精品解析：山东省济宁学院附属高级中学2025-2026学年高二上学期1月阶段性学情调研测试数学试题

济宁学院附属高级中学2024级2025-2026学年第一学期 阶段性学情调研测试数学试题 出题人：徐帅 陈霞 审题人：周红钰 一、单选题 1. 掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和为6的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记向上的点数之和为6为事件，分别计算样本空间包含的样本点个数与事件包含的样本点个数，利用古典概型可得答案. 【详解】，记向上的点数之和为6为事件． . 故选：B 2. 若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 3. 若直线和互相垂直，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线垂直，它们的斜率乘积为，即可求解. 【详解】由直线和互相垂直，可得：， 解得：， 故选：D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 27 B. 28 C. 30 D. 33 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】由题意，，， 则， 则， 则， 故选：D. 5. 已知直线与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线过定点，结合圆的性质，利用最短弦来求角的余弦值即可. 【详解】 由直线， 所以当时，可得，所以动直线经过定点， 要使得取最大值，即满足最小， 根据是等腰三角形，则只需要满足弦长最短， 故由圆的几何性质可知：，由于， 从而有：，解得：， 此时，， 即 故选：A. 6. 已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与不独立 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义，和事件与积事件的运算法则，逐项判断即可. 【详解】已知，则，而题目中，显然，因此事件A与B不互斥，选项A错误；  ，又，所以，选项B正确；  因为， ，由于，所以事件与独立，选项C错误；  ，则，选项D错误. 故选：B. 7. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弦长和半径求出弦心距，利用点到直线的距离公式得到的关系式，从而求离心率. 【详解】不妨设双曲线的一条渐近线为， 因为渐近线被圆所截得的弦长为，所以圆心到渐近线的距离为， 即，所以，即. 又，代入得，故. 所以双曲线的离心率为. 故选： C. 8. 已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出中一边的长度，再结合已知条件和，利用三角函数关系求出三边的长度，再根据椭圆的定义表示出和，最后在中利用余弦定理列出之间的关系式，进而求出椭圆的离心率. 【详解】，，即. 设，则，. ， ，. ，，. ，. ，. 在中，，，， 由余弦定理得：， ，，. 的离心率为. 故选：D. 二、多选题 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】A选项，根据向量的加减法法则，，故A选项正确； B选项，建立空间直角坐标系，以为原点，分别以所在直线为轴， 则， ， 设异面直线与所成角为，根据向量点积公式，故B选项错误； C选项，由B选项中坐标可知，所以，故C选项正确； D选项，设平面的法向量为， 则，解得，令，则，所以， ，根据点到平面的距离公式，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】A求出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，根据焦点弦长公式，得； B由抛物线焦点弦性质及基本不等式，确定最小值；C设，及圆方程，代入得，联立，解得横坐标；D当共线时，周长最小. 【详解】A，抛物线的焦点为，直线斜率为，则直线方程为， 联立抛物线方程，消去得， 设，由韦达定理得， 根据抛物线焦点弦长公式得，故正确； B，设直线的倾斜角为，由抛物线焦点弦性质， 则， 根据基本不等式，当且仅当时取等号， 所以，故正确； C，设，则的中点为， 以为直径的圆的方程为， 因为圆与轴交于，代入得， 所以，又，联立解得，故错误； D，的周长为， 等于到准线的距离，所以周长为， 当（为到准线的垂足）共线时，最小为， 则周长最小值为，故错误. 故选：AB. 11. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 当时，的最大值为11 D. 数列前项和为，最小 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意得可判断AB；可判断C；是递增数列，且根据前项和为开口向上的二次函数可判断D. 【详解】A，由可知与异号，又且， 结合等差数列的函数性质知，因此公差，错误； B，因为，说明数列前项为负数，从第项开始为正数，所以前项和的最小值为，正确； C，计算，所以时，的最大值为，正确； D，，即是首项为、公差为（，故公差）的递增等差数列， 其前项和， 这是一个开口向上的二次函数，对称轴为， 由A知， 对称轴，故对称轴，故的最小值出现在处，而非，错误. 故选：BC 三、填空题 12. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质可得： ， ， ， 所以， 由得，得， 所以. 故答案为：. 13. 已知圆，则经过点最短弦长所在直线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心坐标，再根据圆的性质得出最短弦的条件，利用点斜式求出直线方程. 【详解】由可得圆心的坐标为，半径为， 由可知点在圆内， 由点和圆心，可得直线的斜率， 因为最短弦与垂直，所以，解得， 已知直线过点且斜率为，所以直线方程为即. 故答案为：. 14. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设半焦距为，根据椭圆与双曲线的定义可得，，由得，从而可得，由的范围即可求的取值范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距为， 于是得，. 由椭圆及双曲线的对称性知，不妨令焦点和在轴上，在轴右侧，如图， 由椭圆及双曲线定义得：，解得，. 因为，即， 而是线段的中点，因此有， 则有，即，整理得：， 从而有，即有. 又，则有，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，若，求与夹角的正弦值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直，其数量积为零，向量的模，通过坐标平方和开方计算； （2）夹角的正弦值可通过余弦值结合同角三角函数关系求得. 【小问1详解】 由，得即， 即，解得，，. 【小问2详解】 由于向量，，，， ，和夹角的余弦值为， ，即夹角为， 和夹角的正弦值为1. 16. 已知和圆. （1）求过点圆的切线方程； （2）是圆上一动点，求的最值. 【答案】（1） （2）最小值是25，最大值是225 【解析】 【分析】（1）整理圆方程，得到圆心和半径，把点代入圆的方程得点在圆上，求直线斜率，由两直线垂直得到切线斜率，即可写出切线方程； （2）求圆心到点的距离，设圆上的点，则，取直线与圆的交点，即可求得最大值及最小值. 【小问1详解】 圆的方程可化为，圆心，半径. ∵，∴点在圆上， ，切线的斜率， ∴切线方程为，即 【小问2详解】 如图所示，圆心到定点的距离为， 设圆上的点，则， 当为直线与圆的交点时，此时取最小值， 当为直线与圆的交点时，此时取最大值， ∴，∴， 即. 17. 已知等差数列，，，公差. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质和已知条件求出首项和公差，进而得到通项公式； （2）根据通项公式确定数列各项的正负性，分段讨论求出绝对值数列的前n项和. 【小问1详解】 为等差数列， ， ， 解得或， ， ，故，解得， ； 【小问2详解】 设数列的前项和为，， 由得，，又， 所以， 当时，， 当时，， 综上，. 18. 如图，在三棱台中，平面，为的中点，，. （1）求证：； （2），与平面所成角的余弦值为，求出的值. 【答案】（1）取中点，连接，因为为中点，所以，且， 又，，则，所以，即， 又平面，平面，所以， 而，，平面，所以平面， 由平面，则. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三棱台侧棱的性质，结合平面的条件，直接推导平面，进而由线面垂直的性质得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角公式，建立关于的方程，求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，，， 则，取，，， 依题意与平面所成角的余弦值为，与平面所成角的正弦值为， 得， 平方化简得，解得，或（舍去），所以. 19. 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为双曲线.现有方程表示焦点在轴上的双曲线的圆锥曲线的离心率，且双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于，两点（异于顶点）. ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：. 【答案】（1） （2）①证明： 设点，，直线方程为， 联立方程，得， 所以，，， ，. 设，则 ， 即对任意恒成立. 所以，，，解得， 所以，以为直径的圆恒过点. ②证明：由题意可知，代入双曲线方程可得，， . 设的中点为，则 ， 所以，∴在以为直径的圆上， 又∵以为直径的圆恒过定点， 所以，，，四点共圆. 由相交弦定理得. 【解析】 【分析】（1）整理方程，由距离公式可知该方程表示动点到定点的距离与定直线的距离之比等于2，由定义及曲线上点坐标即可得到曲线方程； （2）①设点坐标及直线方程，联立方程组并整理为一元二次方程，由韦达定理得到交点坐标与参数的关系，设点坐标，利用向量的数量积建立方程，求得点坐标； ②由①求交点弦长，由题意求得点坐标，设的中点为，求，并得到，从而得到，即可得证. 【小问1详解】 由得， 即， 表示动点到定点的距离与定直线的距离之比等于2， 所以该双曲线的离心率为2， 由题意，， 将点代入双曲线方程得， 解得，. 所以双曲线的方程为 【小问2详解】 ①略； ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁学院附属高级中学2024级2025-2026学年第一学期 阶段性学情调研测试数学试题 出题人：徐帅 陈霞 审题人：周红钰 一、单选题 1. 掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之和为6的概率是（　　） A. B. C. D. 2. 若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线和互相垂直，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 27 B. 28 C. 30 D. 33 5. 已知直线与圆交于两点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，为样本空间中的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. C. 事件与不独立 D. 7. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 10. 已知抛物线，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为，则 B. 的最小值为 C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为 D. 若点，则周长的最小值为 11. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 当时，的最大值为11 D. 数列前项和为，最小 三、填空题 12. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则______ 13. 已知圆，则经过点最短弦长所在直线方程为______. 14. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点和，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且（为坐标原点），若，则的取值范围是___________. 四、解答题 15. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，若，求与夹角的正弦值. 16. 已知和圆. （1）求过点圆的切线方程； （2）是圆上一动点，求的最值. 17. 已知等差数列，，，公差. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 18. 如图，在三棱台中，平面，为的中点，，. （1）求证：； （2），与平面所成角的余弦值为，求出的值. 19. 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为双曲线.现有方程表示焦点在轴上的双曲线的圆锥曲线的离心率，且双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于，两点（异于顶点）. ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $