精品解析：宁夏育才中学2025-2026学年高三上学期第四次月考（期末）数学试卷

宁夏育才中学2026届高三年级第四次月考 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、单项选择题（每小题5分，共计40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集运算即可. 【详解】由，，则. 故选：B. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算和复数的模的公式可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 故选：C 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）． A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】，所以， 又，，所以． 故选：B. 4. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合充分条件必要条件的判定即可判断. 【详解】，所以充分性成立， 反过来，，满足，但，故必要性不成立． 故选：A. 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行，面面平行和面面垂直的判定定理，判断选项的正误. 【详解】若，则或，故A不正确； 若，则或与相交，故B不正确； 若，则或与相交，故C不正确； 若，则由面面垂直的判定定理可知，故D正确. 故选：D. 6. 若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用百分位数的概念计算，再利用二项式展开式通项公式求常数项即可. 【详解】因为， 所以的第上四分位数是，即， 则， 由解得， 所以常数项为， 故选：D. 7. 已知角α终边经过点(-4,-3)，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角α的终边经过点(-4,-3)，利用三角函数的定义得到，再利用诱导公式及二倍角公式，商数关系，转化为求解. 【详解】因为角α的终边经过点(-4,-3)， 所以 所以， ， 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，同角三角函数基本关系式以及诱导公式，二倍角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8. 曲线与交点个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作出曲线与图象，结合图象即可得出答案. 【详解】作出曲线与大致图象，可知，而， 由曲线与图象知，曲线与有个交点. 故选：A. 二、多项选择题（每小题6分，共计18分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最小值 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用图像过点，求得函数解析式为，利用正弦型函数的周期判断A；利用可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D. 【详解】函数的图像过点，可得， 即，则，即， 所以函数解析式为 对于A，函数周期，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，利用正弦函数的性质知，可得，故C错误； 对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故D正确； 故选：ABD 10. 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD；根据导数的几何意义求解判断C. 【详解】由，则， 当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误， 当时，令，得， 不妨设，则，故B正确， 当时，，当时，， 所以在和上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 而，则， 所以 为定值，故D正确； 对于C，由，则，而， 则曲线在点处的切线方程为，故C正确. 故选：BCD 11. 已知椭圆的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，点关于原点对称的点为，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 点的纵坐标满足 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，利用余弦定理，三角形面积公式等逐一计算即可判断. 【详解】对于A，由题意知，，，则，，故，故A正确； 对于B，在中，由椭圆的定义，， 由余弦定理， ， 即，解得，故B错误； 对于C，由的面积， 可得，故C正确； 对于D，由C选项知，点的横坐标满足， 所以，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知向量，，，若与共线，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： 13. 若是函数的两个零点，则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 ① 2 ②. 【解析】 【分析】利用降幂公式与辅助角公式进行化简，然后找到最大值与周期进行求解. 【详解】因为， 所以的最大值为2， ，相邻两零点间距离为，即的最小值为 故答案为：2； 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先用奇偶性定义证明为奇函数，然后利用奇偶性与单调性定义解不等式即可. 【详解】， 因为式子对任意都有意义， 所以函数的定义域为， 又， 所以函数为上奇函数， 所以， 所以不等式可化为， 又，，都在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以，可得， 故不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题（一共5个题，共计77分） 15. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【小问1详解】 设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； 【小问2详解】 易知可能取值，则， ，， 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据和的关系结合题设可得，，，进而得到是首项为3，公差为3的等差数列，进而求解即可； （2）结合（1）及题设可得，进而根据错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，所以， 则，即， 因为为正项数列，则，即， 所以是首项为3，公差为3的等差数列， 则. 【小问2详解】 因为， 所以，则，即， 所以，① 所以，② 由①②得， ， 所以. 17. 已知椭圆的上焦点为，焦距为2，椭圆的上顶点到的距离与它到直线的距离之比为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点，求的值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）由题意建立等式求得，代入即可求解； （2）设出直线的方程，直线与椭圆联立方程，根据韦达定理及斜率公式建立等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为焦距为2，所以，即， 又椭圆上顶点到点的距离与到直线的距离之比为， 上顶点，焦点，则， 解得，即， 所以椭圆标准方程为； 【小问2详解】 设直线， 联立，得， 则，解得或， 由韦达定理可得， 所以 所以为定值0． 18. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范围为 【解析】 【详解】试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解． 试题解析：（1）因为， 所以，因此 （2）由（1）知， ， ． 当时，， 当时，， 所以单调增区间是， 的单调减区间是 （3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， 所以的极大值为，极小值为， 当时， 所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当， 因此，的取值范围为 考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性. 19. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为O. （1）求证：平面BCD； （2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）点位于线段靠近的三等分点处. 【解析】 【分析】（1）由，的中点为，推导出，再利用面面垂直性质定理即可证明. （2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可. 【小问1详解】 因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面. 【小问2详解】 取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，， 又，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直， 分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 因为是中点，由中点公式可得， ，设，∴， ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 化简得，解得或（舍）， 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 点位于线段靠近的三等分点处. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2026届高三年级第四次月考 数 学 试 卷 (试卷满分 150分，考试时间 120 分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草搞纸上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留. 一、单项选择题（每小题5分，共计40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中虚数单位），则（ ） A B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）． A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 4. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知角α的终边经过点(-4,-3)，则（ ） A. B. C. D. 8. 曲线与交点个数是（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题（每小题6分，共计18分） 9. 函数部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最小值 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 10. 已知，函数有两个极值点，，则（ ） A. 可能是负数 B. C. 曲线在点处的切线方程为 D. 为定值 11. 已知椭圆的左、右焦点为，，为椭圆上一点，且，点关于原点对称的点为，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. C. 点的纵坐标满足 D. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知向量，，，若与共线，则实数值为______． 13. 若是函数的两个零点，则的最大值为______，的最小值为______． 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 四、解答题（一共5个题，共计77分） 15. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 已知椭圆的上焦点为，焦距为2，椭圆的上顶点到的距离与它到直线的距离之比为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点且斜率存在的直线与椭圆交于两点，求的值． 18. 已知是函数的一个极值点. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围. 19. 如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为O. （1）求证：平面BCD； （2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $