精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年初二上学期期末质量测评 数学 本卷共7页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． A卷（共100分） 第I卷（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. 0.101001000100001… B. C. 3.1415926 D. 2. 下列条件能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ，， D. 3. 在平面直角坐标系中，将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 16的平方根为4 D. 点一定在第四象限 6. 把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作．书中有这样一道题：“今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升（1斗10升），相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x的不等式的解集是 D. 的解集为 第Ⅱ卷（非选择题共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 比较大小：______（填“”、“”或“”） 10. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 11. 若方程的解满足，则______． 12. 如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是______． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的值为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，并作出关于x轴对称的图形． （2）在第二象限找一点D，使得轴且，写出点D的坐标． （3）在x轴取一点P，使得是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点P的坐标． 16. 【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）如图1，请完成以下问题：运动员B的平均数为______，运动员A的众数为______，你认为_______（填A或B）的射击水平发挥更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______环，②处应填________环，③处应填_________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数________选手B射击成绩的中位数（填>，<或=），且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 17. 如图1，是等腰直角三角形，，，D在线段上一动点，连接．E是线段上的一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，恰好满足A、E、F三点共线，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图2．当点D为中点时，连接，直接写出的值． 18. 在平面直角坐标系中，已知点A在轴的正半轴，点B在轴的负半轴，连接，其中． （1）如图1，若，，求直线的表达式． （2）在（1）的条件下，点C为线段上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段．若点D落在x轴上，求点C的坐标． （3）如图2，作直线关于y轴对称直线，E为线段上一动点，D为线段上一动点，且，连接，在上方作等边，若，，直接写出最小值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 19. 已知，则_____． 20. 关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 21. 在等腰直角中，，，D为上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为．若，则_______． 22. 在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 23. 定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“逆和差变化”点的坐标为，则关于的“逆和差变化”点的坐标为_____；若点关于点的“逆和差变化”点在直线上，其中，则k的取值范围为_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上） 24. 2020年8月底，天府新区根据鹿溪河全流域水环境治理工程建设总体安排，启动了兴隆湖水生态综合提升工程，其中一项工程计划工期10个月，工程总长度为10千米，由甲、乙两个工程队负责施工已知甲工程队每月改造1.2千米，乙工程队每月改造0.8千米，已知甲工程队每千米的施工费用为80万元，乙工程队每千米的施工费用为60万元，设完成此项工程所需施工总费用为w万元，甲工程队完成的工程长度为x千米． （1）写出w与x的函数表达式； （2）由于受场地施工限制，甲、乙两工程队不能同时施工，在保证不超过计划工期内完成此项工程的情况下，甲工程队需改造多少千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低？最低费用为多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，将直线平移得到直线，与轴、轴分别交于两点、且经过点． （1）求直线的表达式； （2）点为轴上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．点为线段上一点，连接，若，求点的坐标； （3）如图，点坐标为，连接，点为线段上一点，其横坐标为，点关于直线的对称点为点，若纵坐标为，直接写出的值． 26. 在等腰中，，，点D在边上，在右侧作，且，连接． 【初步感知】 （1）如图1，设，，求的度数（请用与表示） 【探索发现】 （2）如图2，取的中点G，连接．设的面积为m，的面积为n，请猜想m与n之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，．当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初二上学期期末质量测评 数学 本卷共7页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． A卷（共100分） 第I卷（选择题共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，无理数是（ ） A. 0.101001000100001… B. C. 3.1415926 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，根据定义判断即可． 【详解】解：A．0.101001000100001…是无限不循环小数，为无理数； B．是循环小数，为有理数； C．3.1415926是有限小数，为有理数； D．=4，为整数，是有理数． 故选：A． 2. 下列条件能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. ，， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过角的关系(三角形内角和为)或边的关系(勾股定理逆定理、三角形三边关系)来判断． 【详解】解：对于选项A，设，，， ， ，解得， 则，不是直角三角形； 对于选项B，， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 对于选项C，， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形； 对于选项D，，且， ， 解得，是直角三角形； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标平移，关于轴对称点的坐标特征，解题的关键是掌握点平移坐标的变化规律．根据平移规则，得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标取相反数，纵坐标不变，求点的坐标即可． 【详解】解：将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点， ，即， 点关于轴对称点的坐标为． 故选：C． 4. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，结合计算即可，本题考查了平行线的性质，与三角板有关的计算，掌握平行线的性质，是解题的关键． 【详解】∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选C． 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 16的平方根为4 D. 点一定在第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题，解题的关键是掌握相关理论和举出反例． 利用相关理论和反例逐项进行判断即可． 【详解】解：对于A：∵， ∴（不等式两边加同一数不等号方向不变）， 故A为真命题； 对于B：两条直线被第三条直线所截，只有当它们平行时同位角才相等， 故B为假命题； 对于C：16的平方根是，而非仅4， 故C为假命题； 对于D：点中，；当时，，点在x轴上，不在第四象限， 故D为假命题； 故选：A． 6. 把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数水平平移的规律，需根据“左加右减”的原则对自变量x进行变换． 【详解】解：把直线向右平移1个单位长度后，其直线的函数解析式为， 故选：B． 7. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作．书中有这样一道题：“今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升（1斗10升），相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，根据“上等稻6捆，其所得谷粒减去18升，相当于下等稻10捆所得谷粒；下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵上等稻6捆，其所得谷粒减去18升（1斗=10升），相当于下等稻10捆所得谷粒， ∴， ∵下等稻15捆，其所得谷粒减去5升，相当于上等稻5捆所得谷粒， ∴， ∴根据题意可列出方程组， 故选：C． 8. 如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解是 B. 方程的解是 C. 关于x的不等式的解集是 D. 的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 比较大小：______（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，可采用移项法，将被比较的式子变形，然后通过平方比较变形后两边正数的大小，从而得出原式的大小关系． 【详解】解：比较与的大小，即比较与的大小，也就是比较与的大小 ∵，，， ∴， 两边同时减去2，得， 即. 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程（一）——合并同类项与移项，坐标轴上点的坐标特征等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 点A在x轴上，则其纵坐标为0，由此建立方程求解． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴纵坐标， 解得：． 故答案为：8． 11. 若方程的解满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，可通过将方程组的两个方程相加，结合已知条件建立关于的方程求解． 【详解】解：已知方程组， 将两个方程左右两边相加，得， 合并化简得． 又因为， 所以，解得； 故答案为：． 12. 如图，长方体的长为，宽为，高为．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为，斜边为，那么． 分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可． 【详解】解：如图1，由勾股定理得：． 如图2，由勾股定理得：． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的值为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图过程与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据勾股定理求出，证明，得出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由作法得平分， ∴，， 又， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：15． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分．解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，一元一次不等式组的解法： （1）根据立方根、算术平方根、负整数指数幂、零指数幂的运算规则求解，进而进行加减运算即可求解； （2）先分别求解每个不等式，再确定公共解集即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，． （1）在平面直角坐标系中画出，并作出关于x轴对称的图形． （2）在第二象限找一点D，使得轴且，写出点D的坐标． （3）在x轴取一点P，使得是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图，和即为所求； （2）点D的坐标为 （3）点P的坐标为、或 【解析】 【分析】本题主要考查了利用网格画轴对称图形，两点之间的距离，根据等腰三角形确定点的坐标，解题的关键是掌握平面直角坐标系． （1）确定点的坐标画出三角形，根据轴对称的性质确定对称点的坐标，然后进行连接即可； （2）根据两点之间的距离确定点的坐标即可； （3）根据等腰三角形的性质确定点的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，点即为所求， 点D的坐标为； 【小问3详解】 解：如图所示， 当时，此时； 当时， 由勾股定理得，， 此时； 当时，此时； 综上，点P的坐标为、或． 16. 【数据收集】 某市射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）如图1，请完成以下问题：运动员B的平均数为______，运动员A的众数为______，你认为_______（填A或B）的射击水平发挥更稳定； （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析． ①处应填______环，②处应填________环，③处应填_________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数________选手B射击成绩的中位数（填>，<或=），且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9，9，B；（2），9，10，=；（3）选择B选手参加青少年射击比赛 【解析】 【分析】（1）根据平均数、众数和方差的意义解答即可； （2）先把选手A，B的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】（1）解：运动员B的平均数为： （环）， 运动员A的众数为9环， 运动员B的成绩的波动比运动员A小，所以运动员B的射击水平发挥更稳定． 故答案为：9，9，B； （2）解：选手A的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， ∴下四分位数为，即； 中位数为，即； 选手B的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， ∴上四分位数为，即， 基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数等于选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 故答案为：，9，10，=； （3）解：选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛， 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【点睛】本题考查了求一组数据的平均数，求众数，求中位数，根据方差判断稳定性，求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 17. 如图1，是等腰直角三角形，，，D在线段上一动点，连接．E是线段上的一点．现以为直角边，C为直角顶点，在的下方作等腰直角，恰好满足A、E、F三点共线，连接． （1）求证：． （2）若，，求的长． （3）如图2．当点D为中点时，连接，直接写出的值． 【答案】（1） 解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据直角三角形得出相等的边和直角，然后根据余角定理证明，证明，即可得出结论； （2）设，由勾股定理求出，根据全等三角形得出相等角和边，得出，最后利用勾股定理列出方程求解即可； （3）过点作于点，证明，得出，设，表示出相关线段的长，然后利用三角形的面积公式求出比值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得 ∴ 解得， ∴的长为； 【小问3详解】 解：的值为，理由如下： 如图2所示，过点作于点， 由（2）得， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， 设， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴的值为． 18. 在平面直角坐标系中，已知点A在轴的正半轴，点B在轴的负半轴，连接，其中． （1）如图1，若，，求直线的表达式． （2）在（1）的条件下，点C为线段上一动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段．若点D落在x轴上，求点C的坐标． （3）如图2，作直线关于y轴对称直线，E为线段上一动点，D为线段上一动点，且，连接，在上方作等边，若，，直接写出最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理算出点，的坐标，则由待定系数法可求直线表达式； （2）过点作轴，根据题意证明，再根据勾股定理可求坐标； （3）过点作，证明，即可知，然后根据将军饮马可求最小值． 本题考查了一次函数的综合，勾股定理，含30度角直角三角形的性质，最短路径，全等三角形的判定和性质，掌握基本概念是解题关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ， ， 则点，， 设直线的解析式为：， 将点，，代入得 则， 则得直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由题可得图：过点作轴，则， 由旋转可得：，， ，， ， ∵， 在和中， ， ， ， ， 点， 则点； 【小问3详解】 解：由题可得：过点作， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， 直线关于y轴对称直线， ， ， ， ， 设， ， 则， ， ， 则 . 在和中， ， ， 作点关于直线的轴对称点， 则， 则，，三点共线， ，， 则， ∵， ∴当，，三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵． ∴的最小值为． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 19. 已知，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而确定的值，再代入方程求出的值，最后计算． 本题考查了二次根式的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为和 在实数范围内有意义， 所以且， 即且， 解得， 将代入原方程，得， 所以，即； 因此， 故答案为：6． 20. 关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 21. 在等腰直角中，，，D为上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为．若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用三线合一得出为的中线，从而可得，再分点D在E的左侧，点D在E的右侧两种情况，用分别表示出与，再求得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在等腰直角中，，， ∴为的中线， ∴， 当点D在E的左侧时， 由折叠可知， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴； 当点D在E的右侧时，如图， 由折叠可知， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分母有理化，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，折叠问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 22. 在综合实践课中，数学兴趣小组对正整数进行研究，将正整数去除平方数后从小到大排成一排，记作，则______；若n为正整数，则的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的估算和应用，关键是通过对数的规律的探究，表达出前个数中的平方数的个数． ①先列出原始正整数序列：，识别其中的平方数，去除平方数后，按顺序计数到第项，直接得到即可； ②设第个非平方数，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为．根据题意可得方程，变形为，则的整数部分为，尝试，代入得，验证满足条件，然后计算附近的平方数：，，得到的最小值即可． 【详解】解：将正整数从小到大排成一排为，其中平方数为，，，．去除平方数后，剩余数为 由此可知； 设第个非平方数为，从1到中，平方数的个数为，因此非平方数的个数为． 令，则，则的整数部分为，且， 当时，，的整数部分为，满足条件，故． ∵， ∴，即， ，，且， 的最小值为； 故答案为：；． 23. 定义：在平面直角坐标系中，点关于点的“逆和差变化”点的坐标为，则关于的“逆和差变化”点的坐标为_____；若点关于点的“逆和差变化”点在直线上，其中，则k的取值范围为_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的新定义坐标变换，以及一次函数与不等式组的综合应用． （1）根据“逆和差变化”的定义，代入坐标计算即可得到变换后的点坐标； （2）先求出点的“逆和差变化”点坐标，代入直线方程后，通过方程变形得到关于的表达式，再结合的取值范围分情况解不等式，从而推导的取值范围． 【详解】解：根据“逆和差变化”定义，将与代入， 得，，故变化点坐标为； 点关于的“逆和差变化”点坐标为，化简得， 代入直线得：， 整理得到：，∴，且． ∵，∴， ∴当，即时，不等式组为，解得； 当，即时，不等式组为，解得． 综上，的取值范围为或． 故答案为：；或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上） 24. 2020年8月底，天府新区根据鹿溪河全流域水环境治理工程建设总体安排，启动了兴隆湖水生态综合提升工程，其中一项工程计划工期10个月，工程总长度为10千米，由甲、乙两个工程队负责施工已知甲工程队每月改造1.2千米，乙工程队每月改造0.8千米，已知甲工程队每千米的施工费用为80万元，乙工程队每千米的施工费用为60万元，设完成此项工程所需施工总费用为w万元，甲工程队完成的工程长度为x千米． （1）写出w与x的函数表达式； （2）由于受场地施工限制，甲、乙两工程队不能同时施工，在保证不超过计划工期内完成此项工程的情况下，甲工程队需改造多少千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低？最低费用为多少？ 【答案】（1）；（2）甲工程队需改造6千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低，最低费用为万元． 【解析】 【分析】（1）甲工程队完成的工程长度为x千米，则乙工程队完成的工程长度为(10-x)千米，根据题意列式即可求解； （2）根据题意列不等式，求得的取值范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）已知甲工程队完成的工程长度为x千米，则乙工程队完成的工程长度为(10-x)千米， 根据题意可得：， 整理得：； （2）根据题意可得， 整理得：， 解得：， 由（1）知：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 的最小值为， 故甲工程队需改造6千米才能使两工程队完成此项工程所需施工总费用最低，最低费用为万元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理清题中熟练关系，利用一次函数的性质是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，将直线平移得到直线，与轴、轴分别交于两点、且经过点． （1）求直线的表达式； （2）点为轴上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．点为线段上一点，连接，若，求点的坐标； （3）如图，点坐标为，连接，点为线段上一点，其横坐标为，点关于直线的对称点为点，若纵坐标为，直接写出的值． 【答案】（1）直线表达式为； （2）点的坐标为或； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（）由直线平移得到直线，所以，即，然后把点代入即可求出的值； （）由直线表达式为得，当时，，即，所以，然后分为如图，当在轴正半轴上时，如图，当在轴负半轴上时，再通过全等三角形的判定与性质，待定系数法求解析式等知识即可求解； （）由（）得，又点坐标为，求得直线解析式为，得，由直线得，则当时，，故有直线经过定点，设，因为点关于直线的对称点为点，所以，即，解得或，所以，，得，，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵将直线平移得到直线， ∴，即， ∵直线图像经过点， ∴，解得：， ∴直线表达式为； 【小问2详解】 解：由直线表达式为得，当时，， ∴， ∴， 如图，当在轴正半轴上时，过作轴于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∵，为三角形公共边， ∴直线平行直线， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴； 如图，当在轴负半轴上时，过作轴于点，延长交直线于点，则， 同理得：， ∴，， 过作，交延长线于点，过作，交延长线于点， ∴， ∵，为三角形公共边， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作轴 ，交延长线于点， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴，， ∴，， ∴，解得：， ∴，此时与重合，如图， 综上可得：点的坐标为或； 【小问3详解】 解：由（）得， ∵点坐标为， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， ∵点为线段上一点，其横坐标为， ∴， ∴， 由直线得， ∴当时，， ∴直线经过定点， ∵纵坐标为， ∴设， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴，解得：或， ∴，， ∴的中点为，的中点为， ∵直线经过或， ∴或， 解得：或， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，两点间的距离，待定系数法求解析式，一次函数的平移等知识，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 26. 在等腰中，，，点D在边上，在右侧作，且，连接． 【初步感知】 （1）如图1，设，，求的度数（请用与表示） 【探索发现】 （2）如图2，取的中点G，连接．设的面积为m，的面积为n，请猜想m与n之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，．当时，求的值． 【答案】（1）； （2）， 延长至点，使得，连接，如图， ， ， ， ， ， ， 点是中点，, ， ； （3）． 【解析】 【分析】本题综合考查几何证明中的角度关系、全等三角形的构造与性质、面积关系的转化及线段比例的计算．解答过程分为三个部分，涉及三角形内角和、辅助线构造、全等三角形判定、等边三角形性质、等腰直角三角形性质及中位线定理等多个核心几何知识点．解答的关键在于通过合理的辅助线构造全等形，实现边、角、面积关系的转化． （1）由已知出发，利用角的和差关系进行代换；结合的内角和为，推导出；进一步根据已知，，即得得出答案； （2）延长至点，使得，连接，构造；利用，，推导出；结合已知，，证明，从而；由全等得，点为边中点，得出；进一步得，而（中线平分面积），即可得出答案； （3）由（2）可知，，是中位线，作，等量代换得出是等边三角形，再分别证明和，进一步得出，，即可得出． 【详解】（1）解， ， ， ， ， ； （2）略 （3）由（2）可知，，是中位线， ， 作，如图， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $