专题03 平面向量数量积十种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题03 平面向量的概念十种常考题型 题型一：平面向量数量积的定义及辨析 题型二：平面几何图形中的向量的数量积的计算 题型三：垂直关系的向量运用 题型四：利用数量积求向量模长及其应用 题型五：利用数量积求向量的夹角及其应用 题型六：利用数量积求投影向量及其应用 题型七：利用向量数量积判断平面图形形状 题型八：平面向量数量积的最值与范围 题型九：平面向量数量积的综合 题型十：平面向量数量积与其他章节的融合 题型一：平面向量数量积的定义及辨析 1．已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义求解即可 【解析】根据题意，. 故选：C 2.对于任意向量，下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的数量积及向量加法法则，逐项分析判断即得. 【解析】，当且仅当共线时取等号，A错误； 由向量加法的三角形法则知，，当且仅当同向或至少一个为零向量时取等号，B错误； 是与共线的向量，是与共线的向量，因此与不一定相等，C错误； ，因此，D正确. 故选：D. 3.（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A. B. 若且，则 C. D. 【答案】ACD 【分析】由平面向量数量积的结合律可判断A；由平面向量垂直的条件、数量积的交换律可判断B；由三角形的两边之差小于第三遍可判断C；由平面向量的运算法则将式子展开即可判断D. 【解析】对于选项A，由平面向量数量积的结合律，可知A正确； 对于选项B，由，得，又，所以或，故选项B错误； 对于选项C，因为不共线， 所以组成三角形的三边，所以，故选项C正确， 对于选项D，，故选项D正确. 故选：ACD. 4.（多选）下列说法正确的是（ ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 【答案】AD 【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项. 【解析】，， 可得，故选项A正确； 由可得， 又，可得或， 故选项B错误； , 所以不一定成立， 故选项C错误； 由向量数量积运算的分配律可知选项D正确； 故选：AD. 5.（多选）设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．与垂直 D． 【答案】ABD 【分析】A：根据不共线进行分析；B：根据数量积的计算公式进行分析；C：根据数量积的运算进行分析；D：结合向量的三角不等式进行分析. 【解析】选项A：因为是三个非零的平面向量，且相互不共线， 所以不会同时与垂直，所以与不会同时为， 所以，故A错误； 选项B：，由于， 所以，故B错误； 选项C：因为， 所以与垂直，故C正确； 选项D：因为是非零向量，且不共线，所以设， 从而，在中，两边之差小于第三边，所以，故D错误； 故选：ABD. 6.设向量，的夹角为，，，则（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【解析】. 故选：D. 7.已知向量垂直，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题设可得，再根据平面向量数量积的运算律求解即可. 【解析】由题意，，，， 则. 故答案为：. 8.已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为___________ 【答案】 【分析】利用向量数量积定义及运算律运算即可. 【解析】， ∵，∴，即， ∴，∴， ∴ 故答案为：. 题型二：平面几何图形中的向量的数量积的计算 9．如图，在边长为2的菱形中，，，则 【答案】 【分析】选取，为基底，根据向量的加法减法运算，利用数量积公式计算即可. 【解析】设，，且，， 因为，可得， 所以. 故答案为： 10.已知是边长为2的等边三角形，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】D 【分析】由等边三角形的性质，可得向量的模长以及夹角，根据数量积的定义式，可得答案. 【解析】依题意可知和的夹角为， 所以. 故选：D. 11.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算将化为、、表示，再根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【解析】依题意得，，，， 所以， ， 所以 ． 故选：B． 12.在中，，则___________ 【答案】9 【分析】由得出点是的三等分点，再用分别表示出，即可计算出． 【解析】因为，所以点是的三等分点， 所以，则， 又， 所以， 故答案为：9． 13.在边长为的等边三角形中，，则 . 【答案】 【分析】先将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律计算. 【解析】已知，因此， 又因为在三角形中，，所以： ， 等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为， 则， ， 所以， 因此，. 故答案为：. 14.已知在中，M是BC中点，，，则___________- 【答案】6 【分析】利用平面向量的基本定理和线性运算，以及平面向量的数量积运算求解即可. 【解析】因为M是BC中点，所以，， 则， 则 因为，， 则，解得， 则，即 故答案为：6 题型三：垂直关系的向量运用 15．已知向量，满足，，，，则实数（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，再由得到，将，，代入计算即可求出. 【解析】因为，，， 所以. 因为，所以， 所以. 故选：A. 16.设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义推出，利用向量垂直的充要条件列式并化简，整理成关于的方程，求解即得. 【解析】因向量在向量上的投影向量为， 可得，即①， 由可得， 又，故可得：， 因是非零向量，故，解得. 故选：A. 17.已知非零向量满足，.若，则实数t的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由可得，即得，即可解出. 【解析】由，得， ，， ，解得. 故选：C. 18.已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为__________ 【答案】 【分析】求得，根据可得，展开化简，可得答案. 【解析】由题意可得， 由 ，可得， 即， 即，即， 故答案为： 19.已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； （2）根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解. 【解析】（1）因为，，，则， 又因为，所以． （2）因为，则， 可得， 即，解得. 题型四：利用数量积求向量模长及其应用 20．已知向量满足，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用平方的方法求得，进而求得. 【解析】由两边平方得， 化简得， 所以. 故选：D 21.已知平面向量，满足，，则（ ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简，代入即可求解. 【解析】由题意，向量，满足，， 可得， 可得，即． 故选：B 22.如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果. 【解析】由题意得，，， ∵若是边的中点，是边的中点， ∴， ∴①＋②得，， ∴ ， ∴，故. 故选：D. 23.已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可. 【解析】因为是单位向量，且的夹角为， 所以， 又， 所以， 又，所以，所以. 故选：C. 24.（多选）下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. 已知非零向量、和实数k，则“”是“”的必要而不充分条件 C. 若且，则三角形为等腰直角三角形 D. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则 【答案】BC 【分析】由共线向量概念可判断A，取，可判断B，由，可得的平分线垂直于BC，由，平方可得，即可判断C，由夹角可能为或，即可判断D. 【解析】对于A、若，时，不存在实数使得，所以选项A错误； 对于B、因为非零向量、，若，则与方向相反，则， 若，取，则，而， 故“”是“”的必要而不充分条件，故B正确； 对于C、因为，对等式两边同时平方可得， 化简整理可得，所以，即 又因为，和分别是和方向上的单位向量， 设，， 则以，为邻边的平行四边形是菱形，是菱形的对角线， ，说明的平分线垂直于BC，所以， 综上，三角形为等腰直角三角形，选项 C正确； 对于D、平面向量，，两两夹角相等，则夹角可能为或， 当夹角为时，， 选项D错误. 故选：BC 25.已知向量的夹角为，若，则 . 【答案】4 【分析】对化简结合已知条件可得答案. 【解析】因为向量的夹角为，， 所以 所以由，得 得，或（舍去）， 故答案为：4 26.已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两向量与的夹角为可画出图示表示其位置关系，再根据的取值范围即可求得实数t的取值范围是. 【解析】根据题意可知，利用平面向量的三角形法则画出其几何关系，如下图所示：    记，则； 由平面向量的三角形法则可知，点可以在射线（除点外）上移动， 易知当，即时，取最小值， 此时，即； 若恒成立时，即即可， 由可得，，即; 所以，实数t的取值范围为. 故选：A 27.，则的最大值是_________ 【答案】 【分析】设，先求，再利用向量的模长公式可得即可求解. 【解析】设，则， ， 当时取等，所以的最大值是. 故答案为： 题型五：利用数量积求向量的夹角及其应用 28．已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义式和运算律化简已知式，结合向量夹角的范围即可. 【解析】已知，，设与的夹角为， 由， 解得，则与的夹角． 故选：C. 29.已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据已知条件求出，再利用向量的夹角公式求出与的夹角. 【解析】已知，则 因为，所以，，，则可得： ， 又因为，所以，即.  ，将代入上式可得：   设与的夹角为，，根据向量的夹角公式. 因为，，所以.  因为，且，所以.  与的夹角为. 故选：D. 30.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件转化为，且两向量不平行，即可求得实数的取值范围. 【解析】与的夹角为锐角，且， 解得：且. 故选：D 31.（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则与的夹角为钝角 D. 【答案】AD 【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可. 【解析】 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × 表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等 C × 当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角 D √ 若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得． 又，所以或，即与共线，反之也成立． 综上， 故选：AD 32.已知向量满足，且，则与的夹角为__________ 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角. 【解析】由，可得， 又， 所以解得：， 所以， 又所以， 所以与的夹角为． 故答案为： 33.已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值__________ 【答案】 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得、、，再应用向量夹角公式求余弦值. 【解析】因为，两边平方得， 所以，则， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 故答案为：. 题型六：利用数量积求投影向量及其应用 34．已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（ ） A．60° B．120° C．135° D．150° 【答案】B 【分析】根据向量在向量上投影向量的定义计算即可得解. 【解析】因为在上的投影向量为， 所以，即，解得， 由知，. 故选：B 35.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可. 【解析】因为，所以， 又，，所以，得到， 所以， 设与的夹角为，则， 所以在上的投影向量为：， 故选：D. 36.已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由投影向量计算公式可得答案. 【解析】在向量上的投影向量为. . 故选：A 37.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值. 【解析】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形. 根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故答案为：. 38.设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则_____________ 【答案】 【分析】根据投影向量的定义结合已知求得，再由与垂直，得，结合数量积得运算律即可得解. 【解析】因为在方向上的投影向量为， 所以， 所以， 因为与垂直， 所以， 即，解得. 故答案为： 题型七：利用向量数量积判断平面图形形状 39．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（  ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断； 【解析】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形， 又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形； 故选：C 40.在中，，，则的形状为（  ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 【答案】A 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【解析】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 41.已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【解析】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 42.（多选）下列命题正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 已知向量满足条件，则等边三角形 C. 在中，若，则为直角三角形 D. 在中，若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【分析】由向量数量积的定义即可判断A；设，由及向量数量积的运算律得出，，，即可判断B；由向量数量积的定义及运算律即可判断C；由平面向量的线性运算及数量积的几何含义即可判断D． 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，设 由得，， 所以，即， 所以， 又，所以， 同理可得，， 所以为等边三角形，故B正确； 对于C，由，得， 展开整理得，即，故C正确； 对于D，设，则射线是的平分线， 又，所以， 所以为等腰三角形，故D正确； 故选：BCD． 题型八：平面向量数量积的最值与范围 43．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】B 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【解析】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B. 44.在中，，是上一动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设，将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律求出关于的表达式，最后根据二次函数的性质求出最小值. 【解析】设，因为，所以. 因为，所以. 则， 因为， . 所以. 令， 这是一个二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为. 因为，所以当时，取得最小值， . 即的最小值为. 故选：D. 45.已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式得到，再利用投影的定义，结合数量积的运算法则得到夹角的余弦值关于的表达式，从而得解. 【解析】因为，所以， 当且仅当时，取等号， 设的夹角为，由题意得， 因为向量非零且不垂直，所以且， 所以， 所以夹角的余弦值的最小值为. 故选：A. 46.如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【解析】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D 47.正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，是这6个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则的最大值为（ ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【解析】 过C作交延长线于E点，则， 因为6个正六边形边长均为2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 48.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为____________ 【答案】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【解析】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 49.如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 【答案】 ①. 4 ②. 【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积的定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果. 【解析】因为，，所以为正三角形，所以，， 因为，所以， 因为，所以，所以. 因为是线段上的一个动点，所以可设， 所以 ， 因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：4； 50.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解. 【解析】如图，为圆心，连接， 则, 因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值. 所以，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 51.已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为_________ 【答案】6 【分析】将中向量进行分解，即：， 由是的中点，可将上式进行化简整理为，所以只需求最大，即的长加圆的半径即可，然后代入即可求得的最大值. 【解析】因为弦所对的圆心角为，且圆的半径为2，所以， 取的中点，所以，，如图所示： 因为, 因为是的中点，所以， ， 所以若最大，所以只需最大， 所以， 所以. 故答案为：6 题型九：平面向量数量积的综合 52．（多选）已知向量满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 【答案】ABD 【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断C. 【解析】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，因为，故B正确； 对于C：在方向上的投影向量为，故C错误； 对于D：因为，所以， 因为，所以与的夹角为，故D正确. 故选：ABD. 53．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 在中，若，则点为边上的中点 C. 已知，均为非零向量，若，则 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 【答案】BCD 【分析】举反例可得A错误；由向量的加法和图形关系可得B正确；等式平方后得到，可得C正确；由单位向量，向量加法，投影向量的概念可得D正确. 【解析】A：设，则，且，但，故A错误； B： 因为，且， 所以， 所以，即点为边上中点；故B正确； C：因为， 所以， 所以，故C正确； D：因为分别表示与同方向的单位向量， 由向量加法可得是以为起点，对应线段为邻边菱形的对角线对应的向量，即，同时也在的平分线上， 由菱形的对角线互相垂直可得， 所以是在上的投影向量，故D正确； 故选：BCD 54.已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积公式，结合平面向量数量积的运算及基本不等式求解即可. 【解析】设， 则，， 由平面向量数量积的运算可得： ， ， 又， 所以，即， 即，当且仅当时取等， 又，即，即， 则 . 故选：D.    55.如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 【答案】(1)等边三角形；(2)；(3)最小值， 【分析】（1）根据数量积求出后可判断三角形形状； （2）结合向量的线性运算可得，故可求向量和的模； （3）设，利用向量的线性运算结合二次函数的性质可求的最小值. 【解析】（1），， 则，即， 故为等边三角形. （2）当时，、为边的三等分点， 设为中点，且， 所以， 故. （3）设， 当时，、、为边的四等分点， ， 设，其中，则， ， 所以 ， 当且仅当即时，取最小值. 56.已知为所在平面内一点，满足，且的面积为． （1）求的值; （2）求的值; （3）若点是线段上一点，过点分别向作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）利用平面向量数量积公式及运算律计算夹角即可； （2）根据同角三角函数的平方关系结合（1）的结论、三角形面积公式得，由平面向量数量积得，再在等式两边同乘以计算即可； （3）利用（1）（2）的结论及数量积运算律可得，由条件可判定O为的重心，根据面积关系得，利用投影的意义及基本不等式计算最值即可. 【解析】（1）由得， 两边平方可得:， 又，所以， 即，即， 所以； （2）因为，所以， 又， 所以， 则， 在等式两边同乘以， 有， 所以； （3）因为， 同理得，即有， 由得点是的重心， 所以， 又， 即有， 所以， (当且仅当时取等号)， 所以的最小值为. 题型十：平面向量数量积与其他章节的融合 57.已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有，则：①若，则 ；②若，的夹角为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】①由题设得对恒成立，利用即可求. ②由题设有，则在恒成立，利用可得，进而应用向量数量积的运算律可得，即可求最小值. 【解析】由题意，，则恒成立， ①时，对恒成立， ∴，可得. ②由，的夹角为，则， 又在恒成立， ∴， ∴，则， 当时，的最小值为. 故答案为：， 58.在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC= （1）试用，表示； （2）若，求∠ARB的余弦值 （3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案. 【解析】（1）因P,R,C共线，则存在使， 则，整理得. 由共线，则存在使， 则，整理得. 根据平面向量基本定理，有， 则. （2）由（1），，， 则，，. 则； （3）由（1）知，则. 由共线，设. 又. 则 . 因，则，则. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量的概念十种常考题型 题型一：平面向量数量积的定义及辨析 题型二：平面几何图形中的向量的数量积的计算 题型三：垂直关系的向量运用 题型四：利用数量积求向量模长及其应用 题型五：利用数量积求向量的夹角及其应用 题型六：利用数量积求投影向量及其应用 题型七：利用向量数量积判断平面图形形状 题型八：平面向量数量积的最值与范围 题型九：平面向量数量积的综合 题型十：平面向量数量积与其他章节的融合 题型一：平面向量数量积的定义及辨析 1．已知向量满足，且与的夹角为，则（ ） A．6 B． C． D．12 2.对于任意向量，下列命题中正确的是（ ） A． B． C． D． 3.（多选）设是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ） A. B. 若且，则 C. D. 4.（多选）下列说法正确的是（ ） A．对任意向量，都有 B．若且，则 C．对任意向量，都有 D．对任意向量，都有 5.（多选）设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．与垂直 D． 6.设向量，的夹角为，，，则（ ） A． B．1 C． D．2 7.已知向量垂直，且，，则 ． 8.已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为___________ 题型二：平面几何图形中的向量的数量积的计算 9．如图，在边长为2的菱形中，，，则 10.已知是边长为2的等边三角形，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 11.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 12.在中，，则___________ 13.在边长为的等边三角形中，，则 . 14.已知在中，M是BC中点，，，则___________- 题型三：垂直关系的向量运用 15．已知向量，满足，，，，则实数（ ） A． B．1 C． D． 16.设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D．2 17.已知非零向量满足，.若，则实数t的值为（ ） A． B． C． D．3 18.已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为__________ 19.已知平面向量，满足：，，． (1)求； (2)当时，求实数k的值． 题型四：利用数量积求向量模长及其应用 20．已知向量满足，则（ ） A． B． C．2 D． 21.已知平面向量，满足，，则（ ） A．5 B． C．3 D． 22.如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（ ） A． B． C． D． 23.已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 24.（多选）下列命题正确的是（ ） A. 若，则存在唯一实数使得 B. 已知非零向量、和实数k，则“”是“”的必要而不充分条件 C. 若且，则三角形为等腰直角三角形 D. 若平面向量，，两两夹角相等，且，，，则 25.已知向量的夹角为，若，则 . 26.已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数t的取值范围为（ ） A． B． C． D． 27.，则的最大值是_________ 题型五：利用数量积求向量的夹角及其应用 28．已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 29.已知非零向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 30.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 31.（多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则与的夹角为钝角 D. 32.已知向量满足，且，则与的夹角为__________ 33.已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值__________ 题型六：利用数量积求投影向量及其应用 34．已知，，与同向的单位向量为，若在上的投影向量为，则与的夹角（ ） A．60° B．120° C．135° D．150° 35.已知向量和满足，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 36.已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A． B．2 C． D． 37.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为_____________ 38.设向量与满足，在方向上的投影向量为，若存在实数，使得与垂直，则___ 题型七：利用向量数量积判断平面图形形状 39．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（  ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 40.在中，，，则的形状为（  ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 41.已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 42.（多选）下列命题正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 已知向量满足条件，则等边三角形 C. 在中，若，则为直角三角形 D. 在中，若，则为等腰三角形 题型八：平面向量数量积的最值与范围 43．是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 44.在中，，是上一动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 45.已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ） A． B． C． D． 46.如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 47.正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，是这6个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则的最大值为（ ） A．12 B．16 C．18 D．20 48.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为____________ 49.如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 50.圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是______． 51.已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为_________ 题型九：平面向量数量积的综合 52．（多选）已知向量满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则与的夹角为 53．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若且，则 B. 在中，若，则点为边上的中点 C. 已知，均为非零向量，若，则 D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量 54.已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合)，记 的面积分别为 . 若 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 55.如图，已知满足，，、、是线段上的分点，且满足. (1)判断的形状； (2)当时，求的值； (3)当时，若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置. 56.已知为所在平面内一点，满足，且的面积为． （1）求的值; （2）求的值; （3）若点是线段上一点，过点分别向作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值． 题型十：平面向量数量积与其他章节的融合 57.已知两个非零平面向量，满足：对任意恒有，则：①若，则 ；②若，的夹角为，则的最小值为 ． 58.在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC= （1）试用，表示； （2）若，求∠ARB的余弦值 （3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $