6.2.4 向量的数量积 第2课时 （教学课件）数学人教A版必修第二册

第6章 平面向量及其应用 6.2.4 向量的 数量积 第2课时 人教A版·必修第二册· 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律（交换律、数乘结合律、分配律），理解运算律的推导过程。 2.能熟练运用数量积运算律进行向量的化简、求值、求模及夹角计算。 3.会利用数量积运算律解决向量垂直的判定与应用问题，体会向量运算的工具性。 4.经历类比猜想、推理论证、应用拓展的过程，提升类比推理和逻辑思维能力，感受数形结合的数学思想。 目录 CATALOG 01.向量数量积的运算律 03.题型强化训练 02.利用数量积求向量的模和夹角 04.小结及随堂练习 6.2.4 向量的数量积 第2课时 01 向量数量积的运算律 导入新知1：校园定向越野中的“能量消耗”问题 同学们，校园定向越野活动中，假设你需要完成两个任务：①从起点A出发，沿着向量a的方向（正东方向，长度80米）跑到打卡点B；②从B点再沿着向量b的方向（北偏东30°，长度60米）跑到终点C。在跑步过程中，“能量消耗”不仅和路线长度有关，还和路线与“主力发力方向”（比如身体前进的默认方向，设为向量c，正东方向）的夹角有关——夹角越小，发力越高效，相同长度下消耗的能量越少。 从A到B再到C的总能量消耗，和直接从A到C（向量a+b）的能量消耗是否相等？ 如果先跑2倍长度的向量a（160米正东），再跑向量b，总消耗和先算“2倍向量a与c的特殊运算”，再加“b与c的特殊运算”是否一致？ 导入新知2：购物推车的“推力做功”问题 周末和家长逛超市时，推购物车的过程藏着有趣的数学知识！假设购物车在水平地面上运动，我们来分析两种常见情况：情况1：你先用水平推力F1（向量F1，长度15N，方向水平向前）推了5米（向量s1，长度5m，水平向前），再用斜向上的推力F2（向量F2，长度20N，与水平方向夹角30°）推了4米（向量s2，长度4m，水平向前）。 情况2：你直接用一个“等效推力”（向量F1+F2）推了“总路程对应的向量”（s1+s2）。 物理中“推力做功”的计算公式是W=Fscosθ（θ为推力与位移的夹角），这正是我们上节课学的向量数量积！ 学习新知 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作　　　　　　　　　　　　 则∠AOB=θ (0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 0≤θ≤π 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ 2.平面向量数量积的定义 学习新知 3.投影向量 4.数量积的性质 我们可以在平面内任取一点O，作 .过点M 作直线 ON 的垂线，垂足为 ，则 就是向量 在向量 上的投影向量. 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 学习新知 与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律. 探究 类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算律，你能得到数量积的哪些运算律？ 对向量a，b，c 和实数λ，有： 学习新知 平面向量的数量积 证明向量的分配律： 【证明】如图，任取一点O，作 ， ， ， .设 与 的夹角分别 为1,2,,它们在 上的投影分别为 , , 与 方向相同的单位向量为 ,则: 因为 ，所以 ， 则 ，即: 学习新知 思考： 设 是向量， 一定成立吗？为什么？ 对于实数a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)； 但对于向量 ， 不一定成立． 这是因为 是一个数量，所以 表示一个与 共线的向量， 同理 表示一个与 共线的向量， 而 与 不一定共线，所以 不一定成立． 即使 与 共线，受 ， 以及 ， 模长等影响， 也不一定成立 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量夹角的计算、平面向量数量积的定义及辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 垂直关系的向量表示、数量积的运算律、平行向量（共线向量） 学习新知 因此，上述结论是成立的． 例11： 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 02 利用数量积求向量的模和夹角 6.2.4 向量的数量积 第2课时 学习新知 例12： 学习新知 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知数量积求模、向量夹角的计算、已知模求数量积 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知数量积求模、向量夹角的计算、已知模求数量积 学习新知 例13： 学习新知 学习新知 学习新知 补充练习1： 学习新知 补充练习2：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。 A B C O 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量夹角的计算、已知数量积求模、数量积的运算律 03 题型强化训练 6.2.4 向量的数量积 第2课时 能力提升 题型一：向量数量积的运算律 能力提升 题型一：向量数量积的运算律 能力提升 题型二：用数量积求向量的模和向量的夹角 能力提升 题型二：用数量积求向量的模和向量的夹角 能力提升 题型三：与垂直有关的问题 04 小结及随堂练习 6.2.4 向量的数量积 第2课时 课堂总结1 课堂总结1 1.平面向量数量积的运算律 对向量a，b，c 和实数λ，有： 2.重要题型 这四个量，知三可求一 课堂总结2 作业 习题6.2 11(1)，18题 6.2.4 向量的数量积 第2课时 向量的向量积 复习参考题5（第253页） 练习（第22页） 练习（第22页） 练习（第22页） 习题6.2（第22页） O A B C D (1)向东走20 km (2)向东走5 km 习题6.2（第22页） 2．一架飞机向北飞行300 km，然后改变方向向西飞行400 km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成． 习题6.2（第22页） 3．一艘船垂直于对岸航行,航行速度的大小为16 km/h,同时河水流速的大小为4 km/h.求船实际航行的速度的大小与方向(精确到1°)． A B C D 习题6.2（第22页） 习题6.2（第22页） A B C D O 习题6.2（第22页） (2)不一定能构成三角形．结合向量加法的三角形法则知，当三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形．本题不一定能构成三角形． (1) 习题6.2（第22页） C A B D A B D C 习题6.2（第22页） A B D C 习题6.2（第22页） 习题6.2（第22页） A B C M N 第9题 习题6.2（第22页） 5 1 习题6.2（第22页） 习题6.2（第22页） 习题6.2（第22页） 综上所述，等式成立． 习题6.2（第22页） A B C D (1) A D B C (2) A B C D (3) 习题6.2（第22页） A B C D E N M 习题6.2（第22页） A B C D E F 习题6.2（第22页） A B C D E F G 习题6.2（第22页） 16．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400 km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400 km到达丙地．画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？ 甲 乙 丙 东 北 习题6.2（第22页） … A B C C B A D A1 A2 A3 A4 A5 An (1) (2) (3) 习题6.2（第22页） … A B C C B A D A1 A2 A3 A4 A5 An (1) (2) (3) 习题6.2（第22页） … A B C C B A D A1 A2 A3 A4 A5 An (1) (2) (3) 习题6.2（第22页） 习题6.2（第22页） O A C B 习题6.2（第22页） O A B C 习题6.2（第22页） O A B C A 习题6.2（第22页） O A B C D 习题6.2（第22页） O A B C D 习题6.2（第22页） A B C D 人教A版·选择性必修第二册· THANKS 感谢您的聆听 1.（多选题） 下列说法不正确的有（    ） A． 或 B． C．已知 ， 为非零向量，且 ，则 与 方向相同 D．若 ，则 与 的夹角是钝角 【详解】对A：由可得，故A错误； 对B：向量为矢量，故向量的数量积不满足结合律，故B错误； 对C：由，为非零向量，且，则与方向相同，故C正确； 对D：当、反向时，有，此时与的夹角不是钝角，故D错误. 故选：ABD. 2.（多选题） 已知非零向量 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．向量 与向量 垂直 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，因，则，故，故B正确； 对于C，若，则，则或，故C错误； 对于D，， 则，故D正确． 答案：ABD 3.（多选题） 下列命题中正确的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，且 ，则 D．若非零向量 ，满足 ，则 【详解】对于A，若，满足，，但与不一定平行，故A错误； 对于B，由向量相等的定义可知B正确； 对于C，若，即，但不一定成立，故C错误； 对于D，由，则，即， 整理得，又是非零向量，所以，故D正确. 故选：BD. 【详解】(1) ； (3) ， 所以， . 【变式】已知 ， 与 的夹角 求： (1) ； (2) 的值； (3) . 【点评】 (1)向量的数量积不满足消除律：若a,b,c均为非零向量，且a·c＝b·c， 但得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量， 所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线， 因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 4.（多选题） 若单位向量 满足 ，则以下结论正确的是（    ） A． EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 B． C． D． 【详解】由为单位向量，且，得， 即，所以，则，故D正确； 又，所以不成立，故C错误； 由，得， 又，所以即，故B正确， 因为零向量与任何向量共线可知：，故A正确.故选：ABD 5.（多选题） 下列说法正确的是（    ） A．对任意向量 ， ，都有 B．对任意非零向量 ， ，都有 C．若向量 ， 满足 ，则 D．若非零向量 ， 满足 ，则 【详解】设，因为，所以，A正确； 当向量，同向时，，B错误； 若，则，即，所以，C正确； 若非零向量，满足，则，所以， 又，所以，即，D错误. 故选：AC 6.（多选题） 已知 是两个互相垂直的单位向量， ，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 与 的夹角为 【详解】由题意可知，，且，则， ，，故，B正确； ，故A正确； 因，，若，则，使得，因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误；因， 则，因，则，故D正确. 故选：ABD 【详解】(1)因 ， , 由 可得， ，即 于是， ； 【变式】已知向量 ， 满足 ， ， ． (1)求 的值； (2)求向量 与 的夹角． 【详解】(2)设向量 与 的夹角为 ，则 ， 因 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 与 的夹角为 ． 【变式】已知向量 ， 满足 ， ， ． (1)求 的值； (2)求向量 与 的夹角． 【点评】向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos_θ． (2)a⊥b⇔a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ eq \r(a·a) .此外，由|cos θ|≤1还可以得到． (4)|a·b|≤|a||b|. 7.（多选题）已知 为非零向量，则（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 为锐角 D．若 ，则 【详解】对于A：由得 ，所以，故A错误； 对于B：由于为非零向量，由可知不等于1，故，所以，故B正确； 对于C：当时，，但不是锐角，故C错误； 对于D：因为，所以，所以或，所以，故D正确. 故选：BD. 8.（多选题） 已知平面向量 满足 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． 与 的夹角为 C． D． 的最大值为 【详解】选项A：由得，又，所以，所以A错误； 选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确； 选项C：，所以，所以C正确； 选项D：设，则， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确． 故选：BCD 【详解】解：(1)因为 EMBED Equation.DSMT4 与 的夹角为 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 所以 EMBED Equation.DSMT4 所以 【变式】已知平面向量 ，且 ， ，且 与 的夹角为 . (1)求 ； (2)若 与 垂直，求 的值. 【详解】解：(2)因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，即 ， 故 . 【变式】已知平面向量 ，且 ， ，且 与 的夹角为 . (1)求 ； (2)若 与 垂直，求 的值. 9.（多选题）已知向量 ，则（    ） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．命题“ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ”的否定是真命题 【详解】对于A，B：当时，，得， 则，又，故A错误，B正确； 对于C：当时，，故C正确； 对于D：假设，则有，则， 这显然不成立，所以假设不成立，所以命题“”是假命题， 从而命题“”的否定是真命题，故D正确. 故选：BCD 10.（多选题） 向量 ， 满足 ， ， ，下列说法正确的是（    ） A． B． 与 的夹角 为 C． 在 上的投影向量的模等于 D． 【详解】∵，，，∴，∴，故选项A错误； 设的夹角为，则，∴，∵，∴，故选项B正确； ∵在上的投影向量为，∴在上的投影向量的模等于，故选项C正确； ∵，∴，故选项D正确. 故选：BCD. 【练习1】已知 是互相垂直的两个单位向量, , ,则 A． B． C． D． 【详解】由题意知， ， ， ,故 , , 故 ,故ACD均错误，只有B正确. 故选:B 【反思感悟】 1.对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2.向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多 不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特别是向量 的数量积不满足结合律． 【练习2】若向量 ，且 ，求向量 与 的夹角． 【详解】对 两边平方，得到 ， 由 ，故 . 又 ，即 . 由夹角公式： . 又向量的夹角范围是 ，故向量 与 的夹角为 . 【反思感悟】 (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝eq \r(a2)，勿忘记 开方． (2)求向量的夹角，主要是利用公式cosθ＝eq \f(a·b,|a||b|)求出夹角的余弦值， 从而求得夹角． 可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解， 也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解． 【练习3】若 , 是夹角为 的两个单位向量, 与 垂直,则 ( ) A．0 B．2 C． D． 【详解】解： ， 是夹角为 的两个单位向量， 则 ， ， 因为 与 垂直， 则 ， 即 ，解得 . 故选：A. 【反思感悟】解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)． 1．知识清单： (1)向量数量积的运算律． (2)利用数量积求向量的模和夹角． (3)向量垂直的应用． 2．方法归纳：类比法． 3．常见误区：忽略向量数量积不满足结合律． $