精品解析：天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

天津市第一中学滨海学校2025-2026-1学期 高三年级第三次月考数学学科检测试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（45分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法得到集合，然后利用代入法验证其中哪些元素在集合中，从而得到交集. 【详解】易得，而， 所以， 所以， 故选：D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别从充分性和必要性角度去判断即可. 【详解】由得，由得， 当，时，满足，但不满足； 当，时，满足，但不满足； 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的定义，和函数单调性与导函数的关系，求出函数在区间上的单调性，分别判断各选项正误. 【详解】已知的定义域是，不是奇函数，所以A错误. 已知，定义域为，且，是奇函数， ，所以在区间上单调递增，所以B正确. 已知，则，在区间上单调递减，所以C错误. 已知，则，令，即，解得， 所以在上单调递减，所以D错误. 故选：B. 4. 给出下列说法，其中正确的是（　　） A. 某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为 B. 已知数据平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13 C. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为 D. 样本相关系数 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的概念可判断A的真假；根据两组相关数据的平均数和方差的计算方法判断B的真假；计算残差判断C的真假；根据相关系数的取值范围判断D. 【详解】对A：将3，3，8，4，2，7，10，18由小到大排列为2，3，3，4，7，8，10，18，第50百分位数即为中位数，这组数的中位数为，所以A错误； 对B：由数据的平均数为2，方差为3，则数据，，的平均数为，方差为，所以B错误； 对C：残差，故C正确； 对D：样本的相关系数应满足，所以D错误． 故选：C 5. 已知，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得答案. 【详解】， ， ， 则. 故选：C. 6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】依题意，函数， 当时，，显然， 且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形为矩形，可设以MN为直径的圆的方程为，设直线MN的方程为，联立求出，进而求出，再在中利用余弦定理即可求解. 【详解】如图，因为四边形为矩形，所以（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为. 直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为， 由解得，或 所以，或，. 不妨设，，又， 所以，. 在△AMN中，， 由余弦定理得， 即， 则，所以，则， 所以. 故选C. 8. 历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：） A. 87 B. 88 C. 89 D. 90 【答案】 【解析】 【分析】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 9. 如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，，进而证明四边形是平行四边形，可得E为线段的中点，分析四棱锥的底和高，可得所求几何体体积. 【详解】 连接，，如图，因为平面ABCD，平面ABCD， 所以，又，所以四边形是矩形， 所以，， 又，分别为AB，CD的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又对角线，所以点E为线段的中点. 连接，交EF于点N，过点作于M， 由题意知，故， 又，，，平面，所以平面， 故，又，，平面， 所以平面，即是四棱锥高， 同理可得点F为线段的中点，所以，， 在中，，则，所以， 因为， 所以. 故选：B. 第Ⅱ卷 非选择题（105分） 注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 10. 已知复数，则z的共轭复数_________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的乘法得出复数，再应用共轭复数的定义求解. 【详解】因为复数， 则z的共轭复数. 故答案为：. 11. 曲线在点处的切线方程是____________. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，则切线斜率，又，得， 所以曲线在点处的切线方程是， 所以切线方程为. 故答案为： 12. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于P，Q两点（P在x轴上方），M为的中点．若，点M到l的距离为4，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设PQ的倾斜角为，根据抛物线第一定义可求出，焦点到准线的距离为，借助三角函数值表示与之间关系，再根据梯形中位线等于上底和下底和的一半即可求出答案. 【详解】设PQ的倾斜角为，根据抛物线第一定义可求出， ，而， 所以， 又因，所以则有，解之可得， 点M到l的距离为4，所以可得， 而， 解之可得. 故答案为： 13. 2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同的安排方法有______种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为_______． 【答案】 ①. 210 ②. ## 【解析】 【分析】根据分组分配先将6人分成三组，再进行分配即可求得不同的安排方法；再利用古典概型计算可得所求概率. 【详解】根据题意可将6名工作人员分成三组，符合题意的分组为2，1，3或2，2，2； 因此不同的安排方法有种； 若三项工作各安排2人，共有种， 则甲和乙安排相同工作的方法有种， 所以甲和乙安排相同工作的概率为. 故答案为：210，. 14. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则______，数列的前50项和为______． 【答案】 ①. 50 ②. 650 【解析】 【分析】当时，，当时，，可推出，利用累加法可得，从而求得即可求解，根据，即可求解. 【详解】当时，①，当时，②， 由①②可得，， 所以， 累加可得，， 所以， 令且为奇数)，，当时，成立， 所以当为奇数，， 当为奇数，， 所以当为偶数，， 所以 故； 根据 所以的前项的和． 故答案为：； 15. 若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求得和时的切线方程，并根据图象得出a的取值范围. 【详解】由可得，则函数与函数的图象有两个交点； 设，则， 令，解得； 令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 函数与函数的图象如图所示： 切线与在x轴上的截距分别上，， 当时，与函数的图象有一个交点， 所以实数a的取值范围. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数零点个数求参数范围问题.关键点是将零点个数转化为图象交点的个数，构造函数，利用导数求得和时的切线方程，根据图象即可得出a的取值范围. 三、解答题（共5小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 16. 已知中，角的对边分别为. （1）求： （2）求； （3）求的长. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数的基本关系； （2）由两角差的余弦及二倍角公式求解； （3）由正弦定理求解即可. 【详解】（1）， ， 由正弦定理可得，. （2）且, , ，， （3） ， 由正弦定理，可得. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为的中点，求平面与平面的夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直性质定理证明平面，原题即得证； （2）以P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值； （3）证明平面，再利用向量法求平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 在中，∵，P为的中点，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴. 【小问2详解】 在直角梯形中，∵，，P为中点， ∴，且，则四边形为平行四边形， ∵，∴，             由（1）可知，平面，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，，           设平面的一个法向量， 由，取，得， 所以为平面的一个法向量； 设直线与平面所成角为， 则． ∴直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 ∵，，，平面， ∴平面，即为平面的一个法向量， ∵M为的中点， ∴点M的坐标为，而，， 设平面的一个法向量为， 由， 取，， 所以为平面的一个法向量．      ∴． ∴平面与平面的夹角余弦值为． 18. 已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②有， 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解； （2）①由题知直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消得到，再利用弦长公式，即可求解；②设直线，联立椭圆方程，消得到，设直线的斜率分别为，进而可得，又，即可求解. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设， ①当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 由，消得到， 所以， 所以. ②由（1）知，易知， 设直线，由，消得到， 所以， 设直线的斜率分别为，且， 所以， 得到，又， 当且仅当，即时，的最大值为， 又，所以的最大值为. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问中的②，设直线，联立椭圆方程，消得到，由韦达定理知，设直线的斜率分别为，从而得出，又，即可求解. 19. 已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. （1）求数列和的通项公式. （2）记，求数列的前项和. （3）记，求. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据与的关系得到，再根据等比数列的性质即可得到； （2）利用裂项相消法即可得结果； （3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果. 小问1详解】 当时，，解得. 当时，， 所以， 即是以首先，公比为的等比数列，即. 因，成等比数列， 所以，即，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）得 ， 则 【小问3详解】 ， 因为， 设，前项和为， 则， ， . 所以 20. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在点上的切线方程.（其中e为自然对数的底数） （2）已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导数，求出在点处的斜率，最后求切线方程即可； （2）（ⅰ）方程有两个不相等的正实根，等价于函数的图象与直线有两个交点，利用函数导数求出极值，再结合图象求出的取值范围即可； （ⅱ）结合（ⅰ）及指对互化得，，从而把最小值化为的最小值，多次构造函数，求导，研究函数的单调性及最值，利用最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 所以，又， 所以函数在点上的切线方程为，即； 【小问2详解】 （ⅰ）即，则有，， 设，，则，令，得， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又x趋向于0时，趋向负无穷，x趋向于正无穷大时，无限趋向0，且， 函数图象如下： 由题意，方程有两个不相等的正实根， 即方程有两个不相等的正实根， 所以函数的图象与直线有两个交点， 由图知，，故实数a的取值范围为； （ⅱ）因为，由（ⅰ）得，则， 所以，设，则， 即，， 由题意有最小值，即有最小值， 设，，则， 记，则， 由于，，时，，则在上单调递减， 时，，则在上单调递增， 又，，且t趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大， 故存在唯一，使得， 时，，即，所以在上单调递减， 时，，即，所以在上单调递增， 所以时，有最小值， 而，则，即， 所以， 由题意知，令， 设，则， 设，则， 设，则， 故在上单调递增，，此时在上单调递增， 有，此时，故在上单调递增， 又，故的唯一解是， 故的唯一解是，即， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学滨海学校2025-2026-1学期 高三年级第三次月考数学学科检测试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题纸指定位置；Ⅱ卷答案也写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（45分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一、选择题（在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C D. 4. 给出下列说法，其中正确的是（　　） A. 某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为 B. 已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据，，的平均数和方差分别为5，13 C. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为 D. 样本相关系数 5. 已知，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：） A. 87 B. 88 C. 89 D. 90 9. 如图，已知两个四棱锥与的公共底面是边长为2的正方形，顶点在底面的同侧．棱锥的高，分别为AB、CD的中点，与交于点E，与交于点F，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（105分） 注意事项： 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.） 10. 已知复数，则z的共轭复数_________. 11. 曲线在点处的切线方程是____________. 12. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于P，Q两点（P在x轴上方），M为的中点．若，点M到l的距离为4，则的值为______． 13. 2025年，上海合作组织峰会、2025夏季达沃斯论坛双主场齐聚天津！现需将6名工作人员安排到“内宾接待”、“会议保障”、“媒体宣传”三项工作，每人必须安排且只能安排一项工作，若“内宾接待”安排2名工作人员，“会议保障”、“媒体宣传”至少安排1名工作人员，则不同安排方法有______种（用数字作答）；若三项工作各安排2人，则甲和乙安排相同工作的概率为_______． 14. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则______，数列的前50项和为______． 15. 若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围是___________. 三、解答题（共5小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 16. 已知中，角的对边分别为. （1）求： （2）求； （3）求的长. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面平面为的中点，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设为中点，求平面与平面的夹角余弦值. 18. 已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，说明理由． 19. 已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列. （1）求数列和的通项公式. （2）记，求数列的前项和. （3）记，求. 20. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在点上的切线方程.（其中e为自然对数的底数） （2）已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $