6.3.5 平面向量数量积的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 (1)a b=(x1,y1) (x2,y2)= . (2) a= (x,y)= . (x1 x2,y1 y2) ( x, y) 向量线性运算的坐标表示 试一试1:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),借助标准正交基,你能用a与b的坐标来表示a b吗? 向量数量积的坐标表示 , ∴ 又∵ ∴. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 向量的长度: (1)向量a=(x,y)与自身的夹角为0,因此a a= . 于是得到计算向量a=(x,y)的模(即长度)的公式为|a|= . |a||a|cos0=|a|2 = 试一试2:有了向量数量积的坐标表示,你能完成下列公式的推导吗? (2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|= . 模长公式 两点间的距离公式 根据两个非零向量a=(,), b=(,)数量积的定义,得到计算两向量夹角余弦值的公式为cos<a,>= . 2.夹角余弦值: 3.垂直条件: 已知向量a=(,), b=(,),则a⊥ba b= = =0. 注意:两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一. 0 例1 已知a=(3,1), ,求k为何值时: (1) a∥b; (2) a⊥b; (3) a与b的夹角为钝角. (2)因为a⊥b,所以 ,解得 提示:先写出两者坐标表示,注意它们的区别. 为钝角时需满足哪些条件? 解:(1)因为a∥b,所以 ,解得 (3)因为 <〈a,b〉< ,所以cos〈a,b〉<0, 则由向量夹角余弦公式可得 解得 由(1)知, 时,a∥b,即a,b共线,此时〈a,b〉= . 所以 且 时,a,b的夹角为钝角. (3) a与b的夹角为钝角. 要注意共线的情况 例2.若则是什么形状?证明你的猜想. 解:如图,在平面直角坐标系中画出点,我们发现是直角三角形.证明如下. 因为 , 所以 于是. 因此,是直角三角形. 图1 图2 例3.用向量的方法证明两角差的余弦公式. 解:如右图所示,在平面直角坐标系中作单位圆, 以轴的非负半轴为始边作角,,它们的终边与 单位圆分别交于、两点. 则. 由向量数量积的坐标运算公式得: 即 ①. 因为, 由①与②两式得:. 由图1可知:, 设向量与的夹角为,由向量数量积的定义得: 由图2可知:, . 所以 ②. 所以. 所以, 所以, 即 ①. 图1 图2 利用向量工具能极大地简化运算 本节课你学到了哪些知识,谈谈你的收获: D 2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则a b的值为( ) A.1 C.3 D.4 B.2 解:a+b=(3,k+2),由a+b与a共线, 可得3k-(k+2)=0, 解得k=1,则a=(1,1), 从而a b=1 2+1 2=4. 设计意图:检查学生向量数量积的坐标表示的掌握情况. 16 C A.(-3,0) C.(3,0) D.(4,0) B.(2,0) 3.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是( ) 解:设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1), ∴ =(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1, 故当x=3时,最小,此时点P的坐标为(3,0). 设计意图:检查学生对向量数量积的坐标表示掌握. 17 4.已知a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b) c= , 则向量a与c的夹角为_. 解:∵b=(-2,-4)=-2(1,2)=-2a, ∵0≤ ≤ ,∴ = , ∴a+b=-a,∴(a+b) c=-a c= . 设a与c的夹角为 ,则cos = . 即a与c的夹角为 . 设计意图:检查学生对对向量夹角的坐标表示的掌握情况. 18 5.已知a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角的余弦值; (2)若(a- b)⊥(2a+b),求实数 的值. 解: (1)∵a b=4 (-1)+3 2=2, (2)∵a- b=(4+ ,3-2 ),2a+b=(7,8),(a- b)⊥(2a+b), |a|==5,|b|=, ∴cos<a,b>= ∴(a- b) (2a+b)=7(4+ )+8(3-2 )=0, ∴ = . 设计意图:检查学生对向量垂直与夹角的坐标表示的掌握情况. 19 思考:如何用a与b的坐标来表示向量a,b的数量积a b呢? 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),我们可以求出a+b,a-b 以及 a( ≠0)的坐标. 答案:C 1.已知a=(-2,4),b=(1,2),则a b=( ) A.0 B.10 C.6 D.-10 解析:由题意知,a b=(-2) 1+4 2=6. 答案:eq \f( ,4) eq \r(10) 2.已知向量a=(3,1),b=(1,2),则向量a与b的夹角为_,|a|=_. 解析:由题意知,cos〈a,b〉=eq \f(a b,|a||b|)=eq \f(3 1+1 2,\r(32+12) \r(12+22))=eq \f(5,\r(10) \r(5))=eq \f(\r(2),2). 因为向量夹角的取值范围是[0, ], 所以向量a与b的夹角为eq \f( ,4),|a|=eq \r(32+12)=eq \r(10). x1x2+y1y2=0 1.平面向量数量积的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为 . 数量积 a b=_ 向量垂直 a⊥b _ x1x2+y1y2 eq \r( x2-x1 2+ y2-y1 2) 2.向量模的公式 设a=(x1,y1),则|a|=_. 3.两点间的距离公式 若A(x1,y1),B(x2,y2),则|eq \o(AB,\s\up14( ))|=_. 4.向量的夹角公式 设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b 夹角为 ,则 cos =eq \f(a b,|a||b|)=eq \f(x1x2+y1y2,\r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)+y\o\al(2,2))). eq \r(x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1)) 答案:D 1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a b=1,则x=( ) A.-1 B.-eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.1 解析:∵a b=1 2+(-1) x=2-x=1,∴x=1. $