福建福州市2025-2026学年高二上学期期末适应性练习数学试卷

2025一2026学年福州市高二年级适应性练习 数学参考答案及评分细则 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.B 7.A 8.c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.BD 10.ABC 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.x2-y2=1等.（答案不唯一，形如x2-y2=2(2≠0）均可) 13.-2 14.(-1)√n.(形式不唯一.写为(-1)√n(k为奇数)或ncos(n-1)π亦可) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 【命题意图】本小题主要考查等差数列的概念、等差数列的前项和等基础知识：考查 运算求解能力：考查函数与方程思想：主要涉及数学运算，逻辑推理核心素养：体现基础性， 【解答】（方法一）(1)设等差数列{a}的公差为d. 由S+30=42得 a+33a+s=42. …4分 即6a,+18d=42,即a,+3d=7, …5分 所以a,=7. …7分 (2)设{an}的公差为d,则d=2,由(1)可得 7=a4=a1+3d, …8分 故a=1, …9分 所以S。=na,+ a(a-D)d=n+n(n-1)=n'. …13分 2 (方法二)(1)因为{a}为等差数列， 所以s=3(a+a) 2 …2分 =3泊2，…4分 数学试题（第1页共14页） 因为S,+3a。=42, 所以42=3(a+a6)=6a, …6分 故阳，=7.…7分 (2)由(1)知a,=7, 所以a,=a+(n-4)d=7+(n-4）2=2n-1, **…。9分 所以=1.… …10分 所以3=a+an+2n-) =n2. …13分 2 2 16.·(15分) 【命题意图】本小题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等基础知识：考查直观 想象能力、逻辑思维能力和运算求解能力：考查数形结合思想、函数与方程思想和化归与转 化思想：主要涉及直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养：体现基础性， 【解析】（方法一）(1)依题意得，圆C的圆心坐标为(5,0，半径r=2.…2分 当m=1时，1的方程为√5x+y+1=0,则圆心到直线1的距离为 W5xV5+0+1 d 5分 V+1 所以d=r,… …6分 所以直线1与圆C相切，…7分 (2)由MW=2知，圆心到直线1的距离 =22-=5， …9分 V5x√5+0+m 另一方面，圆心到直线1的距离为 ……10分 +m 故m+3=5,即(m+3}=3m+3到j …12分 √m2+3 解得，m=0或m=3: …14分 故直线1的方程为x=0或x+√5y+√5=0，…15分 (方法二)(1)依题意得，圆C的圆心D的坐标为(5,0小，半径r=2.…2分 数学试题（第2页共14页） 又因为直线1的方程可化为√5x+m(y+1)=0, 所以直线1过定点P(0,-).…4分 由0-⑤+(-)）=4知，点P在圆C上.…5分 当m=1时，直线1的斜率k为-√5，且直线DP的斜率为 0-(-1)5 k2= 5-03 故k·k,=-1,从而直线I与直线DP垂直， …6分 所以直线I与圆C相切. 4540414404844444,7分 (2)由MN=2知，△DMN为正三角形，圆心到直线I的距离 2-=5】 …9分 显然直线x=0满足条件. …10分 由圆关于直线DP对称知，另一条满足条件的直线的倾斜角为150°，…12分 从而该直线方程为y= x-l,即x+5y+5=0,…l4分 3 综上，直线1的方程为x=0或x+√5y+√5=0，…15分 17.·(15分) 【命题意图】本小题主要考查等比数列的概念，数列求和等基础知识：考查运算求解能 力和逻辑思维能力：考查化归与转化思想：主要涉及逻辑推理和数学运算核心素养：体现基 础性和综合性， 【解答】（方法一）(1）因为a1=2a。-1,4-1=2≠0， 所以a。-1≠0， 所以“-.2a,-已_2a-.2, …3分 a-1 a-1 a。-1 所以{a。-1为等比数列，其首项为2，公比为2，…5分 所以a。-1=2×2-小=2”，即an=2”+1.…7分 (2)由(1)得b=n(a。-1)=n…2”，…8分 令T=1×2+2×22+3×2+…+n…2”,① 则2T=1×22+2×23+…+(n-小2”+n…2,②…10分 数学试题（第3页共14页） ①一②得-T=2+22+2+…+2”-n…2n1…12分 2-2"×2 -n.2n+ 1-2 =(1-n小2-2. 14分 所以T=(n-121+2.… …15分 （方法二)(1)因为a=2a,-1,所以a1-1=2(a。-1) …2分 因为a,-1=3-1=2≠0， 所以8-=2， 小…3分 a-1 所以{a。-为等比数列，其中首项为2，公比为2，…。 …5分 所以a,-1=2×2-=2”,即an=2”+1.…7分 (2)由(1)得bn=n(an-1)=n…2”,…8分 所以bn=(n-1）2-(n-2)2”,…12分 所以T=么+b,+b+…+b =(0×22+2）+1×2'-0×2）+(2×2-1×2)+…+[(n-1)2-(n-2)2”] =(n-12m+2.… 6015分 18.·(17分) 【命题意图】本小题主要考查用向量方法解决直线与平面的位置关系，直线与平面的成 角等基础知识：考查空间想象能力、运算求解能力和逻辑思维能力：考查数形结合思想、函 数与方程思想和化归与转化思想：主要涉及想象、逻辑推理和数学运算核心素养：体现基础 性和综合性 【解析】（方法一）(1)证明：AP=√5，PD=2,AD=1,PD2=P+AD2, ∠PAD=90°，即PA⊥AD.…2分 又，·平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PAC平面PAD, PA⊥平面ABCD:…4分 (2)(i)取BC中点E,则CD=二BC=1,AD∥CE, 四边形AECD为正方形，.AE⊥AD, 由(1)知PA⊥平面ABCD, ∴.AP,AD,AE两两垂直，以A为原点，AE,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 数学试题（第4页共14页） 如图所示.….............................................................................................5分 其中 $$A \left( 0 ， 0 ， 0 \right) ， P \left( 0 ， 0 ， \sqrt 3 \right) ， B \left( 1 ， - 1 ， 0 \right) ， C \left( 1 ， 1 ， 0 \right) ， D \left( 0 ， 1 ， 0 \right) .$$ .........................6分 $$\therefore M \left( \frac { 1 } { 2 } ， - \frac { 1 } { 2 } ， \frac { \sqrt 3 } { 2 } \right) ， \overrightarrow { C M } = \left( - \frac { 1 } { 2 } ， - \frac { 3 } { 2 } ， \frac { \sqrt 3 } { 2 } \right) ，$$ ...........................................7分 $$\overrightarrow { C D } = \left( - 1 ， 0 ， 0 \right) ， \overrightarrow { P D } = \left( 0 ， 1 ， - \sqrt 3 \right) ，$$ 设平面PCD的法向量为 n=(x，y，z)， $$\left\{ \begin{array}{l} n \cdot \overrightarrow { C D } = 0 \\ n \cdot \overrightarrow { n D } = 0 \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{l} x = 0 ， \\ y - \sqrt 3 z = 0 \end{array} \right.$$ 令z=1得平面PCD的一个法向量为 $$n = \left( 0 ， \sqrt 3 ， 1 \right) ，$$ .........................................9分 $$\therefore \cos \left( \overline { C M } ， h \right) = \frac { \overrightarrow { C M } \cdot n } { | \overrightarrow { C M } | | | n | } = \frac { - \sqrt 3 } { \frac { \sqrt { 1 3 } } { 1 3 } \times 2 } = - \frac { \sqrt { 3 9 } } { 1 3 } ，$$ ..........................................11分 ∴CM 与平面PCD所成角的正弦值为 $$\frac { \sqrt { 3 9 } } { 1 3 } .$$ ....... ........ ....... .........12分 z P N M D y B E C x (ii)∵BD∥α，BD⊂ 平面 PBD， ，平面 PBD∩ 平面 α= MN ∴MN∥BD， ......................................................................................13分 ∴N 为PD的中点， $$\therefore N \left( 0 ， \frac { 1 } { 2 } ， \frac { \sqrt 3 } { 2 } \right) ，$$ 设 $$\overrightarrow { A L } = \lambda \overrightarrow { A P } ， 0 < \lambda < 1 ，$$ ，则 $$L \left( 0 ， 0 ， \sqrt 3 \lambda \right) ，$$ $$\overrightarrow { M L } = \left( - \frac { 1 } { 2 } ， \frac { 1 } { 2 } ， \sqrt 3 \lambda - \frac { \sqrt 3 } { 2 } \right) ， \overrightarrow { M N } = \left( - \frac { 1 } { 2 } ， 1 ， 0 \right) ，$$ 设平面 α 的法向量为 m=(x，y，z)， 数学试题(第5页共14页) [m·MN=0, x+y=0, 由 得 m.CM=0 35 2x-2y+ z=0 令y=√5，则平面CML的一个法向量为m=(25,5,5),…15分 由m=0,可得(》25+号5+5-5=0， …16分 :NL 居999 …17分 (方法二)(1)证明：：AP=√5，PD=2,AD=1,∴.PD2=PA2+AD2, .∠PAD=90°，即PA⊥AD. …2分 ,AD∥BC,∠BCD=90°， ∴.∠ADC=90°，即CD⊥AD, 又，平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, .CD⊥平面PAD, ∴.PDC平面PAD, .CD⊥PD 在Rt△PCD中，PC=√PD2+CD2=√2+P=5, 在Rt△ACD中，AC=√AD2+CD2=P+P=√5， ∴.PA2+AC2=PC2,故∠PAC=90°，即PA⊥AC.…3分 :AD∩AC=A,且AD,ACc平面ABCD, PA⊥平面ABCD,…4分 (2)(i)取BC的中点E,连接ME,则ME∥PC, ,MEt平面PCD,PCc平面PCD, .ME∥平面PCD, 点M,E到平面PCD的距离相等，记为h,…5分 由me=g-n得，=Smh,…7分 3 3 数学试题（第6页共14页） 即时行x1x15-侵x2x1小h,故h=5 …8分 在Rt△PAB中，PB=VPA+AB2=V3+(P+P)=5=PC, BC 1 ,∴.cos∠PBC= 2PB5' ∴.CM=√BM2+BC2-2BM·BC·cos∠PBC +4-2x52x 2×2 2x5=2 …10分 ,∴.CM与平面PCD所成角的正弦值为 h39 ………12分 CM 13 P M D B- (ii)取PD中点为N,则MN∥BD, ,'BDt平面CMN,MNc平面CMN, BD/∥平面CMW,…13分 又BD∥Q,故平面CMW即为平面《，…14分 已知PAna=L,设PA=PZ, PB=PD+D4=PD+2D4+DC=PD+2(PA-PD)+(PC-PD)=2P4+PC-2PD. M,N分别是PB,PD的中点， .2PM =2APL+PC-4PN, L,M,C,N四点共面， 2=2a+1-4,即=故PL=p1=2 …16分 5 在△PLN中，∠LPN=30°，PN=-PD=1, 2 ∴LN=√PE2+PW2-2PL·PN cos.30° +1-25, 12 …17分 W25 5 数学试题（第7页共14项） 19.·(17分) 【命题意图】本小题主要考查抛物线的概念、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识： 考查直观想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和创新意识：考查数形结合思想、化归与 转化思想和函数与方程思想：主要涉及直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象核心素养： 体现综合性和创新性， 【解答】（方法一）(1)由抛物线定义及题设得F=3+P=3 …2分 24 解得，p=2 所以抛物线E的方程为y=X.… …3分 (2)(i)证明：设A(,y)B(2)C(x为)D() 若=x,x=x,则直线AB,CD斜率不存在， 由对称性可知，M,G,N均在x轴上，则M,N分别为AB,CD的中点.…4分 若x≠xx≠x,则直线AB,CD斜率均存在， 直线AB方程为y=占-出(x-x)+y, x2-x 又因为x=片名=，所以y=片(x-)+y, -vi 化简得，x-(以+当2)y+2=0.… …6分 同理，直线CD方程为x-(y+)y+y4=0, 直线AC方程为x-(以+y)y+y=0,① 直线BD方程为x-(y2+y)y+y4=0.② 设M(xw,ywN(xw,yw）G(aya) 由方程①一②得（为+y4-片-）y-y4+y=0, 数学试题（第8页共14页） 解得，6=出出 …7分 2+4--为 又因为AB∥CD,所以片+为=片+y,则以-片=为-为： 因此，%=+-）.+少=.当+丛.…8分 片+-少-为 2(4-为)2 又由于GM垂直于y轴，所以yw=。=当十丛， 2 故M为AB的中点. 同理可证，N为CD的中点，…9分 (ii)设 AB =1,因为AB∥CD,从而 AB GM CD NG 又wG-GM=1>0,故0<1<1. 由(i)知，直线MN与x轴平行， 从而NG-lGM=kw-xake-xu=(w-xaG-xu) A 由()知。=上+丝，代入方程O得， 2 。=(y+y)当少-y=广+w+-丛， 2 2 又w=+五=广+以 22 从而。-xw=公+必±少-业_+发_凸--： 2 2 同理可得，w-。=出-少二y 2 (w-o)(。-w)=-y-凸-y- 2 2 G-GM=-,+》-1.-2-=-=1,则 2 数学试题（第9页共14页） y-为作1.…12分 如图，过B作MN平行线，交CD为E,则四边形MBEN为平行四边形， BE =MN. 因为AB∥CD,所以△AGB∽△CGD, INGI BG=1, 故 DN 所以 DN GN1 DE BE1+1 NE BE 又M为AB中点，N为CD中点，所以 EC1-1 2 因此Sam=SACDSAD=亡SAcE' 则四边形ABCD的面积 9=5m+5n-+5n+25am-2 20+sAE=9 …14分 另一方面，则saE=BE,-y=wb:-y小=N 又N-芒Gl-Gw=,-,j广= 所以5m品 从而200兰9.解得1=2该-号 1-121-7 …16分 又因为0<1<1，从而1=，即48_是 …17分 2 CD 2 ()另解：设直线AB:x=my+n,直线CD:x=my+2, 数学试题（第10页共14页）(在此卷上答题无效) 2025-2026学年福州市高二年级适应性练习 数学 (完卷时间：120分钟；满分：150分) 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.等差数列5,9.13.17.…的第7项为 A23 B.25 C.27 D.29 2.已知向量a=(2,-1,3),b=(4,y.6)、若a∥b,则y= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知椭圈c云+号=1的左、右焦点分别为R、R,P为C上一点。若 PF=2,则PP:= A1 B.3 C.4 D.8 4.设甲：数列(a是公比为-1的等比数列：乙：数列川aa)满足an+1+an=0.则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5.在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，则 A配=西-2C-而 B配-丽+花+而 C.距=西+花+而 D.成=-丽-2花-号而 高二数学一1一（共4页) 6.北斗卫星导航系统是我国航天事业的重要成果，北斗卫星的运行轨道是以地球的 球心为一个焦点的椭圆，平均轨道高度约为2万千米到3.6万千米，属于中高地球 轨道.某颗北斗卫星运动至近地点时，距离地球表面高度约为1.56万千米；运动 至远地点时，距离地球表面高度约为3.16万千米.已知地球的半径约为0.64万千 米，则该卫星运行轨迹的标准方程可以是 近地点 2上2 4.841 8.36-1 x2 C. 9.9856+ 7.552=1 远地点 x2 D. 9.9856+2.4336=1 7.已知圆C1:(x-1)2+(y-2)=(r>0),圆C:(x-4)2+y2=16,P为圆C上任 意一点.若P关于直线y=x的对称点Q都在圆C,内，则r的取值范围是 A.（0,4-5) B.4-5,4+5 c.（0,4-3 D.4-√13,4+√13 8巴知双曲线C1(>0,6>0)的左、右焦点分别为乃，P,过，且斜第 为√了的直线1与C在第一象限的交点为P,PF,F,的平分线与线段PF,交于点Q. 若P=2Q下，则该双曲线的离心率是 A.3 B.1+√3 C.2+√3 D.3+√3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分、 9.对于抛物线x=4y,下列描述正确的是 A.开口向右 B. 对称轴为y轴 C.焦点为(0,2) D.准线方程为y=-1 高二数学一2一（共4页) 16.(15分) 10.已知点0(0,0).B(4,2),C(1,-1)都在圆M上，点D(2a,0).则 已知圆C:(x-}'+y=4,直线kx+my+m=0. A.线段OB是圆M的直径 B.圆M的方程为(x-2)2+(y-1)'=5 (1)当m=1时，判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由： C.对于任意a0,圆M上都存在点P,使得∠OPD=90 (2)若直线l与圆C交于M,N两点，且MN=2,求直线I的方程. D.若D在圈M外，则a的取值范围是(-m,-4)U(4.+) 17.(15分) 11.在棱长为1的平行六面体ABCD-A1B,C1D,中、∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°， 已知数列a.满足a1=3,am+1=2a。-1 点P满足更=xB+yAD+:A,其中x,y,:e[0,1小、则 (1)证明数列(an~1为等比数列，并求an: A当x=y=:=1时，A=√3 (2)记bn=n(an-1).求数列(b.J的前n项和T, B.当x+y+:=1时，P在平面A1BD内 18.(17分) C当：=时，P的轨迹的面积为9 在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AP=√3，PD=2.在梯形ABCD中， 2 AD∥BC,LBCD=90°.AD=CD=1,BC=2. D.当x+y=1时，P到直线AM,的距离的最小值为 2 (1)证明：PA⊥平面ABCD: (2)若M为棱PB的中点， 三、填空题：本题共3小题，每小愿5分，共15分 (i)求CM与平面PCD所成角的正弦值： 12.以直线y=士：为新近线的双曲线的标准方程可以是·（只籍写出一个满 (i)过CM作平面a,使得BD∥a,记a与棱 足条件的方程) PA,PD的交点分别为L,N,求LN 13.已知三条直线ar-y+4=0,4x+3y-10=0与2x-y=0相交于一点，则 19.(17分) 14.已知正项数列{a}的前n项和为5，a1=1,2(S2+S:)=a2+（n≥21.则 已知抛物线E=p(p>0)的焦点为R.点T(3,)在E上，且到7F=是 (1)求E的方程； (2)已知四边形ABCD的四个顶点均在E上，AB∥CD、对角线AC,BD的交点为 四、解答题：.本题共5小题，共刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 G,过G作y轴的垂线，分别交AB,CD于M,N两点 15.（13分) (i)求证：M,N分别为AB,CD的中点： 记等差数列(a。】的前n项和为S.,S,+3a6=42. ()若四边形A8cD的面积为9.G-GM:1,求e 的值 CD (1)求a4: (2)若{a的公差为2，求S 高二数学一3一（共4页） 高二数学一4一（共4页）