专题01 复数运算的综合应用大题（36题）（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题01 复数运算的综合应用大题（36题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 复数的四则运算 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】由复数的加减运算，可得答案. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. 2．（24-25高一下·河南郑州·期中）（1）已知复数与都是纯虚数，求复数； （2）已知复数，，且.求：①；②. 【答案】（1）；（2）①；② 【解题思路】（1）根据复数的乘法运算结合纯虚数的定义求解；（2）由复数的除法法则求得后可得其共轭复数． 【解答过程】（1）因为复数为纯虚数，所以可设（且）. 则. 又由于是纯虚数，则，可得， 所以. （2）①； ②由题可知， 所以， 所以. 3．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【解答过程】（1）原式． （2） =. （3） ． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知为虚数单位. (1)若复数满足，求； (2)计算. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）证明，求出即可求解； （2）根据复数的四则运算法则即可求解. 【解答过程】（1）由题可得， 所以， 则； （2）原式. 5．（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用复数的乘法可求乘积； （2）利用复数的减法可求差； （3）利用复数的除法可求商. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. 6．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知复数满足：. (1)求复数； (2)求的值. 【答案】(1) (2)i 【解题思路】（1）设代入已知等式，整理后利用复数的相等建立方程，即可求得； （2）利用（1）中的代入，化简得，再利用虚数单位的幂的运算性质计算即得. 【解答过程】（1）设， 由，可得， 即， 则， 解得或（此时方程①无意义，故舍去）， 所以. （2）由（1），可得， 因， 则. 题型二 根据复数的四则运算结果求参数 7．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）根据纯虚数的定义即可得解； （2）根据共轭复数的概念及复数的乘法运算化简求解即可. 【解答过程】（1）为纯虚数，则， 解得， 所以的值为0； （2）由可得， 所以， 解得. 8．（24-25高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【解题思路】利用复数的加法运算求得，再由复数相等的条件列式求解． 【解答过程】，，其中． 若，则， ， 则，解得． 9．（24-25高一下·福建三明·期中）已知复数． (1)若，求a的值； (2)求的最小值， 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据复数的运算，化简得到，列出方程，即可求解； （2）根据复数模的公式，化简得到，进而求得有最小值. 【解答过程】（1）解：由复数， 可得， 所以，解得或． （2）解：由复数， 可得， 所以当时，有最小值，最小值为. 10．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【解答过程】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 11．（24-25高一下·贵州·月考）已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据复数几何意义得，再结合共轭复数概念、复数乘方运算以及复数模的计算公式即可得到答案； （2）根据复数的乘方和除法运算即可得到方程组，解出即可. 【解答过程】（1）由题设知， 则， 故. （2）由， 有， 由题设条件，知， 根据复数相等的定义，得，解得. 12．（24-25高一下·天津和平·期末）已知是虚数单位，复数满足. (1)求与; (2)为复数的共轭复数，若  求的值； 【答案】(1) (2)-2 【解题思路】（1）根据等式求出复数，进而求得复数的模. （2）首先求出共轭复数，然后代入等式化简求出的值，进而可求出的值. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以. （2）由（1）知，所以. 因为，所以. 化简得，所以. 所以. 题型三 复数运算与复数特征的综合应用 13．（24-25高三上·贵州·月考）已知复数，i是虚数单位），是实数. (1)求b的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用复数的除法可求，再结合其为实数可求； （2）利用复数的乘方可求，再由它对应的点所处的象限可求的取值范围. 【解答过程】（1）∵，∴ ∵是实数，∴，解得. （2）由（1）知, ∴， ∵复数在复平面内对应的点在第二象限， ∴，解得， 故实数m的取值范围是. 14．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解； （2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解. 【解答过程】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. （2）因为， 由题有，解得， 所以的取值范围为. 15．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数的概念计算求参； （2）根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参. 【解答过程】（1）因为， 所以， 由是纯虚数，得， 解得， 所以； （2）由（1）知 所以 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 16．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【解答过程】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 17．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知复数，其中是虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）已知复数，相乘展开得：，根据纯虚数特征：实部为0，虚部不为，即，解出m； （2）求出，则，根据对应点在第二象限，构造不等式解出实数m的取值范围. 【解答过程】（1）已知，相乘展开： ， 因为复数为纯虚数， 所以实部为0，虚部不为0，即，解得：， 代入成立，符合要求， 所以. （2），则， 复平面内，对应的点为，因为点在第二象限， 即， 所以实数m的取值范围为：. 18．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1），可得，再根据复数的乘法运算即可求解； （2）根据复数的分类，即可求； （3）根据复数的乘法、除法运算法则可得，然后根据复数的几何意义在复平面对应点所在的象限可求实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，． （2）因为为纯虚数，所以，所以． （3）， 该复数在复平面内对应的点在第二象限， 则，解得， 故实数的取值范围是． 题型四 复数范围内方程的根的问题 19．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】(1)， (2)2 【解题思路】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【解答过程】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2） 是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 20．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)． (1)求实数的值; (2)若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算得解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得. 【解答过程】（1）依题意，点在第四象限，即，由，得，即， 所以. （2）由（1）知，，由复数是关于的方程的根， 得，整理得，而， 因此，解得， 所以. 21．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）由（1）得，原方程为，化简得到，进而求得原方程的另一根. 【解答过程】（1）解：因为为方程的一个根，可得， 整理得，所以， 解得. （2）解：由（1）得，原方程为， 配方得，于是， 解得或，所以原方程的另一根为. 22．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2). 【解题思路】（1）利用分解因式法求解方程. （2）利用配方法求解方程. 【解答过程】（1）由，得，即，解得或， 所以方程的解为或. （2）由，得，则，解得， 所以方程的解为. 23．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【解答过程】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 24．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 【答案】(1)； (2)，. 【解题思路】（1）利用方程根的定义列式，再利用复数为0求得答案. （2）求出方程的两个高根，再利用复数模的意义求解. 【解答过程】（1）由是的一个根，得， 整理得，而，则， 所以. （2）依题意，设， 由，得，即， 又，所以，则， 代入，得， 根据韦达定理，， 当时，；当时，，都满足， 所以. 题型五 复数运算的三角表示 25．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案. 【解答过程】（1）原式． （2）原式． 26．（24-25高一下·辽宁大连·月考）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据公式，即可直接得出答案； （2）设，根据三角恒等变换表示出，然后根据已知得出的值，代入即可得出答案. 【解答过程】（1）由已知可得，， 所以，. （2）由已知可设， 则. 所以， . 由已知可得，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 27．（2025高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 【答案】 【解题思路】根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可. 【解答过程】依题意得， 所以 . 28．（2025高一·全国·专题练习）设，，，求的值. 【答案】 【解题思路】将化为三角形式，利用复数三角形式的乘除法、乘方运算直接求解即可. 【解答过程】，， . 29．（24-25高一下·河北衡水·期末）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，为实数，可求出； （2）由先求出，再根据，得到，，进而可得. 【解答过程】（1）因为虚数不能比较大小，所以为实数， 又因为， 所以， 解得； （2）当时，，． 所以， 所以， 所以，， 因为，所以． 30．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【解答过程】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 题型六 复数综合 31．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）利用复数乘法法则得到，根据是实数，可得方程，可求出； （2）利用复数除法法则化简，得到对应的点坐标，根据所在象限，得到不等式组，求出实数的取值范围； （3）分方程的两根为实数根与虚数根两种情况求解即可. 【解答过程】（1）由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； （2） ， 易知复数在复平面内所对应的点坐标为， 又复数在复平面内所对应的点位于第四象限，可得， 解得， 即实数的取值范围为. （3）若方程的两根为实数根，则， 解得， 若方程的两根为虚数根，则设，，可得， 则，，，所以，所以， 由韦达定理可得，所以， 此时，满足题意， 综上，或. 32．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数，，满足，____________. (1)若为实数，求复数； (2)若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数. 【答案】(1)或 (2)或. 【解题思路】（1）选择①，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； 选择②，由为实数，结合复数运算可得，解方程可得结论， 选择③，设，由条件可得，由条件为实数，结合复数运算可得，解方程可求结论； （2）选择①或③，设，由条件可得，，解方程求可得结论. 选择②，由条件可得，解方程求可得结论. 【解答过程】（1）选择条件①，设，，， 又为实数， ， ，即，，解得或， 故或. 选择条件②，，为实数，， 即，， 则，解得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 故或. 选择条件，为实数，设， ,则，解得或， 故或. （2）选择条件①、，，， 设，则， 又，，即， 又，， 解得或， 故或. 选择条件②，，，， ，即， 化简得，又， 则，解得， 当为偶数时，； 当为奇数时， ， 故或. 33．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，得到，再利用虚数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用复数的运算及复数相等，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义得构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环，即可求解. 【解答过程】（1）因为，则，所以. （2）将代入方程得，整理得到， 则，得． （3）设，则， 所以点构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环， 所以面积为． 34．（24-25高一下·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 【答案】(1)，，， (2) (3)为正三角形，证明见解析 【解题思路】（1）利用立方和公式因式分解可求解； （2）利用复数的乘法运算求解即可； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，设，进而可得，，，进而计算可得为正三角形. 【解答过程】（1）由立方和公式得，， 可得或， 解得三个根为，，，； （2） ； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为， 以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，由题意，得， ，，， ，，， ，， ， 由（1）知， ， 由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形. 35．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. （3）利用给定的定义求出方程根的形式，再借助方程根的意义列出等式，赋值计算即得. 【解答过程】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. （3）当时，，， 则，， 因此关于的方程的根为， 则， 又， 由此可得， 则， 令，得，而为奇数， 所以. 36．（24-25高一下·江苏常州·期中）对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在“长复数”，且“长复数”为 (3)或 【解题思路】（1），，，是复数组，，的“长复数”，从而，由此能求出结果； （2）由，存在“长复数”，只需要， 列不等式组求出结果； （3）由题意，得，，则可得，同理得，结合二倍角公式可求得的值． 【解答过程】（1）由题意可得：，又， 故，，， 故， 解得； （2）存在“长复数”，且“长复数”为，理由如下： 由题意可得， 若存在“长复数”，只需要， 又， 故，即，， 当或时，符合要求，故存在“长复数”，且“长复数”为； （3）由题意，得，， 即， 即，解得， 同理，所以，解得， 故， 因为，所以或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 复数运算的综合应用大题（36题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 复数的四则运算 1．（24-25高一下·广西南宁·月考）计算： (1)； (2)； (3). 2．（24-25高一下·河南郑州·期中）（1）已知复数与都是纯虚数，求复数； （2）已知复数，，且.求：①；②. 3．（24-25高一下·黑龙江佳木斯·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知为虚数单位. (1)若复数满足，求； (2)计算. 5．（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 6．（24-25高一下·山东临沂·期中）已知复数满足：. (1)求复数； (2)求的值. 题型二 根据复数的四则运算结果求参数 7．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 8．（24-25高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 9．（24-25高一下·福建三明·期中）已知复数． (1)若，求a的值； (2)求的最小值， 10．（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 11．（24-25高一下·贵州·月考）已知复数z对应复平面内的点. (1)设，求的模； (2)如果，求实数a，b的值. 12．（24-25高一下·天津和平·期末）已知是虚数单位，复数满足. (1)求与; (2)为复数的共轭复数，若  求的值； 题型三 复数运算与复数特征的综合应用 13．（24-25高三上·贵州·月考）已知复数，i是虚数单位），是实数. (1)求b的值； (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 14．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 15．（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数，且是纯虚数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围. 16．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 17．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知复数，其中是虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求实数m的值； (2)在复平面内，若复数对应的点在第二象限，求实数m的取值范围. 18．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 题型四 复数范围内方程的根的问题 19．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 20．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)． (1)求实数的值; (2)若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值． 21．（24-25高一下·广东梅州·期末）已知是关于的方程的一个根，其中，. (1)求、的值； (2)在复数范围内，求该方程的另一根. 22．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在复数范围内解方程： (1)； (2). 23．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 24．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若（是虚数单位）是此方程的一个根.求、的值； (2)若是此方程的两个虚根，且满足，，求、的值. 题型五 复数运算的三角表示 25．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 26．（24-25高一下·辽宁大连·月考）设复数， (1)写出的三角形式； (2)复数满足，且在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，，求的代数形式． 27．（2025高一下·全国·专题练习）设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数. 28．（2025高一·全国·专题练习）设，，，求的值. 29．（24-25高一下·河北衡水·期末）欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)当时，若且，求的值． 30．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 题型六 复数综合 31．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若，且复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数的取值范围； (3)已知实系数一元二次方程的两根为和，若，求m的值. 32．（24-25高一下·江苏镇江·期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答： 已知复数，，满足，____________. (1)若为实数，求复数； (2)若复数，在复平面内的对应点为，，且，求复数. 33．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知复数（为虚数单位）． (1)若复数，求的值； (2)如果是关于的方程的一个根，求实数的值； (3)复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 34．（24-25高一下·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 35．（24-25高一下·广东深圳·月考）已知： ①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式． ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式． ③方程（为正整数）有个不同的复数根． (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合； (3)复数，求． 36．（24-25高一下·江苏常州·期中）对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $