精品解析：江苏省连云港市灌南县惠泽高级中学2025-2026学年高一上学期第二次月考（1月）数学试题

灌南县惠泽高级中学2025～2026学年第一学期第二次月考 高一数学试题 注意事项： 1.考试时间120分钟，试卷总分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象都经过点 B. 若，则 C. 若，则函数为偶函数 D. 若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则不可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当时， C. 若，则，使 D. 若，则在上单调递增 11. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_________ . 13. 已知为第二象限角，且，则的值为__________． 14. 已知函数在上单调递增，若对任意，都有，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，求值： （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 17. 已知函数． （1）解关于的方程：； （2）记函数． （ⅰ）判断在上的单调性，并用定义证明； （ⅱ）若，都有，求实数的取值范围． 18. 已知函数，函数为偶函数，且当时，，. （1）若函数在上是增函数，求的最小值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若方程有个不同的实数解，求的取值范围； 19. 已知函数的定义域为集合，若都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数. （1）若函数，试判断函数是否为“距”增函数，并说明理由； （2）若函数，为“距”增函数，求正实数的取值范围； （3）若函数，为“2距”增函数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灌南县惠泽高级中学2025～2026学年第一学期第二次月考 高一数学试题 注意事项： 1.考试时间120分钟，试卷总分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性解指数不等式得到集合A，解分式不等式得到集合B，再利用集合的运算求解即可. 【详解】由，得到，所以集合， 所以， 由，得到，即，所以集合， 所以. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值判断充分性，根据对数函数的性质及指数函数的性质判断必要性. 【详解】当时，，但无意义，故不满足充分性； 当时，则，所以， 则，即，满足必要性， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，根据解析式特征判断其单调性，利用奇偶性定义判断其奇偶性即可逐一判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 显然为增函数，且因可得函数为奇函数，故A正确； 对于B，，定义域为， 因即不是奇函数，故B错误； 对于C，的定义域为， 且在每一个区间上为增函数，但不能说函数在定义域上递增，故C错误； 对于D，因的定义域为， 函数在上先增后减，在上先减后增， 故不是定义域上的增函数，故D错误. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 5. 已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象都经过点 B. 若，则 C. 若，则函数为偶函数 D. 若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：当时，，则无意义，错， B：当时，，错， C：当时，则且定义域为，，故函数为奇函数，错， D：由，则在定义域上单调递增，对. 故选：D 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】由确定图象的平移过程. 【详解】由，故其函数图象向右平移个单位得到的图象. 故选：D 7. 已知函数的图象在上恰有四个对称中心，则的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得，且，结合给定的区间有，即可求. 【详解】令，可得，且， 由，而时，时， 又在上恰有四个对称中心，则该区间内取值为， 所以，可得，则. 故选：B 8. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】作出函数图象，如下图所示： 令，解得， 故时，对称轴为直线，则， 因为，所以， 又，则， 由，得，则，则， 所以，. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则不可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦值及任意角的定义有或，，进而依次判断各项是否满足即可. 【详解】由，则或，， 时，或， 时，或，B可以 时，或，C可以， 时，或， 时，或， 故选：AD 10. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 当时， C. 若，则，使 D. 若，则在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】函数的定义域为 ，且，所以为奇函数，故A正确； 当时，，故B正确； 当时，，又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则，由，得，即，这与矛盾，所以不存在，使，故C错误； 因为函数为上的奇函数，且在上单调递增， 所以，且在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数运算知，且，，利用基本不等式判断A；由对数函数单调性判断B；作差法判断C；利用指数函数和幂函数单调性判断D. 【详解】根据题意，， A，， 因为，所以等号不成立，即，错误； B，，正确； C，由，，，则， 由，得，正确； D，由于，，所以，， 则，，且， 由于为减函数，所以， 由于为增函数，所以， 所以，即，则，正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：_________ . 【答案】 【解析】 【分析】应用指数、对数的运算性质化简求值即可. 【详解】由. 故答案为： 13. 已知为第二象限角，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先化简原式，可得，即可根据同角关系求解. 【详解】， 由于为第二象限角，故， 则， 故，则，得， 因为，所以， 因为，所以. 故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，若对任意，都有，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知判断的奇偶性、单调性，问题化为在区间恒成立，进而简化为考虑在区间恒成立，两边同时平方整理得恒成立或恒成立，进而可得. 【详解】令且定义域为R， 又，所以为奇函数， 而在上单调递增，则在上单调递增， 根据奇函数的对称性知，在R上单调递增， 由且，得， 所以， 所以在区间恒成立， 当，即或时，不等式恒成立， 所以，只需在区间恒成立，其中， 即，整理得， 而，故恒成立或恒成立， 因，故，，故只需或， 故实数的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，求值： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式得并化简目标式，再弦化切求值即可； （2）应用齐次式及由弦化切求值即可. 【小问1详解】 由， ； 【小问2详解】 由. 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）记函数，当时，求函数的最大值和最小值，并求出取最值时的值. 【答案】（1），； （2）时，最大值2，时，最小值. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式，再由正弦函数的单调性求单调递减区间； （2）由题设，再由正弦函数的性质求区间最值及其对应的自变量. 【小问1详解】 因为， 由正弦函数的单调性得，，解得，， 因此，函数的单调递减区间为，； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 当时，， 当时，即时，函数取最大值， 当时，即时，函数取最小值. 17. 已知函数． （1）解关于的方程：； （2）记函数． （ⅰ）判断在上的单调性，并用定义证明； （ⅱ）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （ⅰ）在单调递减. 证明如下：，且， 所以， 因，则有， 故有，可得，即， 故在单调递减． （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）先根据已知方程求出的范围，再利用对数的运算性质求解即得. （2）（ⅰ）利用函数的单调性定义法推理证明其单调性即可；（ⅱ）因，都有，可推得，由（ⅰ）利用在单调递减，可得使得 成立，从而转化成求在上的最小值即可. 【小问1详解】 因， 由，可得， 又， 则有，解得（不合题意，舍去）或， 故原方程的解为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）若，都有， 则有， 由（ⅰ）可得，在单调递减，则， 所以， 即， 故可得． 即使得 成立， 所以，即求在的最大值， 由二次函数的性质可得，当时，， 故得，即的取值范围为． 18. 已知函数，函数为偶函数，且当时，，. （1）若函数在上是增函数，求的最小值； （2）求关于的不等式的解集； （3）若方程有个不同的实数解，求的取值范围； 【答案】（1）5； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质及区间单调性有，结合偶函数的性质列不等式，再由指数函数的单调性求最小值； （2）由题设有，应用分类讨论求不等式的解集； （3）由偶函数的性质求函数的解析式，再由方程实数解的个数列不等式求参数范围. 【小问1详解】 函数图象开口向上，对称轴方程为， 因为函数在上单调递增，则， 又为偶函数，则， ∴的最小值是5. 【小问2详解】 由题设，则， 所以， 当时，，解集为， 当时，无解，解集为， 当时，，解集为. 【小问3详解】 ∵为偶函数，由， ∴时， ∴， ∴， ∵方程有个不同的实数解， ∴当，有两解， 当，有两解， 所以， 所以，解得. 19. 已知函数的定义域为集合，若都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数. （1）若函数，试判断函数是否为“距”增函数，并说明理由； （2）若函数，为“距”增函数，求正实数的取值范围； （3）若函数，为“2距”增函数，求的最小值. 【答案】（1）函数是“距”增函数. 因为的定义域为 任取， 因为，所以，即，，所以， 所以，函数是“距”增函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“距”增函数. （2）根据函数新定义可得对任意都成立，法1：根据二次函数的性质可求参数的范围；法2：参变分离后，设，证得函数在上为单调递减函数，则参数范围可求； （3）根据函数新定义可得，分和两种情况进行讨论后可求函数的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数，为“距”增函数 所以，对任意， 所以， 即， 因为，，所以，（**） 法1：因为函数图象开口向上且对称轴为 所以，函数在上单调递增 所以，当时，函数取得最小值为 若对任意都成立，则，即 因此，若函数，为“距”增函数，则. 法2：（接（**））即，对任意都成立，设 对于任意，且， 因为，所以，，，所以， 即， 所以，在上为单调递减函数 所以，，所以， 因此，若函数，为“距”增函数，则； 【小问3详解】 由题意可知，，若函数，为“2距”增函数 则，， 即 即，即，所以，， 所以， 由，设， ①当时，，且 则， 因为，所以，，， 所以，，即 所以，，所以，在上单调递增， ②当时， 当且仅当，即时，取得等号. 此时，， 综上，. 【点睛】“新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $