第七章 复数（举一反三单元自测·拔尖卷）高一数学人教A版必修第二册

第七章 复数（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解题思路】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③. 【解答过程】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B. 2．（5分）（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】由纯虚数概念得到求解即可. 【解答过程】因为复数是纯虚数， 所以， 解得. 故选：A. 3．（5分）（24-25高一下·四川巴中·期末）已知是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．10 B． C．6 D． 【答案】A 【解题思路】由韦达定理即可求解. 【解答过程】已知是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的另一个根， 所以由韦达定理有. 故选：A. 4．（5分）（2025·陕西宝鸡·一模）已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】首先利用除法运算化简复数，并求和，再根据复数的几何意义，即可求解. 【解答过程】， ，， 所以，对应的点为，在第四象限. 故选：D. 5．（5分）（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【解题思路】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值. 【解答过程】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，    如图，最小值为. 故选：A. 6．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由求根公式求出，由为纯虚数求出，确定. 【解答过程】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 7．（5分）（24-25高一下·湖北荆州·期末）设，为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若满足，则 D． 【答案】C 【解题思路】选项A，利用虚数单位的周期性幂运算判断； 选项B，通过反例说明模长相等的复数平方不一定相等； 选项C，结合复数的几何意义，分析单位圆上的点到定点的距离范围； 选项D，利用复数与共轭复数的乘积公式与平方的关系对比. 【解答过程】对于A，结合虚数单位的幂运算，，故A错误； 对于B，令，，则，但，，则，故B错误； 对于C，因为满足，所以表示复平面上对应单位圆上的点，则表示在复平面内，对应的点到点的距离，又点在单位圆上，所以，故C正确； 对于D，令，则，所以， ，所以，故D错误. 故选：C. 8．（5分）（24-25高一下·上海·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【解题思路】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【解答过程】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若是关于的方程的根，则 【答案】CD 【解题思路】由的值周期为4，可得A选项；由虚数不能比大小，可得B选项；设（为实数），可计算得C选项；由虚根成对和韦达定理可得D选项. 【解答过程】因为,所以 ，所以，故A错； 由于虚数不能比大小，所以B错； 设（为实数）则，故C对； 若是关于的方程的根，则也是关于的方程的根， 由根与系数的关系，，所以，故D对. 故选：CD. 10．（6分）（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】AB 【解题思路】A选项，利用复数的乘除运算和乘方运算得到，A正确；B选项，利用模长公式得到B正确；C选项，根据共轭复数的定义得到C错误；D选项，写出z在复平面内对应的点坐标，得到所在象限，D错误. 【解答过程】对于A选项，，故虚部为-2，A正确； 对于B选项，|z|=，B正确； 对于C选项，z的共轭复数，C错误； 对于D选项，z在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，D错误； 故选：AB. 11．（6分）（24-25高一下·重庆·期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 【答案】BD 【解题思路】根据复数的几何意义可得.求得即可判断A；求得即可判断B；求得即可判断C；求得即可判断D. 【解答过程】由，得. A：，则，又， 所以，故A错误； B：，故B正确； C：设，则， 由，得，即， 所以复数对应的点形成的图形的周长为，故C错误； D：设，则， 又，所以，即， 所以满足的复数对应的点形成的图形的面积为，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 【答案】 【解题思路】根据复数与向量的对应关系以及向量的运算法则来求解向量对应的复数. 【解答过程】已知向量，对应的复数分别为，. 根据向量运算法则，那么向量对应的复数为向量对应的复数减去向量对应的复数.即，化简得：. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知复数，若，则 ． 【答案】 【解题思路】根据复数的乘方运算可得，再由除法运算计算可得结果. 【解答过程】易知， 所以由可得， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【解答过程】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【解题思路】（1）结合实数的概念，即可求解； （2）结合纯虚数的概念，即可求解； （3）结合复数的几何意义，即可求解． 【解答过程】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 16．（15分）（24-25高一下·重庆万州·期中）已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1). (2). (3)或. 【解题思路】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【解答过程】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 17．（15分）（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【解答过程】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 18．（17分）（24-25高一下·陕西西安·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据纯虚数的概念列不等式求解即可； （2）利用实系数方程的根性质可得也是关于的实系数方程的一个复数根，结合韦达定理即可求得的值，从而得所求； （3）设复数，结合复数模长公式可得的值，由二次函数的性质从而求得的最小值. 【解答过程】（1）若是纯虚数，则，解得； （2） 是关于的实系数方程的一个复数根， 则也是关于的实系数方程的一个复数根， 所以，即， 故； （3）若，则， 设复数，则 因为，所以，则，解得， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 19．（17分）（24-25高一下·广东深圳·月考）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. （3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得. 【解答过程】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. （3）当时，，， 则，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， 由此可得， 则， 令，得，而为奇数， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2025高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 2．（5分）（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（5分）（24-25高一下·四川巴中·期末）已知是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．10 B． C．6 D． 4．（5分）（2025·陕西宝鸡·一模）已知复数，为z的共轭复数，则在复平面表示的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（5分）（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 6．（5分）（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高一下·湖北荆州·期末）设，为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若满足，则 D． 8．（5分）（24-25高一下·上海·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若是关于的方程的根，则 10．（6分）（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．的共轭复数 D．复数在复平面内对应的点位于第三象限 11．（6分）（24-25高一下·重庆·期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ） A． B． C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是 D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·广东广州·期中）设是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是 ． 13．（5分）（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知复数，若，则 ． 14．（5分）（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 16．（15分）（24-25高一下·重庆万州·期中）已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 17．（15分）（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 18．（17分）（24-25高一下·陕西西安·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 19．（17分）（24-25高一下·广东深圳·月考）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $