第10章 三角恒等变换（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学讲义通过九大基础题型系统构建三角恒等变换知识体系，以框架图呈现两角和差、二倍角、半角等公式的内在逻辑，用对比表格归纳公式正用与逆用的区别，清晰展现公式推导与应用的重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，每个题型涵盖选择、填空、解答题，如题型5“二倍角的余弦公式”通过已知三角函数值求二倍角余弦的题目，培养数学思维中的推理能力与运算能力。提供举一反三方法指导，基础学生可掌握公式应用，优秀学生能深化逆用技巧，助力教师精准分层教学，支持学生自主复习提升。

第10章 三角恒等变换全章九大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 两角和与差的余弦及其逆用 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，逆用差角的余弦公式求解. 【解答过程】. 故选：C. 2．（24-25高一下·四川雅安·期末）已知，，则（  ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知条件，利用两角和与差的余弦公式展开，解方程可得，，进而求得答案. 【解答过程】由，得， 解得，， 所以. 故选：D. 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两角差的余弦与切化弦可求得，进而利用两角和的余弦公式可求值即可. 【解答过程】因为，由， 可得，所以， 则． 故选：A． 4．（24-25高一下·吉林长春·期中） ． 【答案】 【解题思路】利用两角差余弦公式运算即可得解. 【解答过程】. 故答案为：. 5．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）（1）若，求的值. （2）已知，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）把给定两个等式两边平方，再逆用和角的余弦公式计算得解. （2）利用同角公式，差角的余弦公式求解. 【解答过程】（1）由，得， 则，即， 所以. （2）由，得，又， 则， 所以 . 题型2 两角和与差的正弦及其逆用 1．（24-25高一下·海南·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知条件求出的值，再利用两角差的正弦公式计算． 【解答过程】由得到，即，即， 已知，则， 根据两角差的正弦公式，得． 故选：C． 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据诱导公式和正弦的差角公式，对原式进行化简，可得结果. 【解答过程】 . 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据诱导公式和两角和的正弦公式，即可求得答案. 【解答过程】因为， 所以，即， 又，所以． 故选：D. 4．（24-25高一下·安徽·开学考试）的值为 . 【答案】 【解题思路】先根据诱导公式转化，再根据两角差的正弦公式逆用可求得结果. 【解答过程】因为， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先由同角三角函数关系求出、，再由两角差的正弦公式计算可得； （2）首先求出，再根据及两角差的正弦公式计算可得. 【解答过程】（1）因为，即， 解得或， 又，所以， 则； （2）因为，，所以， 又，所以， 所以 . 题型3 两角和与差的正切及其逆用 1．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】B 【解题思路】由两角差的正切公式求解即可. 【解答过程】已知，解得. 故选：B. 2．（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】逆用两角差的正切公式，即可求得答案. 【解答过程】． 故选：A. 3．（24-25高一下·江西上饶·月考）若，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正切函数的两角差公式化简求解即可. 【解答过程】因为， 所以，所以． 故选：C． 4．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知 ． 【答案】 【解题思路】应用两角和的正切公式化简计算求解. 【解答过程】. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·开学考试）已知且. (1)求的值； (2)求的大小. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将化为求解； （2）将化为求解. 【解答过程】（1）； （2）， 又，所以. 题型4 二倍角的正弦公式 1．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据同角三角函数的商数关系可得的值，结合二倍角公式与弦化切即可求解. 【解答过程】由题意得，所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值. 【解答过程】因为 . 故选：A. 3．（24-25高二下·广东汕头·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用二倍角正弦公式、平方关系及齐次法求函数值. 【解答过程】由. 故选：B. 4．（24-25高一下·北京西城·期中）求值： . 【答案】 【解题思路】应用二倍角正弦公式计算求解. 【解答过程】. 故答案为：. 5．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则的值为 . 【答案】 【解题思路】将已知式平方后利用同角三角函数基本关系式及正弦的二倍角公式计算即得. 【解答过程】∵， ∴， ∴. 题型5 二倍角的余弦公式 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二倍角公式展开，然后弦化切即可得解. 【解答过程】因为，且， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用诱导公式和二倍角的余弦公式即可计算得出结果. 【解答过程】， ， 则原式． 故选：C. 3．（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【解答过程】，即 ， 故选：D. 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知，则 . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式及同角三角函数公式计算得解. 【解答过程】由，得，由，得， 所以 故答案为：. 5．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角的余弦公式即可求值； （2）先求出，再利用即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 又因为，所以，    所以. （2）因为，，所以，所以， 又因为， 所以，，    因为， 所以，    因为，所以. 题型6 二倍角的正切公式 1．（2025·湖南·三模）已知（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平方关系求出，即可求出、，再由二倍角公式计算可得. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则. 故选：A. 2．（2025·河南·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二倍角的正切公式计算即可. 【解答过程】由题意得，. 故选：D. 3．（24-25高一下·福建宁德·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将条件式弦化切结合角范围求得，利用二倍角正切公式求解. 【解答过程】依题意得，解得或3. 因为，所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 【答案】 【解题思路】根据两角和的正弦公式、二倍角的正切公式计算得解. 【解答过程】因为, 所以， 所以， 故答案为：. 5．（24-25高一下·北京房山·期中）已知，且． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， ； (2). 【解题思路】（1）由平方关系得，再由和角正弦公式求，二倍角余弦公式求； （2）商数关系求正切，再由二倍角正切公式求. 【解答过程】（1）因为，且， 所以， 所以 ， 所以． （2）因为， 所以． 题型7 积化和差与和差化积公式的应用 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用积化和差公式得到，代入求值即可. 【解答过程】， 由积化和差得， 即， 故，解得. 故选：C. 2．（24-25高三·北京·强基计划）的值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】B 【解题思路】利用和差化积和二倍角的正弦公式可求代数式的值. 【解答过程】根据题意， ． 故选：B. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，则的值为（    ） A．2 B． C．－2 D． 【答案】A 【解题思路】利用和差化积公式即可得到答案. 【解答过程】由 ， ， 两式相除得. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据积化和差公式求解即可. 【解答过程】因为 ，所以， 故答案为：. 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）求值：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）利用积化和差公式化简求得正确答案. （2）利用和差化积公式化简求得正确答案. 【解答过程】（1） ． （2）∵，∴．① 又，∴．② ∵，∴由①②，得，即． ∴． 题型8 半角公式 1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【解答过程】，故，故， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖南岳阳·月考）若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】由同角三角函数的关系求出，再由半角公式求. 【解答过程】为第三象限角，且，则， 得， 故选：A. 3．（24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【解答过程】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 4．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 【答案】 【解题思路】先根据韦达定理得到，再由，然后结合同角的平方关系求得，求出，再利用半角的余弦公式即可求解. 【解答过程】因为、为关于x的方程的两个根， 所以， 又因为， 所以， 又，所以， ， 故答案为：. 5．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据半角公式证明即可． 【解答过程】证明：因为，所以，， 所以，， 所以左边右边， 所以等式成立． 题型9 给角求值型问题 1．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【解答过程】 . 故选：C. 2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）求值：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值. 【解答过程】原式 ， 故选：D. 3．（24-25高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据诱导公式以及倍角公式求解即可. 【解答过程】原式. 故选：A. 4．（24-25高一·全国·课后作业） ． 【答案】 【解题思路】先根据切化弦以及二倍角的余弦公式化简原式，然后利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式进行化简，由此可求结果. 【解答过程】原式 ， 故答案为：. 5．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）求值： (1)； (2). 【答案】(1)1； (2). 【解题思路】（1）将已知式中的切化弦，通分后利用辅助角公式，再利用二倍角公式和诱导公式化简即可； （2）由二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦余弦公式将题中角统一为，进一步转化为，展开后化为特殊角即可求值. 【解答过程】（1） （2） . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 三角恒等变换全章九大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 两角和与差的余弦及其逆用 1．（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川雅安·期末）已知，，则（  ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·吉林长春·期中） ． 5．（24-25高一下·甘肃酒泉·期中）（1）若，求的值. （2）已知，求的值. 题型2 两角和与差的正弦及其逆用 1．（24-25高一下·海南·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北武汉·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽·开学考试）的值为 . 5．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知，，，. (1)求； (2)求. 题型3 两角和与差的正切及其逆用 1．（24-25高一下·山东临沂·期末）已知，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 2．（24-25高一下·江西上饶·期中）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西上饶·月考）若，则（    ） A．3 B．1 C． D． 4．（24-25高一下·内蒙古包头·期末）已知 ． 5．（24-25高二上·上海·开学考试）已知且. (1)求的值； (2)求的大小. 题型4 二倍角的正弦公式 1．（24-25高一下·广东肇庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃白银·期末） （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东汕头·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·北京西城·期中）求值： . 5．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知，则的值为 . 题型5 二倍角的余弦公式 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南驻马店·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知，则 . 5．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 题型6 二倍角的正切公式 1．（2025·湖南·三模）已知（），则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建宁德·期中）若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 5．（24-25高一下·北京房山·期中）已知，且． (1)求，的值； (2)求的值． 题型7 积化和差与和差化积公式的应用 1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·北京·强基计划）的值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若，，则的值为（    ） A．2 B． C．－2 D． 4．（2025高三·全国·专题练习）若，则 ． 5．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）求值：． （2）已知，求的值． 题型8 半角公式 1．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·月考）若为第三象限角，且，则（　　） A． B． C．2 D． 3．（24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 . 5．（24-25高一下·全国·课前预习）已知，求证：． 题型9 给角求值型问题 1．（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）求值：（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一上·广东茂名·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·课后作业） ． 5．（24-25高一下·内蒙古包头·月考）求值： (1)； (2). 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $