精品解析：海南省海南中学2025-2026学年度第一学期期中考试九年级数学

2025~2026学年度第一学期期中考试试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数．根据题意反比例函数图象上点的坐标特征为横纵坐标之积等于比例系数k，据此计算即可得到本题答案． 【详解】解：反比例函数中，， A、，∴反比例函数的图象不经过点； B、，∴反比例函数的图象不经过点； C、，∴反比例函数的图象一定经过点； D、，∴反比例函数的图象不经过点； 故选：C． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 3. 如图所示，⊙的半径为13，弦的长度是24，，垂足为，则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：已知⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，由垂径定理可得AN=BN=12，再由勾股定理可得ON=5，故答案选A. 考点：垂径定理；勾股定理. 4. 已知反比例函数的图象的两支分别在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质进行解题． 根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 5. 已知圆锥底面半径为1m，母线长为2m，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 圆锥侧面积公式为，其中为底面圆半径，为母线长度，直接代入即可． 【详解】解：，， 代入公式， 故选C． 6. 如图，分别与相切于A，B两点，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理．连接，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出∠的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵分别与相切于A、B两点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 已知点（－3，y1）、（－1，y2）、（，y3）都在函数y＝－x2－4x＋5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A. y1＝y2＞y3 B. y3＝y2＞y1 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式求出对称轴，在根据函数的性质求解即可； 【详解】∵y＝－x2－4x＋5， ∴函数图像的对称轴是直线，图象的开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， 点（，y3）关于对称轴的对称点是， ∵（－3，y1）和（－1，y2）关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确分析判断是解题的关键． 8. 如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴由图象可得，当时，或． 故选：B． 9. 如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可． 【详解】过点P作PE⊥y轴于点E ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB=CD 又∵BD⊥x轴 ∴ABDO为矩形 ∴AB=DO ∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6 ∵P为对角线交点，PE⊥y轴 ∴四边形PDOE为矩形面积为3 即DO•EO=3 ∴设P点坐标为（x，y） k=xy=-3 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为1，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握切线的性质将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析是解题的关键． 此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解． 【详解】解：如图所示，连接，． 根据切线的性质定理，得； 根据勾股定理可得 要使最小，只需最小， 则根据垂线段最短，当轴时，最小， ∵点的坐标为， ∴此时点的坐标是． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的中心角的度数等于360度除以边数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，正多边形的边数为：． 故答案为：9． 12. 将抛物线向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_________． 【答案】 【解析】 【详解】抛物线y=2x2的顶点坐标为(0，0)，点(0，，)向下平移3个单位后所得对应点的坐标为(0，-3)，所以平移后的抛物线的表达式是y=2x2-3. 故答案为：y=2x2−3. 13. 如图，为的直径，内接于．若，则______． 【答案】50 【解析】 【分析】此题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接 ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴． 故答案为：50． 14. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物的高度为 （cm）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 15. 飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】600 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的最值，根据飞机停下来时滑行距离最大，即求出二次函数的最大值，即可解题． 【详解】解：由，可知，， 即当时，取最大值， ． 故答案为：600． 16. 在平面直角坐标系中，已知点和点，点在反比例函数的图象上． （1）若点在图象的下方，_____________（填写“”，“”或“”）； （2）若点也在图象上，且图象上点之间的部分与线段能够围成一个封闭区域，（不包括边界）中没有横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是_______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据点在反比例函数的图象上及点在图象的下方即可判断； （2）分和两种情况进行讨论，根据A和B关于对称即可解答． 本题考查反比例函数的图象与性质． 【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上， ∴，即， 对于反比例函数，当时，， ∵点在图象的下方， ∴，即， （2）点在反比例函数的图象上， ∴，即， 当，即时，点在第二象限，点在第四象限，此时图象上点之间的部分与线段不能够围成一个封闭区域，故不符合题意，舍去． 当，即时，点在第一象限，图象上点，之间的部分与线段能够围成一个封闭区域． ∵（不包括边界）中没有横、纵坐标都是整数的点， ∴点是临界点． 经过点的正比例函数为，而直线上有无数个整点，且线段关于直线对称． 如图1，当点在内部时，有整点； 如图2，当反比例函数图象经过点时，符合题意，将代入，得； 当时，如图，符合题意： 故； 故答案为：；． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握因式分解法． （1）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法求解，即可解题； （2）先将方程整理为一般式，再利用因式分解法求解，即可解题． 【小问1详解】 解： 则或， 解得； 【小问2详解】 解： 则或， 解得； 18. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 二次函数的图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，二次函数与不等式的关系等知识点． （1）先配方成顶点式，即可写出顶点坐标； （2）根据列表、描点、连线的步骤即可作图； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴顶点为； 【小问2详解】 解：列表为， 0 1 2 3 4 3 0 0 3 【小问3详解】 解：由（2）函数图象可得，当时，的取值范围是． 19. 已知某品牌显示器的寿命大约为． （1）这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？ （2）如果平均每天工作，那么这种显示器大约可使用多长时间？ 【答案】（1）；（2）天 【解析】 【分析】（1）根据日工作时间乘以天数＝总寿命列式即可； （2）将t＝10代入求得的函数解析式即可求得使用时间； 【详解】解：（1）∵dt＝，d＝ ； （2）当t＝10时，＝， ∴这种显示器大约可使用天． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，能根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，平分，． （1）求直径的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等角对等边，扇形面积公式． （1）由是直径得，结合平分得，由圆周角定理得，判定为等腰直角三角形，用长求； （2）连接，可知，根据圆周角定理求出，根据扇形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 21. 如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的图象解不等式； （1）由点，利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，再利用反比例函数的表达式可求出点B的坐标，然后利用待定系数法可求出一次函数的表达式，即可求解； （2）表示的是：一次函数的图象位于反比例函数的上方根据图象，即可求解； 掌握解法，能根据图象解不等式是解题关键． 【小问1详解】 解：把点代入反比例函数得： ， 解得， 反比例函数的解析式为； 将点代入得： ， ∴， 将，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得： 当或时，， 故所求的x的取值范围为或． 22. 如图，为的直径，与相切于点，且交直线于点． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：∵与相切于点， ∴，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得到，则，结合题意得到，，由等边对等角得到，等量代换即可求解； （2）运用勾股定理得到，如图所示，过点作于点，由圆内接四边形得到，证明，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 如图所示，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵点在圆上， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握圆与三角形，四边形的综合知识是关键． 23. 某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）每天销售该文具袋所得利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ （3）如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价应定为40元或60元 （3）当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、一元二次方程的应用，解题的关键是正确求解函数解析式． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据利润（销售单价成本）销售量建立一元二次方程求解即可； （3）根据利润（销售单价成本）销售量建立二次函数，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 由图象代入点，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得， ∴销售单价应定为40元或60元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得， 设利润为，则， 配方得，， ∵， ∴当时，随着的增大而增大，而， ∴当时，取得最大值，为， ∴当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）抛物线的对称轴为________；（用含的式子表示） （2）若，当直线与抛物线其中一个交点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的上方，当线段的长度为6时，求的值； （3）抛物线交轴于点，交直线于点，记抛物线在、之间的部分为图象（包含、两点），若对于图象上任意一点，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）直接根据的对称轴为直线求解，即可解题； （2）根据题意推出过点，进而求出的值，得到抛物线解析式，再分别表示出，结合“点在点的上方，且线段的长度为6，”建立方程求解，即可解题； （3）根据题意分别表示出、的坐标，再结合条件“对于图象上任意一点，，”分析讨论的取值范围，即可解题． 【小问1详解】 解：根据解析式可知抛物线的对称轴为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：时，直线与抛物线其中一个交点的横坐标为1， 过点， ， 解得（不合题意，舍去）或， ， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ， 点在点的上方，且线段的长度为6， ， 解得或； 【小问3详解】 解：由（1）知，抛物线的对称轴为； 当时，， 的坐标为， 抛物线交直线于点， ， 对于图象上任意一点，， 对于， 当时，在时，取最大，且满足； 当时，在时，取最大，有，解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当时，在时，取最大，且满足； 综上所述，的取值范围为或． 25. 已知菱形，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． （1）如图1，当点在菱形的对角线上时，若，则________，四边形的面积为________； （2）当点在菱形的外部时， ①依题意画出图形，并求的度数； ②过点作的垂线，交直线于点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）①，； ②(Ⅰ)当点在菱形的外部，如图4所示时，，理由如下： ，又由①知， ， 在上取点，使， 则为等边三角形， ， ， 即， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 即； (Ⅱ)当点在菱形的外部，如图5所示时，，理由如下： 由①知， ， 在上取点，使， 与(Ⅰ)同理可证为等边三角形，且， 从而可证， ， 故， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）先根据菱形和旋转的性质求出相关角度，进而得到的度数，再通过菱形的性质求出四边形的面积； （2）①分两种情况，根据等腰三角形的性质求出的度数；②分两种情况，通过构造等边三角形和全等三角形来找出线段之间的数量关系． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点旋转，得到线段， ， ， ∵四边形是菱形， ， 平分， ， ， 同理可得， ， 如图1，连接交于点， ∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴四边形的面积． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：①依题意画出图形，如图2，3， ∵将线段绕点旋转，得到线段， ，，， 如图2所示， ，， ， 如图3所示， ，， ②略 【点睛】本题主要考查菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转以及三角形面积的计算，解题的关键在于正确画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中考试试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 反比例函数的图象一定经过点（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，⊙的半径为13，弦的长度是24，，垂足为，则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 4. 已知反比例函数的图象的两支分别在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥底面半径为1m，母线长为2m，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，分别与相切于A，B两点，，则∠C的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点（－3，y1）、（－1，y2）、（，y3）都在函数y＝－x2－4x＋5的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A. y1＝y2＞y3 B. y3＝y2＞y1 C. y2＞y1＞y3 D. y3＞y1＞y2 8. 如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 9. 如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的半径为1，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为________． 12. 将抛物线向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_________． 13. 如图，为的直径，内接于．若，则______． 14. 如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 15. 飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行________才能停下来． 16. 在平面直角坐标系中，已知点和点，点在反比例函数的图象上． （1）若点在图象的下方，_____________（填写“”，“”或“”）； （2）若点也在图象上，且图象上点之间的部分与线段能够围成一个封闭区域，（不包括边界）中没有横纵坐标都是整数的点，则的取值范围是_______________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围． 19. 已知某品牌显示器的寿命大约为． （1）这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的函数关系？ （2）如果平均每天工作，那么这种显示器大约可使用多长时间？ 20. 如图，四边形内接于，为的直径，平分，． （1）求直径的长； （2）求图中阴影部分的面积． 21. 如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 22. 如图，为的直径，与相切于点，且交直线于点． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 23. 某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）每天销售该文具袋所得利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ （3）如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？ 24. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）抛物线的对称轴为________；（用含的式子表示） （2）若，当直线与抛物线其中一个交点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的上方，当线段的长度为6时，求的值； （3）抛物线交轴于点，交直线于点，记抛物线在、之间的部分为图象（包含、两点），若对于图象上任意一点，，求的取值范围． 25. 已知菱形，，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． （1）如图1，当点在菱形的对角线上时，若，则________，四边形的面积为________； （2）当点在菱形的外部时， ①依题意画出图形，并求的度数； ②过点作的垂线，交直线于点，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $