2025-2026学年第一学期九年级教学质量检测数学试题

2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测 数学试卷 注意事项： 1.数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。请务必 在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A,B,C,D四个选项，其 中只有一个是符合题目要求的) 1.下列各组图形中，不相似的是 了☆ A B D 2.下列函数中，是反比例函数的是 A.y=3x B.y=3 C.y=3.x2 D.y=x+3 3.若x=5」 y=2,则义的值是 元一V A豆 B号 c-品 D.、12 7 4.若关于x的一元二次方程x2十2x一=0有实数解，则飞的取值范围是 A.k>-1 B.k<-1 C.k≥-1 D.≤-1 5.甲、乙两地的实际距离是400k,在比例尺为1：500000的地图上，甲、乙两地的距离是 () A.0.8 cm B.8 cm C.80 cm D.800 cm 6.反比例函数y=m十3在每个象限内y随x的增大而增大，且点A(1,m)在该反比例函数的 图象上，则n的值可能是 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 7.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，玻璃球除颜色外其他完全相 同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和40%，则布袋 中白色球的个数可能是 () A.6 B.16 C.18 D.24 8.日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分 别标示着“十二地支”，如图所示.通过测量得到晷面内圈的半径OA为24cm.若晷针投影 2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测·数学试卷·第1页共4页 的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“已”时开始到“申”时结束（从 OA旋转到OB)划过的图形面积（图中阴影部分）是 () A.16πcm B.192 cm2 C.384 cm2 D.400πcm2 亥子 丑 寅 申 未 第8题图 第9题图 9.如图，点A在反比例函数y=12的图象上，点B在反比例函数y=生的图象上，AB∥y轴， 交x轴于点C,连接OA,取OA的中点D,连接BD,则△ADB的面积为 () A.16 B.8 C.4 D.2 10.如图，已知正方形ABCD的边长为2√2，点P是对角线AC上一动点（不与点A,C重合）， 连接BP,作PM⊥BP交射线DC于点M,连接BM,设AP=x,BM=y,则y关于x的函 数图象大致为 M 169 A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.已知线段a=l8cm,b=8cm,若存在线段c,使得a：c=c:b,则线段c的长度是 12.从一2,4,5这三个数中任取两个数作为点P的坐标，则点P在第二象限 的概率是 13.如图，点P在⊙O外，PA,PB分别切⊙O于点A,B,BC是⊙O的直 径，若∠APB=70°，则∠ACB的度数为 14.新定义：若函数图象上存在点A(x,y),将其横坐标变为原来的a倍(a>0),纵坐标不变得 到点B(ax,y),则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函 数的“α倍横变函数”.例如：函数y=x十1图象上的点(1,2)的“3倍横变点”为(3,2)，函数 y=x十1的“3倍横变函数”为y=3x十1. (1)点A(2,m)在一次函数y=2x十3的图象上，点B是点A的“2倍横变点”，则点B的坐 标为 (2)点C在反比例函数y=(x>0)的图象上，点D是点C的“号倍横变点”，若线段CD 的中点E在直线y=x上，则点C的坐标为 2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测·数学试卷·第2页共4页 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解方程：(x一2)2=3x一6. 16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标分别为 A(-2,-2),B(-4,-1),C(一4，-4). (1)画出△ABC关于原点对称的△A1B1C; (2)画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2. -5-4-3-2-1012345x 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.如图，已知四边形ABCD与四边形A'B'CD'相似， D 点A,B,C,D的对应点分别为A',B,C,D. 969 D' 12 (1)求∠B的度数； 6 135° (2)求边x,y的长度， A660 12 18.如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园.为了方便耕作管 20m 理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）. 小路把种植园分成面积均为24的9块矩形地，求小路的宽度. 4 m 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.如图，一次函数y=x十b的图象与反比例函数y=的图象交于A(1, 2),B(n,一1)两点，与x轴交于点C. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积； (3)直接写出不等式x十b>”的解集， 20.DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智 能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了以“逐梦科技强国” 为主题的模型设计活动，并随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x 表示)，将其分成四组：A:60≤x<70,B:70≤x<80,C:80≤x<90,D:90≤x≤100，绘制了 如下两幅不完整的统计图， 2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测·数学试卷·第3页共4页 频数（人数) 25H A 20 D 20 20% 15 B 10 1 30% 0入 ABCD成绩分 其中C组的成绩为：80,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86,86,87,87,88,88,89， 89,89. 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了 名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是 分，并 补全频数分布直方图； (2)学校决定从模型设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两位同学作经验交流， 请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率 六、（本题满分12分） 21.已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD,AE是 ⊙O的弦，∠AEC=30° (1)求证：直线AD是⊙O的切线； (2)若AE⊥BC,垂足为点M,⊙O的半径为8，求AE的长， 七、（本题满分12分） 22.某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水 y(效力) 的消毒效果y(单位：效力)与时间x(单位：分钟)的关系如图所 6 示，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比 例函数图象的一部分，为降消毒阶段.请根据图中信息解答下列 3 问题： (1)当消毒效果达到最高效力时，对应的时间是 分钟； A1030 x（分钟) (2)求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数解析式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否 有效？ 八、（本题满分14分） 23.如图，抛物线y=ax2+3ax十c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于点 A,B,点A在点B的左侧.点B的坐标为(1,0)，OC=3OB. (1)求抛物线的解析式； (2)求直线AC的解析式； (3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积 的最大值. 2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测·数学试卷·第4页共4页2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测 数学（参考答案及评分标准） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1.C2.B3.D4.C5.C6.A7.C8.B9.D 10.A【解析】如图，过点P作PG⊥CD于点G,EF⊥BC于点E,交AD于点F.四边形 ABCD为正方形，∴.∠BAF=∠ABE=90°，∠PAF=45..EF⊥BC,∴.∠BEF=90°， .四边形ABEF为矩形，.∠AFP=90°，∴.△APF是等腰直角三角形，∴.AF=PF BE=号“正方形ACD的边长为2E,PE=2区-号号得因道形PBG是正 B E 方形，∴.PE=PG.,'∠BPM=∠EPG=90°，∴.∠BPM-∠EPM=∠EPG-∠EPM,即∠BPE=∠MPG ,'∠BEP=∠PGM=90°，PE=PG,∴.△PBE2△PMG(ASA),∴.PB=PM.在Rt△BPM中，根据勾股定 理，得BM=PB2+PM,∴.BM=y=2PB2.在Rt△BPE中，根据勾股定理，得PB2=BE2+PE= (号)+(2反马x)=2+(2)2-2x2×号x+号r=t-4r+8,则y=2P形=2r-4u 十8)=2(x一2)2十8，∴.y关于x的函数图象是抛物线的一部分，且开口向上，对称轴为直线x=2,故选A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 1.12cm12.号13.55 14.(1)(1,7)(2分)(2)(5,3)(3分)【解析】(1)将点A(2,n)代入y=2x+3,得=2×2+3=7，∴.点A 的坐标为(2,7)，：点B是点A的“号倍横变点”，2×号=1，点B的坐标为1,7).(2)：点C在反比 例函数y=(>0)的图象上一设点C的垒标为(，)”点D是点C的“号倍横变点”心点D的 坐标为（号，）.“点E是线段CD的中点“点E的坐标为（号，）：点E在直线y=x上， “号=只解得=士5“>0=5点C的坐标为6， 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.解：(x-2)2=3x-6, (x-2)2=3(x-2), (x-2)2-3(x-2)=0, (x-2)(x-2-3)=0, (4分) (x-2)(x-5)=0, x-2=0或x-5=0, x1=2,x2=5. (8分) 16.解：(1)如图，△A1BC即为所求. (4分) (2)如图，△A2B2C2即为所求. (8分) 【2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测·数学（参考答案）第1页（共4页）】 B A2、 A B 43210 2 3: 45 B 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解：(1).四边形ABCD与四边形A'B'CD'相似， .∠C=∠C=135°， .∠B=360°-∠A-∠C-∠D=360°-60°-135°-96°=69°.…(3分) (2),四边形ABCD与四边形A'BC'D相似， 品滑=尧。 (4分) .AD=12,A'D'=8,AB=y,A'B'=12,BC=6,B'C'=x, 号号 (6分) 解得x=4,y=18. …(8分) 18.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地可合并成长为(20一4x)m,宽为(14一4x)m的矩形 根据题意，得(20一4x)(14一4x)=24X9, (4分) 整理，得2x2-17x+8=0, 解得=2m=8(不符合题意，舍去). 答：小路的宽度为2m ……(8分) 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解：1)把点A1,2)代入y=兰，得m=2, ·反比例函数的解析式为y=2 (2分) 把点B,-D代人y=2,得一-1=品解得1=-2， ∴.B(-2,-1) 1k+b=2, k=1, 把点A(1,2),B(-2,-1)代入y=kx+b,得 解得 1-2k+b=-1, b=1, .一次函数的解析式为y=x十1. (5分) (2)在一次函数y=x+1中，令y=0,得x=-1,∴.OC=1, ∴5B=Sae+Sac=号X1X2+号X1X1=号. (8分) 【2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测·数学（参考答案）第2页（共4页）】 (3)-2x<0或x>1.… (10分) 20.解：(1)5083.5 (4分) 补全频数分布直方图如下：…(6分) 频数（人数） 25 20 20 15 10 10 ABCD成绩分 (2)画树状图如下： 开始 甲 丙 个 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有2种， “所选的两位同学恰为甲和丙的概率为2一6 21 (10分) 六、（本题满分12分） 21.(1)证明：如图，连接OA. :∠AEC=30°，∴.∠B=∠AEC=30°，∠AOC=2∠AEC=60°. .AB=AD,∴.∠D=∠B=30°. .∠OAD=180°-∠AOC-∠D=180°-60°-30°=90°， ∴.AD⊥OA..OA是⊙O的半径， .直线AD是⊙O的切线。…(6分) (2)解：，AE⊥BC,BC是⊙O的直径，.AM=EM,∠AMO=90. 由(1)知∠AOC=60°，∴.∠OAM=90°-∠AOC=90°-60°=30°， ∴0M=20A=4 在Rt△AMO中，AM=√OA2-OM=√/8-4=4√3， .'.AE=2AM=83. (12分) 七、（本题满分12分） 22.解：（们）30…(2分) (2)当10≤x≤30时，设直线BC的函数解析式为y=kx十b. 10k+b=3, k 3 20 把(10,3)，(30,6)代入，得 解得 30k+b=6, b=2 直线BC的函数解析式为y=01十立： 3 13 (5分) 当x≥30时，设反比例函数的解析式为y=四 【2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测·数学（参考答案）第3页（共4页）】 把(30,6)代入，得6=，解得m=180, ·反比例函数的解析式为y=180 (7分) 8)把y=4代入y易+号，得4=亮+号，解得= 3 把y=4代人=12，得4=180，解得=45. 45-婴-号>28本次消海有效（2分） 八、（本题满分14分） 23.解：(1)点B的坐标为(1,0)，∴.OB=1. .OC=3OB=3,点C在x轴下方，∴.点C的坐标为(0，一3). 将点B(1,0),C(0,-3)代人y=a.x2+3a.x十c, 14a十c=0, 得 c=-3, 解得 /3 c=-3, :地物线的解析式为y=是十是 x—3.………… …(4分) (2)令y=是2+是-3=0，解得1=1w=-4, .点A的坐标为（一4,0）. 设直线AC的解析式为y=kx+b. 将点A(-4,0),C(0,一3)代入， í-4k+b=0, 得 解得 =一3 4 b=-3, b=-3, 直线AC的解析式为y=一子-3. …(8分) (3)如图，过点D作DE∥y轴，交AC于点E. 由(2)知AB=1-(-4)=5, Sam=2AB.0C-7X5X3=号 …(10分) 设点D的坐标为(a,子a+号a一3)，则点E的坐标为(a,一子a一3). DE=-是a-3-(a2+是a-3)=-是(a+2)+3, <0,∴当a=-2时，DE有最大值，最大值为3. 3 “SAx的最大值为受DE·A0=2X3X4=6 :四边形ABCD面积的最大值为S度十S-艺+6-婴， 2· (14分) 【2025一2026学年第一学期九年级教学质量监测·数学（参考答案）第4页（共4页）】