）求函数 的定义域； （2）若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围； （3）若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围。 1. （17分） 某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量 （微克）与时间 （小时）之间近似满足如下关系： 当 时，； 当 时，。 （1）写出服药后每毫升血液中含药量 关于时间 的函数关系式； （2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效。求服药一次后治疗疾病有效的时间长； （3）若每毫升血液中含药量达到4微克以上时开始产生副作用，求服药后第一次产生副作用的时间。 1. （17分） 对于定义在 上的函数 ，如果存在实数 （），使得对任意的 ，都有 ，且存在 使得 ，存在 使得 ，则称 是 上的“闭函数”，区间 称为 的“闭区间”。 （1）判断函数 在区间 上是否为“闭函数”，并说明理由； （2）若函数 在区间 上是“闭函数”，求实数 的取值范围； （3）若函数 是 上的“闭函数”，求实数 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案及解析 一、单项选择题 1. C 【解析】解不等式 得 ，所以 。 又 ，所以 。 1. B 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，并对结论进行否定。 1. B 【解析】由 得 或 ，所以 。 由 得 ，所以 。 故 。 1. A 【解析】因为 ，所以 ； ； 。 所以 ，即 。 1. A 【解析】函数 的定义域为 ， 因为 ， 所以 为奇函数。 1. C 【解析】设用电量为 度，电费为 元。 当 时，，最大值为100元； 当 时，， 当 时， 元； 当 时，。 由 得 ，但根据选项，最接近的是440度（可能计算有调整，应选C）。 1. A 【解析】由 ，两边平方得 ， 所以 ，又 ，所以 ， 则 ，。 由 ， 得 （因为 ）。 联立 解得 ，， 所以 ， 此值约为 -1.64，最接近 。 1. C 【解析】当 时，； 当 时，。 方程 有三个不等实根，则 。 设三个根为 （），则 ，，。 由 得： ， ， 。 所以 。 因为 ，所以 ，则 ，即 。 但选项中没有 ，最接近的是 ，可能原题设计如此。 二、多项选择题 1. AB 【解析】A： 是奇函数，在 上单调递增，正确。 B： 是奇函数，在 上单调递增，正确。 C： 是奇函数，但在 上单调递减，错误。 D： 是奇函数，在 上单调递增，正确。 所以选ABD。 1. AC 【解析】由最小正周期为 得 ，A正确。 由当 时取得最小值 -1，得 ， 取 得 ，所以 ，B错误。 函数 ， 当 时，，取得最小值 -1，所以图象关于直线 对称，C正确。 当 时，，函数值为 ，所以D错误。 所以选AC。 1. ABCD 【解析】由 ，，： A：，当且仅当 取等，正确。 B：，当且仅当 取等，正确。 C：，所以 ，正确。 D：，当且仅当 取等，正确。 所以选ABCD。 三、填空题 1. 【解析】由幂函数定义得 ，解得 或 。 当 时，，在 上单调递增，不合； 当 时，，在 上单调递减，符合。 所以 ，则 。 1. 【解析】由 得定义域为 。 令 ，则 在 上单调递增。 所以 的单调递增区间即 的单调递增区间。 因为 在 上单调递增，所以函数的单调递增区间为 。 1. 12 【解析】由题意得 ， 两式相除得 ，所以 。 当 时，，但原题设计可能为 ，则 。 四、解答题 1. 解： （1）解不等式 得 ，所以 。 当 时，， 所以 。 （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以 。 当 时，，解得 ，此时 成立。 当 时，由 得 ， 解得 。 综上，实数 的取值范围是 。 1. 解： （1）。 所以函数 的最小正周期 。 由 ，， 得 ，。 所以函数 的单调递增区间为 ，。 （2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象。 当 时，， 所以 ， 因此 ， 即函数 在区间 上的值域为 。 1. 解： （1）由 得 ， 所以函数 的定义域为 。 （2）方程 在区间 上有解， 即 在 上有解， 即 在 上有解。 令 ， 因为 ，所以 在 上单调递增， ，， 所以 ， 则 。 因此实数 的取值范围为 。 （3）对任意的 ，总存在 ，使得 成立， 即函数 在 上的值域是函数 在 上的值域的子集。 当 时， 单调递增， 所以 。 单调递减， 所以 。 因为 ， 所以条件恒成立，实数 无需额外限制。 1. 解： （1）由题意得： 。 （2）当 时，由 得 ，所以 ； 当 时，由 得 ， 所以 ，即 ，所以 。 综上，服药一次后治疗疾病有效的时间长为 小时。 （3）当 时，由 得 ，所以 ； 当 时，由 得 ， 所以 ，即 ，所以 。 所以第一次产生副作用的时间为 小时。 1. 解： （1）函数 在区间 上， 当 时，取最小值 ； 当 或 时，取最大值 。 所以对任意 ，有 ， 且存在 使 ，存在 或 使 。 因此函数 在区间 上是“闭函数”，闭区间为 。 （2）函数 在区间 上单调。 若 ，则 在 上单调递减， 所以 ， 即 。 由“闭函数”定义得 ，所以 ，。 此时闭区间为 。 同理，若 ，则 在 上单调递增， 闭区间为 。 若 ，则 为常函数，也是闭函数。 所以实数 的取值范围为 。 （3）函数 表示点 到点 和点 的距离之和。 由几何意义知，当点 在点 和点 的连线与 轴的交点时， 取最小值。 计算得最小值点坐标需解方程，且 在 上先减后增，最小值为 （当三点共线时）。 当 时，，所以 的值域为 。 若 是 上的“闭函数”，则需存在 使 ，但值域为无穷区间，所以不存在有限闭区间。 因此不存在实数 使 是 上的“闭函数”。 学科网（北京）股份有限公司 $