第10章 三角恒等变换（举一反三单元自测·拔尖卷）高一数学苏教版必修第二册

第10章 三角恒等变换（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值. 【解答过程】 . 故选：B. 2．（5分）（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将两边平方，可求得，再利用二倍角公式，即可求得答案. 【解答过程】因为，所以， 即得，则， 故， 故选：A. 3．（5分）（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正、余弦的二倍角公式化简，即可求，再用正切函数的二倍角公式求解即可. 【解答过程】，， 由，所以，所以，所以，所以. 故选：A. 4．（5分）（24-25高一下·湖北黄冈·月考）已知锐角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同角三角函数的关系得，由弦切互化可得，即可由和差角公式求解. 【解答过程】由得， 由于为锐角，所以，故， 故， 又所以， 故选：D. 5．（5分）（24-25高一下·吉林·期末）在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【解题思路】由二倍角公式可得，，再根据诱导公式可得，然后利用两角和与差的余弦公式，即可将化简成，所以，即可求得答案． 【解答过程】因为， ， 所以，，即， 因为，所以 所以，即为等腰三角形. 故选：A． 6．（5分）（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用，，再结合两角和与差的三角公式进行化简，然后利用同角三角函数的基本关系可得答案. 【解答过程】因为 ， ， 所以：，. 又 . 故选：B. 7．（5分）（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用诱导公式结合正弦的差角公式，求得，再利用平方关系，求出，再利用余弦的和角公式，即可求解. 【解答过程】由得， 即，所以 ∵是第四象限角，∴. 所以. 故选：D. 8．（5分）（24-25高一下·河南驻马店·月考）音叉发出的纯音振动的数学模型是函数，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移．我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音振动的数学模型是函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上，的最小值为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 【答案】B 【解题思路】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的最值可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断BC选项；利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【解答过程】因为 ， 对于A选项，当时，， ，故A错误； 对于B选项，．所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C选项，， 即，， 所以，函数的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D选项，由，， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故在区间上不单调，故D错误． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏南京·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用二倍角的余弦公式化简判断A，利用两角差的正切公式化简判断B，结合诱导公式，利用两角差的余弦公式求解判断C，通分利用辅助角公式、二倍角公式求解判断D. 【解答过程】对于A，由二倍角的余弦公式得，故A正确， 对于B，由两角差的正切公式得，故B正确， 对于C，由题意结合两角差的余弦公式得 ，故C错误， 对于D，由诱导公式得， 可得，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】对于AB：根据两角和差的正弦公式计算判断；对于C：切化弦求解判断；对于D根据两角和的正切公式化简结合选项C判断. 【解答过程】对于AB：因为，， 所以，， 故AB正确； 对于C：因为，故C正确； 对于D： ，故D错误； 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高一下·福建泉州·月考）已知函数，给出下列四个选项，正确的有（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的最小正周期是 C．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到. D．函数在区间上是减函数 【答案】BD 【解题思路】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性，函数的图象变换规律，得出结论． 【解答过程】， 对于A，因为，所以的一个对称中心为，故A错误； 对于B，的最小正周期，故B正确； 对于C，将函数的图象向右平移个单位， 再向下平移1个单位得到，故C错误； 对于D，当时，，则在上单调递减，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·海南·月考）已知，且，若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据三角函数的基本关系式可求出的值，然后利用两角差的正切公式求解. 【解答过程】已知，且，则， 从而，又， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知满足，则 ． 【答案】 【解题思路】利用诱导公式可求得，利用二倍角的正余弦公式可化为齐次式，即可求解. 【解答过程】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简，由即可得出的范围，根据在上只有一个最大值点和零点即可得出关于的不等式，解出的范围即可. 【解答过程】 ， 由，且，则， 且在区间上只有一个最大值点和一个零点， ，解得， 的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·四川内江·期中）已知，， (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用和差角的正弦公式，结合同角公式求解即得. （2）由（1）的结论，利用同角公式的平方关系及和角的余弦公式求解. 【解答过程】（1）由，得， 由，得，即， 联立解得，， 所以. （2）由，得， 由（1）得，， 所以 . 16．（15分）（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，，其中，． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由题设及和角正弦公式可得，两侧平方并应用平方关系、二倍角正弦公式即可得； （2）应用平方关系求得，再由差角余弦公式即可得； （3）由已知及二倍角余弦公式得，结合角的范围即可求值. 【解答过程】（1）由题意知，则， ，则． （2）由题意，则． ， ． （3）， 由题意知，则． 17．（15分）（2025高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解题思路】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【解答过程】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式 ． 18．（17分）（24-25高一下·北京顺义·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值，并求出对应的值： (3)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）由三角恒等变换将原式转化为，再求周期即可； （2）正体代入结合正弦函数的单调性求解可得； （3）求出正弦函数的递增区间，再由集合间的包含关系可解. 【解答过程】（1） ， 所以函数的最小正周期为. （2）当，， 所以当即时，最大值； 当即时，最小值. （3）当，即时， 函数为递增函数， 又在区间上单调递增， 所以应为函数递增区间的子集，即， 取，所以. 19．（17分）（24-25高一上·广东广州·期末）如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中. (1)将十字形的面积表示成的函数； (2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值. 【答案】(1) (2)，此时 【解题思路】（1）设十字形面积为，易知，然后将代入求解.， （2）由（1）的结论，利用二倍角的正弦和余弦公式，结合辅助角公式得到，再利用正弦函数的性质求解. 【解答过程】（1）解：如图所示：，为锐角， 因为，所以，解得， 所以， （2）解：由（1）知， （其中）， 当，，即当时，十字形取得最大面积，． 因为 所以 此时， 所以 综上，，此时. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 三角恒等变换（举一反三单元自测·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·湖北黄冈·月考）已知锐角满足，则（ ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高一下·吉林·期末）在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 6．（5分）（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，是第四象限角，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高一下·河南驻马店·月考）音叉发出的纯音振动的数学模型是函数，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移．我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音振动的数学模型是函数，则下列说法正确的是（    ） A．在区间上，的最小值为 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·江苏南京·期中）下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高一下·福建泉州·月考）已知函数，给出下列四个选项，正确的有（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的最小正周期是 C．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到. D．函数在区间上是减函数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·海南·月考）已知，且，若，则 ． 13．（5分）（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知满足，则 ． 14．（5分）（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·四川内江·期中）已知，， (1)求的值； (2)若，求的值． 16．（15分）（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，，其中，． (1)求； (2)求； (3)求． 17．（15分）（2025高一下·上海·专题练习）（1）证明：； （2）化简：． 18．（17分）（24-25高一下·北京顺义·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值，并求出对应的值： (3)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 19．（17分）（24-25高一上·广东广州·期末）如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中. (1)将十字形的面积表示成的函数； (2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $