6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（教学课件）数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的坐标表示，涵盖数量积坐标运算、模与夹角的坐标表示及垂直条件，通过快递配送路线、手机导航角度等生活情境导入，复习向量加减坐标运算，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发兴趣，体现数学眼光观察现实世界，通过严谨推导公式、多样例题（如判断三角形形状、证明两角差余弦公式）培养数学思维，分层训练与系统小结助力学生掌握，教师可直接用于教学提升效率。

第6章 平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 人教A版·必修第二册· 学习目标 掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算. 能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题． 能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． 能用坐标表示平面向量垂直的条件． 目录 CATALOG 01.平面向量数量积的坐标表示 03.题型强化训练 02.向量的模和夹角的坐标表示 04.小结及随堂练习 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 01 平面向量数量积的 坐标表示 导入新知1：快递配送路线的“最优判断” 双十一期间，快递员小李需要配送三个包裹，三个收货地址在平面直角坐标系中的坐标分别为A(2,3)、B(5,7)、C(8,2)。小李计划从A点出发，先送B点再送C点，他想知道：AB段路线与BC段路线是否垂直？如果垂直，拐角处转弯更顺畅，能节省配送时间；另外，A点到C点的直线距离是多少？若后续需要直接从A到C补货，能提前规划车辆续航。 1.要判断AB与BC是否垂直，我们知道向量垂直的核心条件是数量积为0，但如何用A、B、C三点的坐标快速计算向量AB和向量BC的数量积？ 2.要计算A到C的直线距离，除了用勾股定理计算横向、纵向距离再推导，能否通过向量的坐标直接求出？ 3.如果能将向量的数量积、模长与坐标关联起来，是不是所有类似的路线规划、距离计算问题都能快速解决？ 导入新知2：手机导航的“角度预警” 小明使用手机导航骑行，导航地图中以坐标原点O为当前位置，前方两个关键路口的坐标分别为P(4,3)和Q(-3,4)。导航提示：“前方路口需调整方向，请注意转弯角度”。小明想知道：从当前位置到P点的骑行方向（向量OP），与从当前位置到Q点的骑行方向（向量OQ）之间的夹角是多少？是否为直角转弯？如果夹角过小，需要减速慢行。 1.回顾向量数量积的定义，夹角的余弦值等于数量积与模长乘积的比值，但我们不知道OP与OQ的夹角，如何避开“求夹角”的难点，直接用坐标计算数量积？ 2.若能通过坐标算出数量积和两个向量的模长，是不是就能快速求出夹角？ 3.生活中还有很多需要判断方向夹角、垂直关系的场景（如无人机飞行、篮球投篮角度计算），能否找到一个通用的“坐标运算公式”解决这类问题？ 复习旧知 平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： 学习新知 探究 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 已知a＝(x1，y1),b＝(x2，y2),怎样用a,b的坐标表示a·b呢？ 学习新知 (1)若 ，则 ，或 . (2)设 ，则 两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 那么: 注意区别： 学习新知 (2)设 ，则 这就是平面内两点间的距离公式. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么: 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求投影向量、向量夹角的坐标表示、利用向量垂直求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示 学习新知 例10：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC是什么形状？ 证明你的猜想. 解： 所以△ABC是直角三角形． 向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一 学习新知 例10：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则ABC是什么形状？ 证明你的猜想. 勾股定理逆定理是判断两条直线是否垂直的重要方法之一 解： 所以△ABC是直角三角形． 学习新知 学习新知 补充例题 直角没有指明，需要分类讨论. 分析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的坐标表示、向量夹角的计算 02 向量的模和夹角的坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学习新知 思考： 已知a,b都是非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a,b的坐标表示a与b的夹角θ呢？ 特殊情形： 学习新知 例11： 解： 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用向量垂直求参数 学习新知 例12： 证明： O A B y x (1) O A B y x (2) 学习新知 运用向量工具进行探索，过程多么简洁啊 ！ 学习新知 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的运算律、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的运算律、向量夹角的计算、数量积的坐标表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量模的坐标表示、向量垂直的坐标表示 03 题型强化训练 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 能力提升 题型一：平面向量数量积的坐标运算 能力提升 题型一：平面向量数量积的坐标运算 能力提升 题型二：平面向量的模 能力提升 题型二：平面向量的模 能力提升 题型二：平面向量的模 能力提升 题型三：平面向量的夹角、垂直问题 能力提升 题型三：平面向量的夹角、垂直问题 能力提升 题型三：平面向量的夹角、垂直问题 04 小结及随堂练习 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课堂总结1 课堂总结1 课堂总结2 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则: 两点间的距离公式:已知 课堂总结3 作业 教材第 36 页练习第 1,2,3 题. 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 练习(第36页) 练习(第36页) 练习(第36页) 习题6.3(第36页) A B C D E 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) A B C D E F G 习题6.3(第36页) A B C D E F G 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) O P x y 习题6.3(第36页) 习题6.3(第36页) 柯西（Cauchy）不等式 习题6.3(第36页) 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1.（多选题） 已知向量 ，则（    ） A． EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 B． 的最小值为3 C． 与 不垂直 D．当 时， 在 方向上的投影向量为 【详解】若，则，即，此方程无实数解，A错误； ，当且仅当， 即时，等号成立，B正确； 因为，所以与不垂直，C正确； 当时，在方向上的投影向量为，D正确. 故选：BCD 2.（多选题） 已知向量 ， ，则下列说法正确的是（   ） A．若 ，则 B． C． D． 在 上的投影向量为 【详解】对于A：，由， 得，解得：，错误； 对于B：，正确； 对于C：由，确定，正确； 对于D：在上的投影向量为，正确. 故选：BCD. 3.（多选题） 已知向量 ，则（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 在 方向上的投影向量的坐标为 【详解】选项A：若，则，解得，A正确. 选项B：若，，则，B正确. 选项C：，若，则，解得，C错误. 选项D：若，，，， 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 4.（多选题） 已知向量 ，下列结论正确的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 或 D．若 ，则 或 【详解】若，则，解得，A正确，B错误． 若，则，解得或，C正确，D错误． 故选：AC 【变式】在四边形 中， ，则四边形 的 面积为（    ） A． B． C．30 D．15 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及坐标求模，再列式 求出四边形面积. 【详解】在四边形 中, , ， 即 ，又 ， 所以四边形 的面积 . 故选：D 5.（多选题） 已知点 ， ， ，若 ， 的夹角为锐角，则 的值可能为（  ） A． B． C． D． 【详解】由题意知，，，的夹角为锐角， ，且，解得且， 故的取值范围为.选项C、D符合题意. 故选：CD. 6.（多选题） 若向量 ，则（    ） A． B． C． 在 上的投影向量为 D． 与 的夹角为 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，在上的投影向量为， 对于D，由于，所以与的夹角为. 故选：BC. 【变式】 为平面向量,已知 ,则 夹角的余弦值等于( ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】由平面向量夹角公式的坐标运算即可得到答案. 【详解】设 向量的夹角为θ，则 . 故选：A. 【反思感悟】解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 7.（多选题） 已知 ，则（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若向量 与向量 的夹角为钝角，则 D． 的最小值为4 【详解】若，则，可得，A对，若，则，可得，B错， 由，则，若，则，可得，由向量的夹角为钝角，则且，C错，由，则，当且仅当时取等号，故的最小值为4，D对. 故选：AD 8.（多选题） 已知向量 ， ， ，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则 B．向量 与 的夹角为 C．若 ，则 D． 【详解】对于A，因为，则，故A不正确； 对于B，由题可得，， 因为向量夹角范围为，所以向量与的夹角为，故B正确； 对于C，由于，，则，解得，故C正确； 对于D，由于，所以，故D错误； 故选：BC 【变式】已知O为坐标原点,点 , , , ,则 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、 差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据数量积的坐标运算逐一求解，即可求解. 【详解】由题意可得 , ， , , 【变式】已知O为坐标原点,点 , , , ,则 ( ) A． B． C． D． 故 , , EMBED Equation.DSMT4 , 因此 EMBED Equation.DSMT4 ，故选：A 【反思感悟】　 (1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题． 9.（多选题） 已知向量 ， 满足 ， ， ，则下列说法正确的是（    ） A． ， 的夹角为 B． C． 的最小值为 D．若 ，则 的最大值为5 【详解】， ，解得， 选项A，设是与的夹角，则，，故A正确； 选项B，，故B错误； 选项C，， 当时，的最小值为，故C错误； 选项D，设向量，， ， 设是与的夹角，则，即， 当且仅当共线时取等号， ，故的最大值为5，故D正确． 故选：AD． 10.（多选题） 已知向量 ， ，则（    ） A． B． C． 与 的夹角为 D．向量 在 方向上的投影向量为 【详解】因为，，所以，A正确； 因为，， 所以，B正确； 设与的夹角为，则，且，因此与的夹角为，C错误； 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 【练习1】已知向量 ，若 ，则 （    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】利用向量垂直关系可得向量积为0,然后用向量的坐标运算即可求得结果. 【详解】 , , 由 得： ， 则 ，所以 ，故选：B. 【反思感悟】平面向量数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质． 解题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． 【练习2】已知 , ,则 （    ） A． B．1 C． D． 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量模的坐标表示、已知 模求数量积 【分析】根据 ，利用 求出 ， 根据 即可求解. 【练习2】已知 , ,则 （    ） A． B．1 C． D． 【详解】∵ ，所以 ， 由 ，所以 . 故选：B. 【反思感悟】求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算 利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ eq \r(x2＋y2) .　 (3)此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【练习3】已知 =（1，2）， =（-2，4）， (1) //( + )，求 . (2) ⊥ ，求 与 夹角的余弦值 【详解】(1)由 =（1，2）， =（-2，4）， 可得 + ， , 故由 //( + )，可得 ，解得 ； 故 ，则 ； 【练习3】已知 =（1，2）， =（-2，4）， (1) //( + )，求 . (2) ⊥ ，求 与 夹角的余弦值 【详解】(2)由 ⊥ 可得： ，则 ， 故 ， ， ， ， 故 . 【反思感悟】利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； (2)利用|a|＝ eq \r(x2＋y2) 计算出这两个向量的模； (3)由公式cos θ＝2),\s\do1(1)) eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) )·\r(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ＋y eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) )) 直接求出cos θ 的值； (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.　 1. 知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示. 若 a与b的夹角为 ,则 ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. ,或 (4)若a,b为非零向量，则 【点拨】公式 与 都是用来求两向量的数量积 的x没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导. 若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式 求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式 求解. 2．平面向量的模． 3．平面向量的夹角、垂直问题． 4．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错． $