第10章 三角恒等变换（举一反三单元自测·培优卷）高一数学苏教版必修第二册

第10章 三角恒等变换（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·甘肃武威·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用二倍角余弦公式计算即可. 【解答过程】. 故选：C. 2．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·期末）（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】利用正弦和余弦的差角公式及诱导公式，即可求解. 【解答过程】 . 故选：C. 3．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【解答过程】， ． 故选：A. 4．（5分）（24-25高一下·江苏盐城·月考）（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解题思路】利用两角和的余弦公式将转化为，展开后借助辅助角公式化简即可求解. 【解答过程】 . 故选：D. 5．（5分）（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出利用同角三角函数关系和角的范围求出，，利用诱导公式，凑角法和余弦和角公式进行求解. 【解答过程】由题意得， 则，， 所以 . 故选：B. 6．（5分）（24-25高一下·江西·期末）在中，A是锐角，且，则的形状一定为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解题思路】根据和差角公式可得，即可结合诱导公式求解. 【解答过程】由题意可得，整理得， 移项得，故． 因为在中，，，， 所以，即，故． 故选：B． 7．（5分）（24-25高一·全国·课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解题思路】根据同角三角函数的关系分别求解，再结合两角和的余弦公式，结合角度大小判断即可. 【解答过程】∵和均为钝角， ∴，． ∴ ． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D. 8．（5分）（24-25高一下·福建·期中）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由辅助角公式先化简，由题意有解出即可. 【解答过程】由， 因为在区间上有且仅有4个零点和3条对称轴， 所以，即. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·四川绵阳·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】利用二倍角公式及和差角公式逐项计算判断. 【解答过程】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 10．（6分）（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据两角和差的正余弦公式，结合已知条件，依次判断即可. 【解答过程】对于A，，则，，不一定为0，故选项A错误； 对于B，，则，，故选项B正确； 对于C，，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 故选：BC. 11．（6分）（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则下列选项正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的对称轴方程为 C．函数在区间上单调递减 D．将函数的图象向左平移个单位，所得函数为偶函数 【答案】ABD 【解题思路】A选项，利用辅助角公式得到，求出最小正周期；B选项，整体法求出函数对称轴方程；C选项，求出，因为在上单调递增，C错误；D选项，求出平移后的解析式为，得到奇偶性. 【解答过程】A选项，， 所以的最小正周期为，A正确； B选项，令，解得，B正确； C选项，时，， 因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，C错误； D选项，函数的图象向左平移个单位， 得到， 由于， 故为偶函数，D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·福建泉州·期末）已知，则 ． 【答案】 【解题思路】利用辅助角公式可得，利用二倍角的余弦公式可求解. 【解答过程】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据积化和差公式求解即可. 【解答过程】因为 ，所以， 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·山东东营·期末）已知，且，则 . 【答案】 【解题思路】由同角三角函数基本关系式求出，再根据两角差的余弦公式即可得结果. 【解答过程】因为，所以， 又，所以 ， 所以 ， 故的值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系得到，，利用余弦和角公式得到答案； （2）先求出，利用正切和角公式得到方程，求出. 【解答过程】（1）因为，所以， 又，所以， 所以. （2）由（1）可知， 因为，所以， 即，解得. 16．（15分）（24-25高一下·福建泉州·期中）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 【答案】(1) (2),, 【解题思路】（1）由平方关系、商数关系求解即可； （2）由三角恒等变换逐一求解即可. 【解答过程】（1）已知是第二象限角，，则； （2）由题意， , . 17．（15分）（24-25高一下·江西萍乡·期末）（1）求证：； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解题思路】（1）利用两角和的正切公式以及二倍角的正弦、余弦公式可证得结论成立； （2）由已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【解答过程】（1）等式左边， 等式右边，即左边右边，故等式成立． （2）由，可得：， 解得，， 即． 18．（17分）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）利用二倍角余弦公式和商数关系弦化切，求得； （2）根据条件，利用同角三角函数基本关系求出，利用两角和的正切公式求出得解. 【解答过程】（1）由 即，解得， 因为，所以． （2）因为，且，所以， 所以， 所以， 又，，所以， 所以． 19．（17分）（24-25高一下·北京石景山·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 【答案】(1)，函数的单调递增区间为， (2) 【解题思路】（1）利用辅助角公式可得，则可求其最小正周期，利用整体代换法可求其单调递增区间； （2）利用整体代换法求出，由的取值范围为，从而可求解. 【解答过程】（1）由， 则最小正周期为， 令，因为的单调递增区间是，， 所以，，即，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，； （2）当时，， 令，则，所以的取值范围为， 由的性质可知，，解得， 所以的最大值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 三角恒等变换（举一反三单元自测·培优卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·甘肃武威·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高一下·甘肃天水·期末）（    ） A． B． C．0 D．1 3．（5分）（24-25高一下·重庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高一下·江苏盐城·月考）（   ） A．1 B． C． D．2 5．（5分）（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，则 （    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高一下·江西·期末）在中，A是锐角，且，则的形状一定为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 7．（5分）（24-25高一·全国·课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 8．（5分）（24-25高一下·福建·期中）已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·四川绵阳·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高一下·辽宁·期末）已知，则下列选项正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的对称轴方程为 C．函数在区间上单调递减 D．将函数的图象向左平移个单位，所得函数为偶函数 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·福建泉州·期末）已知，则 ． 13．（5分）（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 14．（5分）（24-25高一下·山东东营·期末）已知，且，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 16．（15分）（24-25高一下·福建泉州·期中）已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 17．（15分）（24-25高一下·江西萍乡·期末）（1）求证：； （2）已知，，求的值． 18．（17分）（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 19．（17分）（24-25高一下·北京石景山·期末）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)当时，的取值范围为，求m的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $