精品解析：河北省邯郸市钢苑中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024-2025学年河北省邯郸市钢苑中学高一上学期12月月考 数学试卷 说明：1．测试时间：120分钟 总分：150分 2．客观题主观题答在答题纸上 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入函数式计算即可得． 【详解】． 故选：D． 2. 等差数列的前项和记为，若，则（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和即可求出. 【详解】等差数列的前项和记为，设等差数列的首项为，公差为， 又，，化简得，即， . 故选：B. 3. （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】 . 故选：B. 4. 已知函数的图象过点，则的反函数的图象过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知函数的图象过点可推出过点，再根据反函数的性质即可求出. 【详解】函数的图象过点，，即， 则的图象过点， 根据反函数的性质可知的反函数的图象过点. 故选：A. 5. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数对数互化和对数的运算法则. 【详解】已知， 对等式两边取以为底的对数： 化简， 即 故选：D 6. 函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，，在定义域上为减函数， 又函数在上是减函数，则在定义域上为增函数，， 要使函数有意义，则， 又在上为减函数，在上的最小值为，即， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 7. 若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有（ ） A. a≥ B. a≤ C. a> D. a< 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式可以直接得出结论. 【详解】函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性，通过函数解析式判断单调性，属于简单题型. 8. 已知函数y＝，则使函数值为5的x的值是（ ） A. －2 B. 2或－ C. 2或－2 D. 2或－2或－ 【答案】A 【解析】 【分析】分x≤0和x>0两种情况求解即可 【详解】当x≤0时， x2＋1＝5，x＝－2. 当x>0时，－2x<0，不合题意. 故x＝－2. 故选：A 9. 函数的定义域为（ ） A. （，+∞） B. ［1，+∞ C. （，1 D. （－∞，1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来． 【详解】要使函数有意义，则 ， 解得 则函数的定义域是 故选C． 【点睛】本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方． 10. 函数，，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，再根据时函数值的符号即可求出答案． 【详解】解：∵与都是偶函数， ∴也是偶函数，由此可排除A、D， 又由时，，可排除B， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，一般用排除法，根据函数的定义域、奇偶性、特殊点进行验证，属于中档题． 11. 已知数列中，，则数列中最大项的值是（ ） A. 107 B. 108 C. D. 109 【答案】B 【解析】 【分析】对数列的通项公式配方，然后根据二次函数的性质和数列的特点即可得到结果． 【详解】由题意可知 ， 由于， 故当取距离最近的正整数时，取得最大值. ∴数列中的最大值为. 故选：B. 12. 已知，那么等于( ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 得. 故选D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分． 13. 数列1，3，5，7，9，11，……的一个通项公式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的特点即可求出. 【详解】观察数列1，3，5，7，9，11，……，可知这是一个首项，公差的等差数列， 根据等差数列的通项公式可得. 故答案为：. 14. 函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及指数函数的单调性可解出原函数的定义域. 【详解】对于函数，由可得，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 15. 函数的值域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合指数函数性质求解即可. 【详解】设，则为单调递减函数， 则由指数函数的性质，可得函数的值域为， 即函数的值域为. 故答案为： 16. 给出以下命题： （1）函数在上是减函数； （2）数列为等差数列的一个充要条件是它的前项和具有（为常实数）的形式； （3）若函数的值域为，则实数的取值范围是． 其中真命题的序号是___________． 【答案】（2）（3） 【解析】 【分析】可根据函数单调性的定义举反例即可判断，利用等差数列的性质结合充要条件判断，根据函数的值域为，将题意转化为函数能取遍所有大于的数即可. 【详解】函数的定义域为， 设，任取，显然，， 则， ，而，故（1）错误. 综上，函数在和上是减函数.故（1）错误. 数列的前项和为， 当时，； 当时，, 当时也适合上式， 则（为常数）， 数列为等差数列，故充分性成立， 若数列为等差数列，设其首项为，公差为，则其前项和为， 令，则（A，B为常数），故必要性成立.故（2）正确. 函数的值域为，能取遍所有大于的数， 当时，是一次函数，其值域为，能取遍所有大于的数，符合题意； 当时，是二次函数，则，解得， 综上，实数的取值范围是．故（3）正确. 故答案为：（2）（3）. 三、解答题（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 求的值． 【答案】104 【解析】 【分析】利用分数指数幂运算和对数运算可得答案. 【详解】∵， 原式. 18. 等差数列中，，求及． 【答案】，或9 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和即可求出. 【详解】 又 又，即，整理得解得或9. 19. 已知函数满足． （1）求的解析式； （2）当时，，求函数的反函数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元法求函数解析式； （2）由，可得，可得反函数. 【小问1详解】 根据题意，， 设，则，则， 所以； 【小问2详解】 当时，单调递增，则， 且由， 因为，所以解得， 所以. 20. 设函数. （1）求函数时的根； （2）在给出的平面直角坐标系中直接画出函数的图象，并写出单调区间． 【答案】（1）或 （2）； 图象可知函数的单调递增区间为：和； 函数的单调递减区间为：和. 【解析】 【分析】（1）令，解方程即可； （2）画出图象，由图象观察即可写出单调区间. 【小问1详解】 由，解得或； 【小问2详解】 因为， 所以图象为： 由图象可知函数的单调递增区间为：和； 函数的单调递减区间为：和. 21. 已知方程（且）有正实数根，求的取值范围． 【答案】当时，；当时， 【解析】 【分析】由原方程得，根据一元二次方程的根的分布求解. 【详解】由原方程得， 由原方程有正实数根得， 得，当时，； 当时，． 22. 函数对任意的，都有，并且当时，． （1）求证：是上的增函数． （2）若，解不等式． 【答案】（1） 证明：设，且，则，∴． 因此 ． ∴．故是上的增函数． （2） 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义，计算得到，由此证得结论成立. （2）根据函数的单调性化简不等式，进而求得不等式的解集. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵对任意的，都有， ∴，∴．∵是上的增函数， ∴．∴，解得， 所以不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省邯郸市钢苑中学高一上学期12月月考 数学试卷 说明：1．测试时间：120分钟 总分：150分 2．客观题主观题答在答题纸上 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列的前项和记为，若，则（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 3. （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 已知函数的图象过点，则的反函数的图象过点（ ） A. B. C. D. 5. 若则（ ） A. B. C. D. 6. 函数，其中且，在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有（ ） A. a≥ B. a≤ C. a> D. a< 8. 已知函数y＝，则使函数值为5的x的值是（ ） A. －2 B. 2或－ C. 2或－2 D. 2或－2或－ 9. 函数的定义域为（ ） A. （，+∞） B. ［1，+∞ C. （，1 D. （－∞，1） 10. 函数，，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列中，，则数列中最大项的值是（ ） A. 107 B. 108 C. D. 109 12. 已知，那么等于( ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分共16分． 13. 数列1，3，5，7，9，11，……的一个通项公式为___________． 14. 函数的定义域是________. 15. 函数的值域为_________. 16. 给出以下命题： （1）函数在上是减函数； （2）数列为等差数列的一个充要条件是它的前项和具有（为常实数）的形式； （3）若函数的值域为，则实数的取值范围是． 其中真命题的序号是___________． 三、解答题（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 求的值． 18. 等差数列中，，求及． 19. 已知函数满足． （1）求的解析式； （2）当时，，求函数的反函数． 20. 设函数. （1）求函数时的根； （2）在给出的平面直角坐标系中直接画出函数的图象，并写出单调区间． 21. 已知方程（且）有正实数根，求的取值范围． 22. 函数对任意的，都有，并且当时，． （1）求证：是上的增函数． （2）若，解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $