精品解析：江苏宿迁市泗阳县2025-2026学年第一学期九年级期末学业水平监测数学试卷

2025~2026学年第一学期九年级期末学业水平监测 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列数据6，5，7，5，8，6，6中，众数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A B. C. D. 4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 二次函数的最小值为（ ） A. B. 5 C. 1 D. 6. 如果（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A 4 B. 2 C. 1 D. 8. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向右平移6个单位，平移过程中，抛物线与y轴交点P（ ） A. 持续向下运动 B. 持续向上运动 C. 先向上再向下运动 D. 先向下再向上运动 10. 如图，是正六边形、正八边形的公共边，C是正八边形的顶点，连接，交正六边形的边上一点D，若，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一组数据的平均数是4，则__________． 12. 若，是方程的两个根，则的值为__________． 13. 若，则______． 14. 若抛物线的顶点在x轴，则_______． 15. 秀秀的衣柜里有5件上衣，其中有2件是黄色，3件是红色，从中任意取出一件正好是黄色的概率为______． 16. 若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为______． 17. 图1是放在水平桌面上的酒杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，，D是的中点．当酒杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将酒杯绕点F缓缓倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内白酒的最大深度是______． 18. 如图，是的外接圆，若，，，则______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 已知，，当x为何值时，？ 20. 如图，是的直径，弦与相交于点E，，，求的度数． 21. 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中任意摸出一个球是白球概率是多少？ （2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值． 22. 如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，，求的长． 23. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面问题： （1）_____；_____；_____； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ （3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 24. 若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 25. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．设该服装每件售价为x元． （1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______件； （2）若商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 26. 如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为．求圆中阴影部分的面积． 27. 已知抛物线与x轴相交于、两点，与轴相交于点，为直线上一动点，点在抛物线上． （1）求该抛物线解析式及点坐标； （2）若点在第一象限，且轴，以为圆心，长为半径的圆恰好与坐标轴相切，请直接写出的长度； （3）设点在抛物线上，在直线上，当时，的最大值为3，求的值． 28. 如图1，在中，，，，D、E两点分别在线段、上，将沿翻折得到． （1）______°； （2）若点F恰好在直线上，设，． ①请求y与x的函数表达式，并直接写出y的取值范围； ②当为直角三角形时，求y的值； （3）如图2，若，且的面积恰好是面积的2倍，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级期末学业水平监测 数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列数据6，5，7，5，8，6，6中，众数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的概念进行解答即可. 【详解】在数据6，5，7，5，8，6，6中，数据6出现了3次，出现次数最多， 所以这组数据的众数是6， 故选B. 【点睛】本题考查了众数，明确众数是指一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键.众数一定是这组数据中的数，可以不唯一. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法． 将已知根代入方程，求出m的值． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴将代入方程可得： ， 解得 故选：D． 3. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】同弧所对圆心角是圆周角2倍，即． 【详解】解：， ． 故选：． 【点睛】此题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上，即可得，掌握概率是解题的关键． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上， 则抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为， 故选：B． 5. 二次函数的最小值为（ ） A. B. 5 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的性质，由题知二次函数已为顶点式，直接由顶点坐标可得最小值． 【详解】∵ 二次函数为顶点式， 其中，，， ∴ 当时，函数取得最小值． 故选：D． 6. 如果（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，故本选项不符合题意； C、由得，，故本选项符合题意； D、由得，，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．根据方程有两个不相等的实数根，得到关于的不等式，求解得出的取值范围，再对选项判断即可得解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 则a的值可以是， 故选：D． 8. 如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 9. 将抛物线向右平移6个单位，平移过程中，抛物线与y轴交点P（ ） A. 持续向下运动 B. 持续向上运动 C. 先向上再向下运动 D. 先向下再向上运动 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数向右平移的过程中，分析其与y轴交点纵坐标的变化情况即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴顶点为， ∴向右平移t个单位后，函数变为， 当平移过程中与y轴交于点P时，令，得， ∵，开口向下，对称轴为直线， ∴当t从0增加到2时，随增大而增大，从2增加到6； 当t从2增加到6时，随增大而减小，从6减小到； 即P点纵坐标先升后降，运动趋势为先向上再向下． 故选：C． 10. 如图，是正六边形、正八边形的公共边，C是正八边形的顶点，连接，交正六边形的边上一点D，若，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质．延长和交于点，连接，作于点，中，，，求得，在线段上取点，使，求得，求得，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长和交于点，连接，作于点， ∵是正六边形、正八边形的公共边， ∴，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 在线段上取点，使， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一组数据的平均数是4，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了平均数的定义，根据平均数的定义，所有数据之和除以数据的个数等于平均数，据此构建方程求解． 【详解】∵一组数据的平均数是4， ∴ ∴． 故答案为：3． 12. 若，是方程的两个根，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系； 根据一元二次方程的两根进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例关系式，准确的计算是解决本题的关键． 由已知比例关系，通过设参数表示变量，代入所求表达式进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴设，（其中）， ∴ ， 故答案为：． 14. 若抛物线的顶点在x轴，则_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点坐标的公式是解此题的关键． 根据抛物线的顶点在x轴上，得出，代入求出即可． 【详解】∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0， ∴， 解得：． 故答案为：9． 15. 秀秀的衣柜里有5件上衣，其中有2件是黄色，3件是红色，从中任意取出一件正好是黄色的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，利用概率公式求解．总件数为5，黄色上衣件数为2，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：衣柜中共有5件上衣，其中黄色上衣有2件． 任意取出一件正好是黄色的概率为． 故答案为 ． 16. 若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，根据弧长公式即可求解，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由弧长公式得它的弧长为， 故答案为：． 17. 图1是放在水平桌面上的酒杯的截面图，杯体呈抛物线状（杯体厚度不计），点C是该抛物线的顶点，，，D是的中点．当酒杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为．现将酒杯绕点F缓缓倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示，则此时酒杯内白酒的最大深度是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的图象与性质、坐标与图形性质等知识．以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图，利用三角形的内角和定理，结合等腰直角三角形的性质得到，故当最大时，最大；根据坐标与图形性质，结合等腰三角形的判定与性质求得；然后利用待定系数法求得直线的解析式为，抛物线的解析式为，设，则，利用二次函数性质求得的最大值为，可得的最大值为，根据旋转性质可得倾斜后酒杯内白酒的最大深度是的最大值，即可求解． 【详解】解：以C为坐标原点，过C且平行于底面（或）的直线为x轴，垂直于底面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，在抛物线上取一点G，使得，直线交x轴于P，过B作轴于Q，在直线下方取一点M，过M作y轴的平行线交直线于N，交于H，过M作于K，如图， ∵，， ∴， ∴，故当最大时，最大； ∵高脚杯中装满白酒时，液面，此时最大深度（液面到最低点的距离）为． ∴轴，， 则，，， ∴，， ∴，则， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设抛物线的解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， 当时，最大，最大值为， 此时，的最大值为， ∵高脚杯绕点F缓慢倾斜倒出部分白酒，当倾斜角时停止，此时液面为，如图2所示， 则此时酒杯内白酒的最大深度就是图1中的最大值， 故答案为：． 18. 如图，是的外接圆，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，算术平方根．作于点，作交的延长线于点，作于点，证明四边形是矩形，设，，证明是等腰直角三角形，求得，利用三角形面积公式，求得，，据此求解即可． 【详解】解：作于点，作交的延长线于点，作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 已知，，当x为何值时，？ 【答案】或3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，根据题意得出方程，求出方程的解，即可得出答案． 【详解】解：当时，则 ， ， ， ，， ，， 即当x为或3时，． 20. 如图，是的直径，弦与相交于点E，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于．连接，根据直径所对的角等于，求出，再根据外角的性质得出的度数． 【详解】解：连接． ， ， ， 是的直径， ， ， ，， ． 21. 一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同． （1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？ （2）小明向箱中放入n个红球后搅匀，然后从箱子中随机摸出一个球是白球的概率为，求n的值． 【答案】（1）； （2）n的值为． 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率公式，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用简单的概率公式求解即可； （2）依题意列出方程，求解检验即可． 【小问1详解】 解：从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴n的值为． 22. 如图，在中，，点、分别在、上，且． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，，求的长． 【答案】（1）相似，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质；熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质和已知条件得出，因此，再由公共角，即可得出． （2）根据已知求得，根据利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：与相似；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 23. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 32 根据以上信息，解答下面的问题： （1）_____；_____；_____； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ （3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 【答案】（1）8，8，9 （2）见解析 （3）变小，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得，； 甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数； 而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数； 故答案为：8，8，9； 【小问2详解】 解：教练选择甲参加射击比赛的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定， 答：甲的成绩较稳定． 【小问3详解】 解：由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差， ， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小． 24. 若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数二次函数， ∴，， ∴，， 即； 【小问2详解】 解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 25. 某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件．设该服装每件售价为x元． （1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为______件； （2）若商店销售这批服装获利12000元，问这种服装每件售价是多少元？ 【答案】（1） （2）元或80元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价为元，可得销量件． （2）设该服装每件售价是x元，则销售量为件，根据获利12000元为等量关系列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：若设该服装每件售价为x元，则平均每天的销售量为件． 【小问2详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：这种服装每件售价是70元或80元． 26. 如图，是的直径，C为上一点，点D在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为．求圆中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得，即，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可证明是的切线； （2）过C作于E，可得，，可得，最后根据圆中阴影部分的面积即可求解． 小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过C作于E， ，， ，， 于E， ， ， ，， 圆中阴影部分的面积． 27. 已知抛物线与x轴相交于、两点，与轴相交于点，为直线上一动点，点在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式及点坐标； （2）若点在第一象限，且轴，以为圆心，长为半径的圆恰好与坐标轴相切，请直接写出的长度； （3）设点在抛物线上，在直线上，当时，的最大值为3，求的值． 【答案】（1） 抛物线的解析式为 ，点坐标为 （2） 的长度为 （3） 的值为 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、直线与圆的位置关系以及二次函数的最值问题： （1）将代入解得，即可得出解析式，令可求出点坐标； （2）先求出直线的解析式，设的坐标，进而得到的坐标，根据圆与坐标轴相切的性质列方程求解； （3）先求出的表达式，再根据二次函数的性质，结合的取值范围求出． 【小问1详解】 解：将、代入中，得 解得：， 该抛物线的解析式为， 令， 则， 点坐标． 【小问2详解】 解：设点坐标为， 轴，且点在抛物线上， 点坐标为， 则， ∵以为圆心，长为半径的圆恰好与坐标轴相切，且点在第一象限， ∴分两种情况讨论： ①当圆与轴相切时， 即， ， 解得或． 当时，与重合，舍去， 当时，此时； ②当圆与轴相切时，， 即， ， 解得(舍去)或． 此时． 所以． 【小问3详解】 解：在抛物线上，在直线上， ， ， 令， 则对称轴为， ①当时，在上，随的增大而减小， 当时，有最大值为， 的最大值为3， ， 解得或， ， ； ②当时，在上，随的增大而增大， 当时，有最大值为， 的最大值为3， ， 解得或， ， 均不符合题意； ③当时，函数在时取得最大值， 当时，有最大值为， 的最大值为3， ， 解得或， ， ； 综上所述，或． 28. 如图1，在中，，，，D、E两点分别在线段、上，将沿翻折得到． （1）______°； （2）若点F恰好在直线上，设，． ①请求y与x的函数表达式，并直接写出y的取值范围； ②当为直角三角形时，求y的值； （3）如图2，若，且的面积恰好是面积的2倍，请直接写出此时的面积． 【答案】（1）90 （2）①；②y的值为或； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）①在中，利用勾股定理得到，求得，再求得； ②分当和时两种情况讨论，根据相似三角形的判定和性质求解即可； （3）作于点，记与交于点，设，则，证明，求得，，得到是等腰直角三角形，证明，求得，根据的面积恰好是面积的2倍，得到，求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 故答案为：90； 【小问2详解】 解：①若点F恰好在直线上， 设，， 由折叠的性质得， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵点在线段上， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， 由折叠的性质得， ∵， ∴， 解得， ∴， 综上，y的值为或； 【小问3详解】 解：作于点，记与交于点， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵的面积恰好是面积的2倍， ∴， 解得或， ∵，点E在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $