山西大同市平城区大同市第六中学校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

大同六中集团校2025一2026学年第一学期期末质量监 九年级数学 命题人：李新宇 注意事项：1.本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟。 2.答案全部在答题卡完成，答在本试卷上无效。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾.下列姓氏图腾既是轴对称图形又是中心对称 图形的是 3花 曹 郭 A B D 嘉 2.一无二次方程x2+2x5=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 1名店 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 3.在我国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞” 一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是() 正面 A C D 4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=(x1)+1的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得新的抛物线的解析式为() A.y=(x-2)2-1 B.y=(x2）2+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 九年级数学第1页（共8页） 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3.AB=5将△ABC绕点B逆时 针旋转得到△A'BC',点C的对应点C落在AB边上，连接AA',则AA'的 长为() A.22 B.√10 C.3 D.4 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'BC是以原点O 为位似中心的位似图形，点A在线段OA上，OA'30A若点B的坐标 为(2,1)，则点B的坐标为() A.(4,2) B(6,3) C.(8,4) 周 7.每年的4月23日是世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的 重要场所之一。据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到 第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x,则可列方程为() A.600(1+2x)=2850 B.600(1+x)2=2850 C.600+600(1+x)+600(1+x)2=2850 D.2850(1-x)2-=600 8.已知点A(,W,B(,,C0,在反比例函数y=的图象上，若<<0<0则为 的大小关系是() A.yI<y2<y3 B.y2<y9<y1 C.y3<yi<y2 D.yi<ys<y2 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD LAB于点D.已知AC=√5，BC=2,那么tan∠ACD () 4v5 3 3 3 c25 5 10.如图，以AB为直径作半圆O,C是半圆上一点，以点A为圆心，AC 的长为半径画弧交直径AB于点D,若∠CAB=45°，AB=4,则图中阴影部分 的面积为() 第10题图 九年级数学第2页（共8页） A.π-2 B.2π-4 C.2 D.4-π 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.将一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为(x+a}=p的形式为▲ 12.如图，点A,D在⊙O上，BC是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点P,连接 AD,AC,BD,若∠D=25°，∠P的度数为▲ D 13.某司机驾车行驶在公路上，突然发现正前方有一障碍物，他迅速采取紧急刹车制动。已知 汽车刹车后行驶距离s(m)与行驶时间t(s)之间的函数关系式为s=-5t+20t,则这个障碍物至少在 ▲m以外，司机刹车后才不会撞到障碍物。 14.如图，在函数y=2(x>0)的图象上任取一点A,过点A作y轴的垂线交函数 y=上(x<0)的图象于点B,连接OA,OB,若△40B的面积为5，则的值为 B 0 第14题图 第15题图 15.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E为CD延长线上一点，连接BE交AC于点F,连接DF.若 DE-3,则DF的长为▲ 九年级数学第3页（共8页） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 16.(本题共2个小题，每小题5分，共10分) 1)计算：+ -2sin45°+（π-3.14）° (2)解方程：（x+42=2x+8 17.(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是 A(2,2),B(4,0),C(4,-4). (1)请在图中，画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB,C. (2)写出B,C的坐标 5432 4-3211 O12$ 23 18.（本题8分)已知点A(-4,2),B(n,-4)是一次函数y=+b和反比例函数y= ”图象的 两个交点 (1)求一次函数和反比例函数的解析式。 (2)求△AOB的面积. (3)观察图象，直接写出不等式kx+b-”>0的解集. 九年级数学第4页（共8页） 19.（本题8分)校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动.每轮均有四个完全 相同的盲盒，分别装着写有“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只 能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废. (1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是▲； A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 (2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰好 抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率.(“幻方”“数独”“华容道”“鲁班锁”分 别记为A、B、C、D) 20.(本题10分)如图(1)，某辆自行车放在水平的地面上，车把下方A处与坐垫下方B处在 平行于地面的水平线上，测得AB=54cm,AC,BC与AB的夹角分别为45°与60°，其示意图如图 (2).(结果保留一位小数.参考数据：V31.73) (1)求点C到AB的距离. (2)若点C到地面的距离CD为30cm,坐垫中轴E与点B的距离BE为4cm(E可沿轴线BC上下伸缩 调节)，根据茜茜的身高比例，调节E到地面的距离为70cm时，骑乘该自行车最舒适.茜茜坐上该 自行车，感觉不是很舒适，问：如果要达到最佳舒适高度，茜茜应该如何调节E的位置？ 图(1) 图 21.（本题10分)阅读与思考 请阅读下面的材料，并完成相应的任务 弦切角定理 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同 长也.”意思是，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下 的定义要早100年.与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一 与圆相切的直线，同圆内与圆相交的弦相交所形成的夹角叫做弦切角， 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对 的圆周角度数 九年级数学第5页（共8页） 下面是弦切角定理的部分证明过程： 已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点. 求证：弦切角∠BAC的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数. 证明：分三种情况， ①如图(1)，当圆心O在弦AC上时， .AB与⊙O相切于点A,.∠CAB=90° 在AC上任取一点E,连接AE,CE,则∠CEA=90(依据1)， ∴.∠CAB=∠CEA, ②如图(2)，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D,在AC上任取一点E, 连接EC,ED,EA,则∠CED=∠CAD(依据2) ,AD为⊙O的直径 ∴.∠DEA=90° ,AB与⊙O相切于点A,∴.∠DAB=90° ∴.∠CED+∠DEA=∠CAD+∠DAB,即∠CEA=∠CAB. ③如图(3)，当圆心O在∠BAC的外部时， 。。0 图(1) 图(2) 图(3) 任务： (1)填空：材料中的依据1是指 ,依据2是指▲ (2)请完成图(3)的剩余证明过程. (3)如图(4)，CE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，连接AE交⊙O于点D.若CE LAD,BC4,⊙O 的半径为5，则DE的长为▲ G 图(4) 九年级数学第6页（共8页） 22.(本题10分)综合与实践 如图①所示的雾炮车是一种应用于市容环境卫生作业的高科技空气净化设备，如图②是某数 学活动小组绘制的雾炮车的工作截面图（水雾上边沿近似看作抛物线），以雾炮车在路面上的正投 影所在直线（宽度忽略不计）为x轴，过雾炮车喷口A与x轴垂直的直线为y轴，0为坐标原点，建立 平面直角坐标系，已知喷口A距路面的高度为4n,水雾颗粒在距离OA水平距离28m处达到最大高 度18m, (1)求抛物线的函数解析式； (2出租车张师傅这天正好在该型雾炮车的后面行驶，两车之间的距离为米，若要保证水雾 颗粒不落在出租车上，求n的取值范围（结果保留根号）. 028m 图① 图② 23.(本题13分)综合与探究 问题背景： 在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知△ABC和△DEF均为等边三 角形，O是BC和DF的中点，将△DEF绕点O顺时针旋转. 猜想证明： (1)如图1，在△DEF旋转的过程中，当点E恰好在CB的延长线上时，AB交EF于点H,试判断 △BEH的形状，并说明理由. (2)如图2，在△DEF旋转的过程中，当点E恰好落在边AC上时，连接CF,试猜想线段AE与线 段CF的数量关系，并说明理由. 九年级数学第7页（共8页） 问题解决： (3)如图3，若DE-=2连接BF,设DE所在直线与BC交于点M,在△DEF旋转的过程中，当点B, F,E在同一直线上，且M恰好是OC的中点时，请直接写出此时BF的长. OM 图1 图2 图3 九年级数学第8页（共8页)大同六中2025一2026学年第一学期期末试题答案 九年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 题号 2 10 答案 D A 二、填空题（每是题3分，共15分） 11.x-3}=15 12.40° 13.20 14-8 15V⑦3 3 三、解答题： 16.(10分) 1.(1)原武=2-1+4-2x5+1…8分) 2 =√2+4-1 =4 。。。。。。(5分) (2)（x+4)-2(x+4)=0.。。。。(1分) (x+4x+4-2)=0 (x+4x+2)=0.。.。(3分) x+4=0或x+2=0 =-4,x2=-2.。。。。(⑤分) 17.(1)。。…(4分) (2)B(0,0)C(4,0)..(6分) N 5432 5-43211 3 18.(1)把A(-4,2)代入 y=m 得m=2×(-4)=-8, 所以反比例函数解析式为y=-8 (2分) 把B(,4代入y=-8得-4n=8,解得n=2. 把A(42)和B2,4代入k地，得古力虽解得货二-之 所以一次函数的解析式为y=-x-2.…(4分) (2)在y=-x-2中，令y=0,则x=-2,即直线y=-x-2与x轴交于点C(-2,0), S△A0B=S△A0c+S△B0c =3×2X2+2X2×4=6… ....(6分) (3)由图可得，不等式kx+b-”>0的解集为x<-4或0<x<2...(8分) 19.(1)B..(2分) (2)树状图如图所示： 小贤 小艺 ....(5分)》 共有12种等可能的结果，其中两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡 片盲盒的结果有2种…(7分) “两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片自盒的概车为品=。…8分) 20.(1)如图，延长DC交AB于点M...(1分) 由题知，CML AB,则∠CMA=∠CMB=90°.：∠CAM=45, ∠CBM=60°，÷AM=CM,BM=CM tan60°·....(3分)） :AB=54mCM+=54,CM=273-V同)≈34.3(cm,点C到AB的距 离约为34.3cm.............(5分) 60 龙N D (2)E到地面的距离为70cm时，茜茜骑乘该自行车最舒适， ∴.此时点E到AB的距离为70-30-34.3=5.7(cm)......... ....(6分) 如图，过点E作ENLAB于点N,则EN=5.7cm,∠ENB=90°. :∠EBN=∠CBM=60°， pB-器-量06(m8分》 2 原BE为4cm,∴.需将BE伸长6.6-4=2.6(cm).. .(9分) 答：如果要达到最佳舒适高度，茜茜应该将BE伸长约2.6cm........(10分) 21.(1)直径所对的圆周角等于90°.…(2分) 同弧所对的圆周角相等..(4分) (2)证明：过点A作直径AD交⊙O于点D,在ADC上任取一点E,连接EC,ED,EA, 则∠CED=∠CAD. ,AD为⊙O的直径，.∠DEA=90°. .AB与⊙O相切于点A,.∠DAB=90° .∠DEA-∠CED=∠DAB-∠CAD,即∠CEA=∠CAB........(8分) (3)8 ….(10分) 22.(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(28,18)，且经过点A(0,4).…(2分) .设抛物线的函数解析式为y=a(x-28)2+18,........ (3分) 将A(0,4代入，得a(0-28)2+18=4,解得a=-6 (5分) 抛物线的函数解析式为y=-。Cx-28)2+18.…6分) (2)当y-0时，-x-28)2+18=0.7分) 解得x1=28+127,x2=28-12W7(舍去)，.........(9分) ∴.水雾颗粒最远能喷到(28+12V7m处， ∴.若要保证水雾颗粒不落在出租车上，则n的取值范围为n>28+127...(10分) 23.(1)△BEH为等腰三角形，理由如下：......(1分) :△DEF为等边三角形，且点E恰好在CB的延长线上，点0为DF的中点， ·∠BEH=1∠DEF=30. :△ABC为等边三角形， .∠ABC=60°. :∠BEH+∠BHE=∠ABC, ·∠BEH=∠BHE=30°， BE=BH,“△BEH为等腰三角形：......(5分) (2)AE=V3CF,证明如下：........(6分) 如解图，连接A0,E0, :△ABC和△DEF均为等边三角形， A 、∠AC0=∠EF0=60°， 又，点0为BC,DF的中点，·∠AOC=∠EOF=90°， '∠AOE+∠EOC=∠COF+∠EOC=90°， ·∠AOE=∠COF, “2台=tam60=V3,号=tam60=V3, :A0、0 CO FO B △AOE△COF...........(9分) 六怎=2治=V3即AE=V3CF11分剂 (3)此时BF的长为1..(13分)