天津经济技术开发区第一中学2025-2026学年高三上学期1月练习数学试题

天津经济技术开发区第一中学2025—2026学年度第一学期 高三年级数学学科月练习试卷（1月） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. ，则三条交线的交点个数为0或1 3. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 14 4. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 6. 在正项数列中，设甲：，乙：是等比数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7. 设是定义域为R的偶函数，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 以双曲线的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线于A，B两点.已知，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. 或4 B. C. 或4 D. 4 9. 设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论： ①在有且仅有3个极大值点 ②在有且仅有2个极小值点 ③在单调递增 ④的取值范围是 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 10. i为虚数单位，复数则_______. 11. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）. 12. 已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为________． 13. 某中学组建了，，，，五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只能参加一个社团．假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响．记事件为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团”，则_______；若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团，则恰巧甲参加社团的概率为________． 14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 15. 已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围为______． 三.解答题：（本题共5小题，共75分） 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求a的值： （2）求证：； （3）的值 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. （1）求线段的长； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 18. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和. 19. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点.若，，三点共线，求证：. 20. 已知函数，其中． （1）求的极值； （2）设函数有三个不同的极值点． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 天津经济技术开发区第一中学2025—2026学年度第一学期 高三年级数学学科月练习试卷（1月） 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 二.填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 三.解答题：（本题共5小题，共75分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 由及，得， 由正弦定理得， 因为，所以或. 若，则，与题设矛盾，因此. （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在， 【18题答案】 【答案】（1） （2） 由（1）可知，，则， 可得. 又因为， 所以. （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 由题意可设，，，且，. 直线的方程为. 由消去，整理得. 成立. 由，解得. 所以.所以. ①当直线轴时，，解得， 由椭圆的对称性可得. 又因为，所以. ②当直线不垂直轴时，即时，， 直线的斜率.同理. 因为，，三点共线，所以.所以. 在和中，，， 所以.因为，均为锐角，所以. 综上，若，，三点共线，则. 【20题答案】 【答案】（1），无极大值； （2）（i） ； （ii）证明：令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，， 令，则，， 令在单调递增、， ∴在单调递减，在单调递增， 令，则 ， ∵，∴， 令，， ∴在单调递增， ∴，∴在单调递减， ∵，∴， ∵，∴， ∵在单调递增， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。 1.已知集合A=xX+2 x-3 ≤0}，B={x2<4),则AnB=() A.（-2,2) B.[-2,2) C.(-2,2] D.【-2,2] 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查集合运算，分式不等式，指数不等式求解，属于基础题. 【解答】 解：由题可知A={x-2≤x<3},B={x<2}, ·A∩B=【-2,2), 故选B. 2.已知α，B,Y是三个不同的平面，I,m,n是三条不同的直线，下列结论正确的是() A.若m//n,nca,则m/a B.若a/B,mca,ncB,则m/n C.若a⊥Y,B⊥Y,则a//B D.anB=I,BnY=m,anY=n,则三条交线l,m,n的交点个数为0或1 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于基础题. 根据相关的性质逐项进行判断即可· 【解答】 解：对于A项，m/n,nca,有mca或m/a,即A项错误； 对于B项，若a/B,mca,ncB,有m/n或m,n异面，即B项错误； 对于C项，a⊥Y,B⊥Y,有a,B相交或a/B,即C项错误； 对于D项，可参照三棱柱和三棱锥，即D项正确 故选：D. 3.已知等差数列{0n}的前n项和为Sn,且S4=4S2,02n=20n+1(n∈N),则a,=（) A.6 B.9 C.11 D.14 【答案】B 【解析】 第1页，共1页 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，依据题意列方程组，解方程组解出口，和d,从而得出 {0n}通项公式，进而即可得到o,· 【详解】设等差数列{0，}的首项为a,公差为d, 由S4=4S2,02n=20n+1(n∈N), 40,+6d=8a,+4d 则有 0,=1 0+(2n-1)d=20+2(n-1)d+1,解得 d=21 所以等差数列{0n}的通项公式为0n=2n-1,n∈N, 故0=2×5-1=9. 故选：B. 4.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为() A.f(x)=e"-ex X B.f(x)sin2x.InX 十习 C.f(x)= e'tex D.f(x)=cos2x.In x+1 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查具体函数的定义域，判断或证明函数的奇偶性，函数零点、方程的根的个数，属于中档题 根据图象得到该函数的定义域、奇偶性、零点等性质，据此逐项判断即可 【解答】 解：根据题意，由函数的图象，f(x)的定义域为{xx≠0}，其图象关于原点对称，为奇函数；在(0，十o)上， 函数图象与×轴存在交点. 由此分析选项： 对于A,fx)= e,某定义城为k*0,有f-=ee-ee=fw, -X fx)为偶函数，不符合题意； 对于B,f(x)=sin2x·ln n2,其定义域为xx≠0}， 第1页，共1页 有f-X刘=sin(-2):nX+1=-sn2x1nX+1=-fw,f为奇画数，其图象关于原点对称： x? 当X=km+ke☑时，sin2x=0f侧=0，画敬图象与x轴存在交点，行合题意： -X 对于C,fx)= e"te 一，当×>0时，e+e>0,x>0,故f(x)>0恒成立，所以该函数图象在(0，+o) X 上与x轴不存在交点，不符合题意； 于D,f凶=©oe2xn,其定义城为xx 有f-=c0s-2:1n+1=c082xn=f以，i树为偶函数，不符合题意. x 综上所述，只有选项B的函数满足 故选：B, 5.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到 如下频率分布直方图： 个频率 组距 0.20 0.14 0.10 0.04 0.02 0 2535455.56575859510.511.512513.514.5收入/万元 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是() A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查统计模块中的频率分布直方图，属于基础题. 利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A,B,D,利用平均值的计算方法， 即可判断选项C 【解答】 第1页，共1页 解：对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为0.02+0.04=0.06=6%，故A正确； 对于B,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为0.02×3+0.04=0.10=10%，故B正 确； 对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为 3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13 ×0.02+14×0.02=7.68>6.5万元，故C错误； 对于D,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.10+0.14+0.20×2=0.64=64%，故估计 该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故D正确； 故选C 6.在正项数列{a}中，设甲：amtn=aman,乙：{a}是等比数列，则() A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】解：在正项数列{a}中，amtn=aman, 令m=1,则a1=a,,即3出=a(常数， a 所以数列{a}是以a,为首项，a,为公比的等比数列， 故由条件甲可以推出条件乙； 若{a}是等比数列， 设其公比为q,则a。=a,q-， 那么ana。=a,qm-1.a,g-1=aqn--2 而amn=a,gmn-, 当q≠a,时，amtn≠amn',所以由条件乙不能推出条件甲. 故甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 7设似是定义拔为R的偶通资，A在0+w)上举调遥增，若a=0oq万b=f0e95方。=-3司， 则a,b,c的大小关系为 第1页，共1页 A.c b>a B.b c>a C.a>c>b D.a b>c 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查了函数的奇偶性与单调性在比较大小中的应用，属于基础题. 先利用偶函数的定义将a,b,c转化，再利用函数的单调性比较大小即可. 【解答】 解：因为o方=-695,95疗=-l0q反，且通数侧为%画成， 所以a=0og5月=机e.b=0ag52》=t0og反.e=9与 4 <号<2=g后<1ogpE1516g5, 易知0<33 且函数f(x)在[0，+o)单调递增，所以a>b>c. 故选D 8.以双曲线义-上=1的右顶点为圆心，焦点到渐近线的距离为半径的圆交抛物线y=2x(P>0)于A, 49 B两，点已知|AB|=4√互，则抛物线的焦点到准线的距离为() 4 5 A.-或4 C.-或4 D.4 3 3 3 【答案】A 【解析】 【分析】先求出双曲线的顶点坐标，焦点坐标及渐近线方程，进而可求得圆的方程，根据圆与双曲线都关 于x轴对称，则A,B两点关于x轴对称，从而可求得点A的坐标，代入抛物线方程即可得解。 【详解】双曲线女一y =1的右项点坐标为(2,0)，焦点为（±V13,0), 49 浙近线方程为y=±3x,即3x士2y=0, 焦点（√13,0)到浙近线3x+2y=0的距离为 5+0-3, V9+4 所以题中圆的方程为(x-2)+y2=9, 第1页，共1页 因为国(X-2)2+y=9和双曲线父-二=1的图象都关于x轴对称， 49 所以A,B两点关于x轴对称， 不妨设点A在第一象限，设A(x,y)(X,>0,y>0),则B(x,-y,), 则AB=2y=4V2,所以y=2V互， 因为，点A在圆(x-2)2+y2=9上， 所以(x-2)+8=9,解得x,=1或3， 所以A1,2V2)或A(3,2V2), 当A1,2√2)，则8=2p,解得p=4, 当A32,则8=6p,解路p=手 综上所述，抛物线的焦点到准线的距离为4或4. B 故选：A 函数f凶=sn0x+写w>0,已知f凶在02m有且仅有5个零点，下球四 ①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值，点 ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值，点 ③fx)在 单调递增 ④w的取值范围是 1229 5'10 其中所有正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 第1页，共1页 【答案】C 【解析】【分析】画出图象，根据f(x)在[0,2m有且仅有5个零，点，求出w∈ 「1229 ④正确；数形结 15'10 合得到f(x)有且仅有3个极大值点，可能有2个极小值点，也有可能有3个极小值点，①正确，②错误； 整体法求出f(x)在 0.π 单调递增 10 【详解】第④，因为w>0,故当x∈0,2时，wx+6 (I 2wn+- 画出函数y=sinz的图象如下： y=sin z 3元 7元 π 2π 5π3元 4π9π5元 5 2 因为f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，故2wm+ 5 ∈[5m,6m), 解得ω∈ 1229 510 ,④正确； 第O,当wX十 2 10w’10w10w 有且仅有3个极大值点，①正确； 第@，当2wn+ 111 T1253到时， 5'4 当ωX+ 13π 33亚时，f取得极小值，此时f网在(0,2m)有且仅有2个极 10u’10w 小值点 5329 时， 410 13π 5 毁，受，即x= 2,2 33或53n时，f)取得极小值，此时f0W)在(0,2m) 10w'10w 10w0 有且仅有3个极小值点，②错误； 时，wx+ 因为w∈ 1229, 5'10 所以 由于 0<7 100 故f(x) 10:10 单调递增，③正确. 故选：C 二.填空题 第1页，共1页 10.i为虚数单位，复数z=1+i则3+1= 【答案】√5 【解析】 【分析】根据复数的运算及模的定义求解即可. 【详解】3+iz=3+i1+川=2+=√22+12=√5， 故答案为：√ 的二项展开式中，x的系数为（请用数字作答). 【答案】-80 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解。 【详解】二项展开式通项为7=C×5（-2)x=(-2)Cx , 令10-7=3，解得=3. 3 所以T4=-8C号x3=-80x3, 故答案为：-80 12.已知抛物线y2=4x上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中，点为圆心，PF为直径 的圆被x轴截得的弦长为一 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用抛物线定义确定P,点坐标，进而可得以PF的中点为圆心，PF长度为直径的圆的方程， 再代入计算可得弦长. 【详解】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1, 由题意得PF=6,结合抛物线定义知P点到准线的距离为6， 第1页，共1页 则x。=6-1=5, 代入横坐标可得y。=±2V5,即P(5,±25)， 所以PF的中点坐标为(3，√5)或(3，√5)， lPr=√4+25=6， 所以以PF的中点为圆心，PF|长度为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-V5)=9或 (x-3)2+y+V5)2=9, 圆心到x轴距离为V5,所以与x裁得的弦长为29-(5)=4， 2 故答案为：4 13.某中学组建了A,B,C,D,E五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且 只能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响.记 事件M为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A”,则P(M)=一：若甲、乙、丙三名学生中 有两人参加社团A,则恰巧甲参加社团A的概率为一· 【答案】①. 12 @.3 125 3 【解析】 【分析】首先求出甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A的事件数，及恰巧甲参加社团A的事件数， 再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】依题意甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有5×5×5=125个， 12 若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A,则有CC!=12种选择，所以P(M)= 125 甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A,则恰巧甲参加社团A,则有CC4=8种选择， 第1页，共1页 所以甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A,则恰巧甲参加社团A的概率P=8=2 123 故答案为： 14.青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一图一是一个由 波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中 心，半径为2，若点M在正六边形的边上运动，动，点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称.()请用MA,MB 表示MO=一；(i)请写出MA·MB的取值范围 A 0 B M 图 图二 【答案】 O.1MA+1MB@.18,12] 1 2 【解析】 【分析】()根据向量线性运算可直接得到结果； ()根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为M可-4：根据正六边形性质可求得 M可的范围，由此可得结果. 【详解】()A.B在圆0上运动且关于圆心O对称，0为AB中点，：M0=MA+MB: 2 2 (ii)MA.MB=(MO+OA)(MO+OB)=MO+(0A+0B)MO+OA.OB =w可-b=wd-4: 第1页，共1页 当M为正六边形顶点时，M可取得最大值：当OM与正六边形的边垂直时，M可取得最小值： :六边形为正六边形，△0DE为正三角形，M可=0D=4: 作0F1DE,则F为DE中点，M可n=loF川=V42-z=25: MO-4∈[8,121，即MA·MB的取值范围为[8,121. 故答案为：LMA+二MB;8,121. 2 2 x2-4x+4,x≤2 15.已知函数f(x)= 方程f(x)-t=0有两个实数解，分别为X和X2,当1<t<3时， kx-2k,x>2 若存在t使得X1+X)=4成立，则k的取值范围为一· 【答案】1V3) 【解析】 【分析】根据分段函数各区间的性质，结合已知条件，将1<t<3时，存在t使X1+X2=4成立，转化 为x2-4x+4=kx-2k在x∈(3,2+V3)有解，进而求参数范围. 【详解】作出函数y=f(x)与y=t(1<t<3)的图象，易得两函数交点位于x=2两侧， 若存在t使得X1+X2=4成立，又y=x2-4x+4关于x=2对称， 那么y=kx-2k与y=x2-4x+4(2<x<x<x4)有交点P2, 如下图有P,与P,关于x=2对称，那么就有X1+X,=4; y =kx-2k y=t 02 令X-4x,+4=1→x=3,令x-4x,+4=3→x=2+V5; 即x2-4x+4=kx-2k在x∈(3,2+V3)有解； 第1页，共1页 所以k=4,+=x,-2,V),即k的取值范围为(15) ×2-2 故答案为：1，V5) 三、解答题： 16.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且b=3,c=1,0=6cosB. (1)求a的值： (2)求证：A=2B; 的值 【答案】(1)2√3 (2)证明见解析(3) 2互-5 6 【解析】 【分析】(1)根据条件结合余弦定理求解； (2)由a=6c0sB可得a=2bc0sB,利用正弦定理结合0<A<π，得证； (3)由(1)可求得cosB,sinB,根据二倍角公式求得sin2B,cos2B,再利用两角差的余弦公式求得结 果；或由余弦定理求得c0sA,sinA,结合A=2B,利用两角差的余弦公式运算得解. 【小问1详解】 由0=6c0sB及余弦定理，得0=60+C-b 2ac 因为b=3,c=1,所以02=12,0=2V3 【小问2详解】 由a=6c0sB及b=3,得0=2bC0sB, 第1页，共1页 由正弦定理得sinA=2 sin B cos B=sin2B, 因为0<A<π，所以A=2B或A+2B=π. 若A+2B=π，则B=C,与题设矛盾，因此A=2B 【小问3详解】 由()得co5B=?=25V ,因为0<B<, 66 所以sin2B=2 sin B cos B= 2W5 scos 2B =2cos?B-1=-, 所以a(g司}（a78o爱1sn78Nn后 6 6 (》995 另解：因为cosA= 2bc 所x(e-=m个a君=Ae后nAu月 (》9950 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=2,AD=1,M为边CD 的中点，且PC⊥BM. 第1页，共1页 (1)求线段AB的长； (2)求平面PBM与平面PCD夹角的余弦值； (3)在线段PD上（不含端点）是香存在点N,使直线AN与平面PCD所成角的正孩值为2正，若存 5 在，求线段PN的长；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)AB=√互 (2)35 10 (3)存在， 3V5 【解析】 【分析】(1)建立空间直角坐标系，设AB=a,由PC⊥BM即可求解； (2)分别求平面PBM与平面PCD的法向量，利用夹角公式即可求解； (3)设PN=P,E(0.),利用直线AN与平面PCD所成角的正孩值为25即可求解 【小问1详解】 由PA⊥底面ABCD,AD、ABC平面ABCD, 故PA⊥AD、PA⊥AB,又底面ABCD是矩形，故AB⊥AD, 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A一y2, 第1页，共1页 P D A上-- B C 则A(0,0,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2), 设AB=a,则B(o,0,0)、C(a,1,0)、M 任 则PG=a1-8w-( 由Pc18w,则cgW=g(}1x1+(-》x0=1号-0， 解得a=V互，即AB=√2； 【小问2详解】 PB=(N2,0,-2),BM (9 设平面PBM的一个法向量m=(x,y,z), m·PB=0 V2x-2z=0 因为 m·BM=0 可得 互 x+y=0 2 令z=1,则x=√2，y=1,所以m=(N2,1,1), PC=(2,1-2),cD=(-√2,0,0)， 设平面PCD的一个法向量万=(x,y,Z,), 第1页，共1页 方PC=0 可得 [2x+y-2z=0 n·CD=0 -√2x=0 令Z=1,则y=2,所以n=(0,2,1), 设平面PBM与平面PCD夹角为B, 则cos8cos<m,i米2+1+1 2+1 =3V5 10 所以平面PBM与平面PCD夹角的余孩值为3V 10 【小问3详解】 (3)PD=(0,1,-2)设PN=APD,A∈(0,1)， 则N(0,入，2-2∴.AN=(0,入，2-2)， 因为AN与平面PCD所成角的正弦值为2 2,设AN与平面PCD所成角Q, 5 外 |2A+2-2 25 所以5状-8+3=0所以1=1或A=3, 5 因为A∈0，)所以=3，所以PN=2PD=35 5 18.(本小题15分) 已知数列{a,}满足a,=3,且a+1=2an-1. (1)求数列{a}的通项公式： ②证明：1+1+…+1<1 a a2 a 3)凶表示不超过x的最大整数，如2.1]=2，【-15=-2，设c,= 求数列{c,}的前2n项和. 【答案】解：(1)因为a+1=2a,-1,则a+1-1=2(a。-1), 且a1=3,则a,-1=2≠0， 可知数列{an一1}是首项和公比均为2的等比数列， 可得a。-1=2×2-1=2”,所以a。=2”+1. 第1页，共1页 网Ta=2+1>2>,-2本 111+…+=1-7二27<7， 11 所以1+1+…+ 11 a1 a2 a 阅0河，a-1=2,则e=】 因为2”=(3-1)”=C3”+C3-'(-1)+C3-2(-1)2+…+C-'3(-1)"-+C(-1)” =3×[c3"-1+C3-2(-1)+c3"-3(-1)2+…+C(-1)-]+C(-1)”, 可得3 cg+c3-+cg-++c-1rt+, 当n为奇数时， 2 + 2] 即 2”_2 当n为偶数时， 则2 += 21 2”_1 设s为数列{c,}的前n项和， 可得sn=(c,+cg+c++c2n-）+(c,tc,+c。+…+c2n】 含-0 2n -4 n 3 十 1-4 1-43 22n+1 = 2 3-n- 所以数列e}的前2n项和为2n1。 3n3 3 19.(本小题共15分) 已知辑四片1片-1a>b>0的离心率为，右展点为，左顶点为N,上顶点为B,△AF的而积为9 2 (1)求椭圆的方程： (2)已知点R的坐标为(4，O),M、N是直线x4上的两，点(M在x轴上方，N在x轴下方)，直线AM、AN 与椭圆分别交于P、Q两点.若P、F、Q三点共线，求证：∠MFR=∠FNR 第1页，共1页 (1)求椭圆方程 已知椭圆三+茶=1(a>6>0)的离心率 1 e=2故c=20,其中c=va2-识，由此得 6=a2-c2=3a,即6=5 4 a. 左顶点A(-a,0),右焦点F60)=(20,上顶点 B(0,b) (o.2a. △ABF的面积为3V 2 ,以AF为底边，长度为 a十。=警，高为6，故面积公式为： 3ab 3v3 2 化简得b=2V3。将b=y3。 a代入得： a.Y3a=23→a2=4→a=2 从而c=1,b2=3。因此椭圆方程为： +1 (2)判断∠MFR=∠FNR是否成立 计算角度正切值： 设M(4,m)(m>0）,N(4,n)(n<0）,左顶点 A(-2,0)0 。∠MFR顶点为F,边FR为x轴正方向，FM 直线AM的方程为y=若：+2)，与椭圈联立 斜率为罗，故am∠MFR=罗。 m 22 m2e+22=1→27+m2)z2+4m2e+4m o∠FNR顶点为N,边NR垂直向上（斜率不 108 已知x=一2是根，由韦达定理得另一根 存在)，NP斜率为背，其与NR的夹角正切 2p= 2(27-m2) 7十，代入直线方程得那=27 18m 值为tan∠FNR=-3 n 故p2(27-m2) 18m 27+m2’27+m2 由mn=-9得n=- ,代入得 9 同理，直线AN的方程为y=石红+2)，得 am∠PNR=g=3程 m =tan LMFR. 。(27) m 因两角均为锐角，故∠MFR=∠FNR。 右焦点F(1,0),由P,F,Q共线得斜率相等： 2答案 yP yQ p-1=0-1 (1)椭圆方程为 代入Ep-1= 3(9-m2) 18m + 27+m2,p=27+m,同理化 (2)∠MFR=∠FNR成立，证明如上。 简得： m(9-n2)=n(9-m2)→(m-n)(9+mn)=0. 因m卡n,故mn=-9。 、1口☆T1n士 18设精圆C:之+y=1的右焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点，点M的坐标为2,0). (1)当I与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设0为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB 第1页，共1页 【答案】解：(1)c=2-1=1,F(1,0), :I与x轴垂直， “直线I的方程为x=1, X=1 x=1x=1 国+y=1摩得 y=巨或 2y2, A的坐标为1吗，-马。 直线AM的方程为y=-巨x+反或y=巨X-2: 2 (2)当I与X轴重合时，∠0MA=∠0MB=0°， 当|与X轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， .∠0MA=∠OMB, 当I与×轴不重合也不垂直时，设1的方程为y=k(x-1),k≠0， A(V,B(Xy2),则x,<巨，X,<E, 则k+ke=y2 + X-2X2-21 y,=k,k,%=6xk,得k+ke 2kx×2-3k(X+x)+4k (x-2)(x2-2) 将y=kK-1)代入苦+y=1,整理可得2K2+1)x2-4×+2k2-2=0, 2 4k2. 2k2-2 则4>0，×+×=2+17，X=2水+i ·2kxX2-3k(X,+X)+4k 2k+74k-4k-12k2+8k32+4k)=0, 1 从而kMa+kMB=0, 故MA,MB的倾斜角互补， ∴.∠OMA=∠OMB, 综上，∠OMA=∠OMB. 20.(本小题15分) 已知函数f(x)=(x-a)lnx-xlna,其中a>0. (I)求f(x)的极值； 第1页，共1页 (2)设函数g(x)=f(x) 有三个不同的极值点xX2X3 ()求实数a的取值范围； (i)证明：x+x2+x3>3. 【答案】()f(x)小位=一alna,无极大值： (2)()(e2,+o);(i)证明见解析. 【解析】【分析】(I)由题可得f(x)在(0，+o)单调递增，进而可得f(x)在(0，)单调递减，在(a,+o) 单调递增，即得； (2)()由题可知g(x)=0有三个不同的正实根，令t=x2∈(0，+∞)进而构造 h付=1nt20na)-】,可得hU=0有两个不同的正实根，再利用二次方程根的分布即得：① t+1 令t=X、七=×，则t,、上为hW=1nt-20血日)t-)的正实根，再利用子数解决双变量问题， t+1 可得t,+t>2,进而即证. 【详解】()由题可得f)=1nx+X-a-na=lnx-日+1-lna, X X ·fx)在(0，+o)单调递增， f(a)=0, ∴x∈(0，a)时，f(x)<0,x∈(a,+o)时f(x)>0, f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+o)单调递增， f板小维=f(a)=一alna,无极大值； a0w=r网2旧-+x*ian侵- 由题可知g(x)=0有三个不同的正实根×、X2、×,令t=x2∈(0，+o),则 gw=0-2++0a-}--0st-20a--0,令 t+1 hW=1nt-2na-)t-,h0=0有三个不同的正实根x2、×2、X2, t+1 h0=40na-l=t+12-4tna-1=+(6-4nat+1 t(t+1)2 t(t+1)2 t(t+1)2 h()=0有两个不同的正实根， A=(6-41na)2-4>0 (4lna-6>0 a>e2, 设h(t)=0的两个不同的正实根为m、n,且0<m<n,此时h(t)在(O,m)和(n,+o)单调递增，(m,n) 单调递减， 第1页，共1页 又：h(1)=0,:h(t)→-o(t→0)，且h(t)→+o(t→+o), h(t)有三个不同的正实根，满足题意， ·a的取值范围是(e2,+o); (i)冷t=x、5=×,(i)知×，=1,0<t<1<t,且t,、5为h=1nt-2na=l)t-的正 t+1 实根，h付=02Ina-1)=+)1n(≠1)， t-1 -1-21nt 令pw=t+lnt,则p)=p),p'日= t-1 (t-1)2, 令90=t2nm-G0=1+子>0-9)在0)华网碰增=G0<0e01. G(t)>0(t∈(1，+o), ·p(t)在(0,1)单调递减，在(1，+o)单调递增， 令F(t)=p(t)-p(2-t),t∈(0,1)，则 t子2nt2-t22n2-21-2ht2- F'(t)=φ'(t)+φ'(2-t)= (t-)2+ (t-1)2 (t-1)2 :t∈(0,1)，0<t(2-t)<1, 令He=1义n0<x<,H网=2>0， X ·H(x)在(O,1)单调递增， ·F'(t)<0,·F(t)在(0,1)单调递减， t,∈(0,1)，.F(t)>F(1)=0→p(t)>p(2-t), p(t)=pt),pt)>p(2-t), 'p(t)在(1，+o)单调递增， t3>2-t→t1+t2>2, x+x3+x3>3. 【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略： 1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从f(x) 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式， 再通过解不等式确定参数的取值范围； 2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为 结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的 第1页，共1页 参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 第1页，共1页