专题13相交线.平行线与平移寒假预习讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+强化巩固)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

专题13相交线.平行线与平移寒假预习讲义 · 认识平行线三条核心性质，能说出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的内容，初步区分平行线性质与判定的逻辑差异，结合简单图形用性质判断或计算角度。 · 从生活实例抽象平移概念，辨别简单平移现象，探索平移核心性质，知道平移后图形形状、大小不变及对应点连线的特征。 · 能在方格纸上完成简单图形的平移操作，明确平移的方向和距离两大要素，记录两小节预习中的疑问。 预习必备 知识点梳理 1.平行线的性质 2.性质与判定的区别与联系 3.平移的定义 4.平移的四大性质 常考题型 精讲精炼 1.两直线平行.同位角相等 2.两直线平行.内错角相等 3.两直线平行.同旁内角互补 4.由平行线的性质探究角的关系 5.由平行线的性质求角的度数 6.平行线性质在生活中的应用 7.由平行线判定与性质求角度 8.由平行线判定与性质证明 9.生活中的平移现象 10.图形的平移 11.由平移的性质求解 12.利用平移解决实际问题 强化巩固 (解答题5题) 【知识点01.平移的性质】 核心前提 两条平行线被第三条直线所截，才会产生以下角的数量关系；单独的角无此性质，性质需结合平行线使用。 三大核心性质（由线平行→角关系） 1.两直线平行，同位角相等 符号语言：∵a∥b，∴∠1=∠2（同位角相等）。 2.两直线平行，内错角相等 符号语言：∵a∥b，∴∠1=∠2（内错角相等）。 3.两直线平行，同旁内角互补 符号语言：∵a∥b，∴∠+∠=180°（同旁内角互补）。 4.平行线的传递性 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【知识点02.性质与判定的区别与联系】 类别 核心逻辑 关键作用 平行线的判定 由角的数量关系→推线的位置关系（角定线） 证明两条直线平行 平行线的性质 由线的位置关系→推角的数量关系（线定角） 求角度、证明角相等 / 互补 联系：判定和性质的题设与结论互逆，需结合题干条件选择使用。 【知识点03.平移的定义】 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。✅关键：平移是图形的整体运动，且不改变图形的形状、大小和方向，仅改变图形的位置。 平移的两大核心要素（缺一不可） 平移的方向：直线方向（如水平向右、竖直向上、斜向左下等）； 平移的距离：对应点之间的线段长度。 【知识点04.平移的四大核心性质】 平移的四大核心性质 平移后，原图形与平移后的图形为全等图形，且满足： 1.对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等； 2.对应线段平行（或在同一直线上）且相等； 3.对应角相等； 4.图形的周长、面积保持不变。 【题型1.两直线平行.同位角相等】 【典例】如图所示，直线，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质及对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质及对顶角相等是解题的关键；由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴； 故选A． 【跟踪专练1】如图，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握垂直于同一条直线的两条直线平行，以及平行线的同位角相等的性质是解题的关键． 先根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，再利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴ ． 故答案为：70°． 【跟踪专练2】下列说法正确的个数（    ） ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ③两边及一组角分别相等的两个三角形全等 ④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离 ⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、垂线段最短、全等三角形的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据对顶角的定义可判定①；垂线段最短的性质可判定②；根据不能判定全等可判定③；根据距离是长度而非线段可判定④；两直线平行、同位角相等可判定⑤． 【详解】解：①对顶角需两边互为反向延长线，仅有公共顶点且相等的角不一定是对顶角（如角平分线分出的角），则①错误． ②垂线段最短是垂线的基本性质，则②正确； ③两边及一组角相等（非夹角）时，可能存在两种不同三角形（不必然全等），即③错误； ④点到直线的距离是垂线段的长度，而非线段本身，故④错误； ⑤同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，故⑤错误． 综上，仅②正确，正确个数为1． 故选A． 【题型2.两直线平行.内错角相等】 【典例】如图，直线a、b被直线c所截，，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 根据平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线，被直线所截，，与相交于点，与交于点，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，对顶角相等． 根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】过点F作,过点E作，得到，设，设，得到，解答即可． 本题考查平行线的判定和性质，等量代换，角平分线；熟练掌握平行线的判定和性质，灵活表示角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：过点F作,过点E作， ∵， ∴， 设，设， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 【题型3.两直线平行.同旁内角互补】 【典例】如图，，交于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质， 根据“两直线平行同旁内角互补”得，则此题可解. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：D. 【跟踪专练1】如图， ，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，由两直线平行得出同旁内角互补，，结合，，得出，再根据角的差关系列式计算，即可求出的度数． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【题型4.由平行线的性质探究角的关系】 【典例.】如图，已知直线，并且被直线所截，以下结论：①，②，③，④．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，，，据此可判断①②④，根据现有条件无法得到，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 根据现有条件无法得到， ∴正确的有①②④， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，，则之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质；延长至，得到，，从而可得，即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【跟踪专练2】如图，已知，，、分别为的角平分线，则下列说法正确的是（   ） ①；②；③平分；④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个，①③④ 故选D． 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 【题型5.由平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质． 由平行线的性质，结合已知可得的同位角，从而可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，将含有的直角三角板如图方式摆放，与的角平分线交于点G，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质和角平分线的性质，过点作，由平行线的性质得出，再根据角平分线的性质求出． 【详解】解：过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 【题型6.平行线性质在生活中的应用】 【典例】如图，车道与平行，若拐角，则拐角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质．由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 【跟踪专练1】杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 【答案】/106度 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用．根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，体育场既在教学楼A的南偏东方向上，又在礼堂的南偏西方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的应用、方位角等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：由题意可得：，，，过C作，则，由平行线的性质可得，；再根据角的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，，， 如图，过C作，则， ∴，， ∴． 故选：B． 【题型7.由平行线判定与性质求角度】 【典例】如图是纸风车的示意图，和的交点在风车杆上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意，易得，则有，结合已知条件，得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．因为，，所以，则，故度数可求． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型．已知AB垂直于水平地面AE，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（CD与AE始终平行），在该运动过程中，的度数始终等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 根据题意，结合图形，得到，再利用两直线平行，同旁内角互补，得到，则，最后． 【详解】解：如图，过点作， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【题型8.由平行线判定与性质证明】 【典例】下列说法正确的是（    ） A．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．平面内两个角相等，则它们的两边分别平行 D．两条直线被第三条直线所截，那么有两对同位角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定定理，根据平行线的性质与判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，原说法错误，不符合题意； B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，原说法正确，符合题意； C、平面内两个角相等，则他们的两边不一定分别平行，原说法错误，不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，那么有四对同位角相等，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ． 【答案】5秒或秒 【分析】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况． 分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解． 【详解】解：，， ，． 分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ，， 要使，则， 即． 解得； 旋转到与都在的右侧时， ，， 要使，则， 即， 解得； 旋转到与都在的左侧时， ，， 要使，则， 即， 解得． ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为5秒或秒时，与平行． 故答案为：5秒或秒． 【跟踪专练2】如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④， 故选：D． 【题型9.生活中的平移现象】 【典例】有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是 （填序号）． 【答案】③⑤⑥ 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，进行判断即可．熟练掌握平移的定义是解题的关键． 【详解】解：①在游乐场荡秋千是旋转，不是平移； ②转动的电扇叶片是旋转，不是平移； ③正在上升的电梯是平移； ④行驶的自行车后轮是旋转，不是平移； ⑤水平传送带上的物体是平移； ⑥飞机在跑道上滑行，直至停止是平移； 故答案为：③⑤⑥ 【跟踪专练1】春节联欢晚会上，歌手站在升降台上出场，这一过程可以看作数学上的（    ） A．转动 B．对称 C．平移 D．对折 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移，平移是沿直线运动．根据轴对称、平移、旋转的定义作答即可． 【详解】解：春节联欢晚会上，歌手站在升降台上出场，这一过程可以看作数学上的平移． 故选：C 【跟踪专练2】如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】98 【分析】根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD-1）×2，求出即可． 【详解】利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于AB，纵向距离等于（AD-1）×2， ∴图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB=50米，宽BC=25米，为50+（25-1）×2=98米， 故答案为：98． 【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 【题型10.图形的平移】 【典例】下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，最小正方形的边长为1，将字母“V”向左平移 格（两个“V”无重叠）后与平移前的图形可以组成字母“W”． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平移的性质．先画出平移后得到的“W”，然后再根据平移的性质即可解答． 【详解】解：将字母“V”向左平移2格会得到字母“W”，平移后画出图形如下： 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，将沿射线平移得到，下列线段的长度能表示平移距离的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的概念判断即可． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段、可表示平移距离， 故选：． 【点睛】本题考查了平移，掌握平移的概念是解题的关键． 【题型11.由平移的性质求解】 【典例】如图，将周长为的三角形沿边向右平移得到三角形，则四边形的周长为 ． 【答案】26 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移的性质得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：已知的周长为， ∵三角形沿边向右平移得到三角形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：26 ． 【跟踪专练1】如图，将三角形沿着方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，， 则结论①②③④正确， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，将其中一个沿直线由点向点方向平移，平移的距离是，若，则图中阴影部分面积为 （已知：梯形面积（上底+下底）×高）． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，由，推出，即可解决问题．解题的关键是掌握平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【详解】解：∵两个相同的直角三角形重叠在一起，将其中一个沿直线由点向点方向平移，平移的距离是，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即图中阴影部分面积为． 故答案为：． 【题型12.利用平移解决实际问题】 【典例】如图，将要给甲、乙、丙三户接电表，若使每相邻两户的电线等距排列，则三户所用的电线（    ） A．甲户最长 B．乙户最长_ C．丙户最长 D．三户一样长 【答案】D 【分析】可理解为将最左边一组电线向右平移所得，由平移的性质即可得出结论． 【详解】∵甲、乙、丙三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列， ∴将甲向右平移即可得到乙、丙， ∵图形的平移不改变图形的大小， ∴三户一样长． 故选：D． 【点睛】此题考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 【跟踪专练1】如图，在长方形长，宽地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分作为耕地，道路宽为3米时耕地面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，利用平移的性质将耕地部分组成一个矩形是解题的关键． 利用平移思想，得到耕地面积为长为，宽为的长方形的面积，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，道路宽为3米时耕地面积为：； 故答案为： 【跟踪专练2】如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，则下列结论正确的有（　　） ①AC∥DF； ②HE＝5； ③CF＝5； ④四边形DHCF的面积为32.5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先由平移的性质可得：S△ABC＝S△DEF，AB＝DE＝8，继而可得S四边形DHCF＝S梯形ABEH，然后可求得四边形DHCF的面积． 【详解】解：由平移的性质可得AC∥DF，AB＝DE＝8， ∵DH＝3， ∴HE＝DE﹣DH＝8﹣3＝5，CF＝BE＝5，S△ABC＝S△DEF， ∴S四边形DHCF＝S梯形ABEH＝（EH+AB）•BE＝×（5+8）×5＝， 故①②③④都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点． 1．如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角/同位角相等则两直线平行，两直线平行则内错角/同位角相等是解题的关键． 先利用同角的补角相等推出，得到；再结合，通过平行线性质和等量代换，得到，从而得到；最后利用平行线的性质，证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：平分 、 ． 3．如下图，射线平分，点在射线上，且交于点，是射线上的一个动点． (1)当平分时，若，求的度数； (2)当时，试探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先通过角平分线得到角的倍数关系，再结合平行线的内错角相等，最后在三角形中用内角和求角度； （2）利用角平分线和平行线的性质，分两种情况推导角之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）解：如图①，当点在线段上时，设，则， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图②，当点在射线上时，设，则， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 综上所述，和之间的数量关系为或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题关键是通过角平分线和平行线建立角的数量关系，结合代数设元法推导角之间的等式． 4．实验中学准备整理城北校区一块边长为的正方形空地． (1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽的小路．求此方案中草坪种植的面积（即阴影部分的面积）； (2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线，求此方案中小路所占的面积（即阴影部分的面积）； (3)方案三：在这块空地上修建一个长与宽的比为，面积为的植物园．在这块空地上能否修建出符合要求的植物园？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）求出草坪种植的长和宽进行计算即可； （2）利用平移求出小路所占的长和宽进行计算即可； （3）设植物园的长为，宽为，由题意得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，此方案中草坪种植的面积为：； （2）解：由平移可知，此方案中小路所占的面积为：； （3）解：在这块空地上不能修建出符合要求的植物园，理由如下； 设植物园的长为，宽为， 依题意得，， ， 由边长的实际意义可得， 植物园的长为，， ， ， ，即植物园的长大于这块正方形空地的边长； 在这块空地上不能修建出符合要求的植物园． 5．如图，已知线段，点C是线段外一点，连接，（）．将线段沿平移得到线段．点P是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图1中补全图形，并证明：； (2)过点C作直线．在直线l上取点M，使．当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平移的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据题意补全图形即可，根据平移的性质可知，，过点作，则，由平行线的性质可得，，由此即可得证； （2）分两种情况：当在的外部时；当在的内部时；分别求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： 证明：根据平移的性质可知，，             如图，过点作， 则， ，， ， ； （2）解：如图，当在的外部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当在的内部时， ∵，， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，与之间的数量关系为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题13相交线.平行线与平移寒假预习讲义 预习目标 认识平行线三条核心性质，能说出同位角相等、内错角相等、同旁内角互 补的内容，初步区分平行线性质与判定的逻辑差异，结合简单图形用性质判断 或计算角度。 。从生活实例抽象平移概念，辨别简单平移现象，探索平移核心性质，知道 平移后图形形状、大小不变及对应点连线的特征。 能在方格纸上完成简单图形的平移操作，明确平移的方向和距离两大要素， 记录两小节预习中的疑问。 预习内容概览 预习必备 1.平行线的性质 2.性质与判定的区别与联系 知识点梳理 3.平移的定义 4.平移的四大性质 1.两直线平行.同位角相等 2.两直线平行.内错角相等 3.两直线平行.同旁内角互补 4.由平行线的性质探究角的关系 常考题型 5.由平行线的性质求角的度数 6.平行线性质在生活中的应用 精讲精炼 7.由平行线判定与性质求角度 8.由平行线判定与性质证明 9.生活中的平移现象 10.图形的平移 11.由平移的性质求解 12.利用平移解决实际问题 强化巩固 (解答题5题) 3 知识点梳理 【知识点01.平移的性质】 核心前提 试卷第1页，共3页 两条平行线被第三条直线所截，才会产生以下角的数量关系；单独的角无此性质， 性质需结合平行线使用。 三大核心性质（由线平行一角关系） 1.两直线平行，同位角相等 符号语言：：ab,.∠1=∠2（同位角相等）。 2.两直线平行，内错角相等 符号语言：alb,.∠1=∠2（内错角相等）。 3.两直线平行，同旁内角互补 符号语言：：alb,∠+∠-180°（同旁内角互补）。 4.平行线的传递性 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【知识点02.性质与判定的区别与联系】 类别 核心逻辑 关键作用 由角的数量关系→推线的 证明两条直线平 平行线的判定 位置关系（角定线） 行 平行线的性质 由线的位置关系一→推角的 求角度、证明角相 试卷第1页，共3页 类别 核心逻辑 关键作用 数量关系（线定角） 等/互补 联系：判定和性质的题设与结论互逆， 需结合题干条件选择使用。 【知识点03.平移的定义】 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。 关键：平移是图形的整体运动，且不改变图形的形状、大小和方向，仅改变图 形的位置。 平移的两大核心要素（缺一不可） 平移的方向：直线方向（如水平向右、竖直向上、斜向左下等）； 平移的距离：对应点之间的线段长度。 【知识点04.平移的四大核心性质】 平移的四大核心性质 平移后，原图形与平移后的图形为全等图形，且满足： 1.对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等； 2.对应线段平行（或在同一直线上）且相等： 3对应角相等； 4.图形的周长、面积保持不变。 常考题型精讲精练 【题型1.两直线平行.同位角相等】 【典例】如图所示，直线a∥b,若∠1=36°，则∠2的度数为() A.36° B.44° C.54° D.144° 【跟踪专练1】如图，a⊥c,b⊥c.若∠1=70°，则∠2的度数为 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】下列说法正确的个数() ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ③两边及一组角分别相等的两个三角形全等 ④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离 ⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2.两直线平行.内错角相等】 【典例】如图，直线a、b被直线c所截，a∥b,己知∠1=80°，则∠2=_ 【跟踪专练I】如图，直线AB,CD被直线CG所截，AB∥CD,EF与CG相交于点A, 与CD交于点F,AG平分∠EAB,若∠C=50°，则LCAF的度数是() A B D A.50° B.60° C.70° D.80° 【跟踪专练2】如图，AB∥CD,∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线 BF交于点F,∠BEC-∠BFC=30°，则∠BEC的度数为 试卷第1页，共3页 【题型3.两直线平行.同旁内角互补】 【典例】如图，AB∥CD,AF交CD于点E,∠A=45°，则∠AED的度数为() C E B A.35° B.45° C.50° D.135° 【跟踪专练1】如图，AB∥CD,∠B=155°，∠D=120°，则∠E= E A B C D 【跟踪专练2】如图，若AB∥CD,则角，B,Y的关系为() A B 可 B6B D A.a+B+y=360° B.a-B+y=180° C.a+B+y=180 D.a+B-y=180° 【题型4.由平行线的性质探究角的关系】 【典例.】如图，已知直线a∥b,并且被直线c所截，以下结论：①∠1=∠2，②∠1=∠4， ③∠2=∠3，④∠3+∠4=180°，其中正确的个数为() 试卷第1页，共3页 a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练1】如图，AB∥CD∥EF,则∠L,∠2，∠3之间的数量关系为 A B E F 【跟踪专练2】如图，已知AB∥CD,LBEH=LCFG,EI、FK分别为∠AEH、∠CFG的 角平分线，FK⊥FJ,则下列说法正确的是() ①EH∥GF;②LCFK=∠H;③FJ平分∠GFD;④∠AEI+∠GFK=90°. A B K G D A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 【题型5.由平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，若4I1,∠1=55°，则∠2= 【跟踪专练1】如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB,CE,DE分别为前叉、下管 和立管（点C在AB上），EF为后下叉.已知AB∥DE,AD∥EF,∠BCE=67°， ∠CEF=133°，则∠ADE的度数为() A E A.57° B.66 C.67° D.74° 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】已知4∥l2,将含有30°的直角三角板如图方式摆放，∠EAB与∠FDB的角平 分线交于点G,若∠1=26°，则∠2=_ E 【题型6.平行线性质在生活中的应用】 【典例】如图，车道AB与CD平行，若拐角∠ABC=140°，则拐角∠BCD的大小为() A------- A.40 B.120° C.1309 D.140° 【跟踪专练1】杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都 喜欢商家“翘高高”称物.如图，此时AB∥CD,∠1=74°，则∠2的度数为一· CI BD D 【跟踪专练2】如图，体育场C既在教学楼A的南偏东30°方向上，又在礼堂B的南偏西 50°方向上，则∠ACB的度数是() 北 北 B A.60° B.80 C.90° D.100° 【题型7.由平行线判定与性质求角度】 试卷第1页，共3页 【典例】如图是纸风车的示意图，AC和BD的交点在风车杆上，若 ∠A=∠C=87°，∠B=56°，则∠D的度数为 【跟踪专练1】如图，已知∠1=110°，∠2=70°，∠4=115°，则∠3的度数为() A.115 B.65 C.60° D.40 【跟踪专练2】某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型.已知AB垂直于 水平地面AE,当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段 则一直保持水平状态上升(CD与AE始终平行)，在该运动过程中，LABC+∠C的度数始 终等于 B 【题型8.由平行线判定与性质证明】 【典例】下列说法正确的是() A.垂直于同一直线的两条直线互相垂直 B.平行于同一条直线的两条直线互相平行 C.平面内两个角相等，则它们的两边分别平行 D.两条直线被第三条直线所截，那么有两对同位角相等 【跟踪专练1】如图，直线EF上有两点A、C,分别引两条射线AB、CD,∠DCF=60°， ∠EAB=70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动， 在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间= 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】如图，给出下列条件：①∠1=∠4；②∠2=∠3；③AB∥CD,且∠A=∠C; ④LEBC=∠A;其中能推出AD∥BC的条件有() A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 【题型9.生活中的平移现象】 【典例】有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶 的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止.其中，可以看作 平移的是」 (填序号). 【跟踪专练1】春节联欢晚会上，歌手站在升降台上出场，这一过程可以看作数学上的() A.转动 B.对称 C.平移 D.对折 【跟踪专练2】如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD,长AB=50米，宽BC=25米， 为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1 米，那么小明沿着小路的中间出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为米， 【题型10.图形的平移】 【典例】下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形平移得到的是() 【跟踪专练1】如图，最小正方形的边长为1，将字母“向左平移 格（两个“P”无 试卷第1页，共3页 重叠)后与平移前的图形可以组成字母“W”. 【跟踪专练2】如图，将ABC沿射线AB平移得到△DEF，下列线段的长度能表示平移距 离的是() E D B A A.AB B.BE C.BD D.AE 【题型11.由平移的性质求解】 【典例】如图，将周长为20cm的三角形ABC沿边BC向右平移3cm得到三角形DEF,则 四边形ABFD的周长为」 cm 【跟踪专练1】如图，将三角形ABC沿着Y方向平移一定的距离得到三角形MNL,则下 列结论：①AM∥BN;②AM=BN;③BC=NL;④LACB=LMLN,正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练2】如图，两个相同的直角三角形重叠在一起，将其中一个沿直线BC由点B向 点C方向平移，平移的距离是3cm,若AB=6cm,DK=2cm,则图中阴影部分面积为 试卷第1页，共3页