6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量数量积的坐标表示，涵盖数量积公式、模、夹角余弦公式及应用，通过知识辨析（如公式成立条件、垂直与平行区别）衔接向量基础，为模、夹角、垂直问题解决搭建学习支架。 其亮点在于以知识辨析培养数学思维，通过正方形动点等典例发展数学眼光，用坐标法、平方法等数学语言系统总结方法。帮助学生深化理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

　平面向量数量积的坐标表示 知识点 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 必备知识 清单破 条件 结论 a=(x1,y1),b=(x2,y2) a·b=x1x2+y1y2 a=(x,y) |a|=  A(x1,y1),B(x2,y2) | |=  a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b 的夹角 a⊥b⇔x1x2+y1y2=0; cos θ= =  第六章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.对任意的向量a,b,向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立吗? 2.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足a⊥b,则x1y2-x2y1=0成立吗? 3.已知非零向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是什么?与a垂直的单位向量的坐标又 是什么? 第六章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不都成立.当a=0或b=0时这两个公式不成立. 2.不成立.x1y2-x2y1=0是两向量平行的充要条件,两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆, 要注意区分. 3.设与a共线的单位向量为a0,则a0=± a=± =± ,其中正、负号分 别表示与a同向和反向. 易知b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,所以与a垂直的单位向量的坐标为±  ,其中正、 负号表示不同的方向. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 利用向量数量积的坐标运算解决模、夹角、垂直问题  关键能力 定点破 定点 1 1.求向量的模的两种方法 (1)坐标法:若a=(x,y),则|a|= . (2)平方法:若向量a,b是以非坐标形式出现的,则可先求向量的模的平方,再通过向量数量积的 运算求解,常用的求模的公式:|a|2=a2=a·a,|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2,|a|2-|b|2=(a+b)·(a-b). 2.解决向量夹角问题的方法 　　求非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角θ时,利用公式cos θ= = ,结合0° ≤θ≤180°求解. 3.涉及非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)垂直的问题时,一般借助a⊥b⇔a·b=x1x2+y1y2=0来解决. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例　已知向量a=(1,2),b=(x,-1). (1)若(a+2b)∥(2a-b),求|a+b|; (2)若c=(-3,-1),a⊥(b+c),求a与b的夹角的余弦值. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    (1)由题意得a+2b=(1+2x,0),2a-b=(2-x,5),因为(a+2b)∥(2a-b), 所以5(1+2x)=0,解得x=- , 故b= ,所以a+b= , 所以|a+b|= = . (2)由题意得b+c=(x-3,-2), 因为a⊥(b+c),所以x-3-4=0, 解得x=7,故b=(7,-1), 所以cos<a,b>= = = , 所以a与b的夹角的余弦值为 . 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　平面向量数量积的坐标运算的应用  定点 2 1.向量数量积的运算有两种思路:一种是基底法,另一种是坐标法.在解决平面几何中的数量 积的运算时,对于等腰三角形、矩形、正方形等规则图形,一般选择坐标法,建立恰当的平面 直角坐标系,用向量的坐标运算解决平面几何中的数量积问题. 2.与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决,借助向量数量积的坐标运算构造 函数,特别是二次函数与三角函数,再利用函数的性质求出最值. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例    (1)如图,在边长为1的正方形ABCD中,P是对角线AC上一点,且 =  ,若点M为线段 BD上的动点,则 · 的最小值为　　　    ;   (2)如图,菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,M为DC的中点,P是以A为圆心,2为半径的圆弧  上的点,则 · 的取值范围为　　　　　    .   - [-3,4 -9] 第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    (1)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,   则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), ∴ =(1,1), =(1,-1), ∴ =  = ,故P . ∵点M为线段BD上的动点, ∴可设 =λ =(λ,-λ),0≤λ≤1,∴M(λ,1-λ), 第六章　平面向量及其应用 高中同步 ∴ = , =(1-λ,λ-1), ∴ · = ·(1-λ,λ-1)=2λ2-3λ+1=2 - ,0≤λ≤1, ∴当λ= 时, · 取得最小值,为- . (2)以A为原点建立平面直角坐标系,如图所示:   则A(0,0),C(3, ),M(2, ),∴ =(3, ). 第六章　平面向量及其应用 高中同步 由题意可设P(2cos α,2sin α) , 则 =(2cos α-2,2sin α- ), ∴ · =3(2cos α-2)+ (2sin α- ) =4 sin -9. ∵α∈ ,∴α+ ∈ , ∴sin ∈ , ∴ · 的取值范围是[-3,4 -9]. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 方法技巧 　　涉及圆上动点问题时,一般把圆心作为原点建立平面直角坐标系,利用三角函数的概念 表示动点坐标,将问题转换为三角函数的有关问题,利用三角函数的性质求解. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 $